基于Lyapunov方法的復雜網絡同步控制研究

肖 峰，張 敏，廖畢文

（陸軍工程大學 軍械士官學校，湖北 武漢 430075）

0 引言

作為21世紀發展十分迅速的一門交叉學科，復雜網絡廣泛存在于社會科學、自然科學和工程技術等許多領域當中［1］，例如：生態系統、萬維網、基因網絡、生物神經網絡和社交網絡等，吸引著越來越多的研究者去探究其中的秘密。同步是復雜網絡極其重要的研究方向之一，由于其廣泛存在于社會生活和自然界當中，使得復雜網絡同步已經在諸多方向得到應用［2］。同步現象首次引起人們關注是在1665年，荷蘭物理學家惠更斯發現了同一橫梁上的兩個鐘擺，在一段時間后會出現同步擺動的情況。接下來，人們逐漸發現了許多同步現象：螢火蟲會有規律地同時發光或者不發光；夏天青蛙的叫聲能夠漸漸趨于同步；觀眾的鼓掌頻率也能夠逐漸同步等［3］。在這之后，國內外關于復雜網絡同步的研究人數與日俱增，因此產生了大量突破性進展，特別是在信息科學、電子學、醫學和保密通信等領域。隨著研究的不斷深入，越來越多的同步方式被提出，例如：完全同步、分群同步、映射同步、廣義同步、相位同步、延遲同步等。

在過去的幾十年里，為了實現復雜網絡的同步，人們提出了許多高效、經濟且實用的控制方法。這些控制方法大多只能實現復雜網絡模型的漸近或者指數同步，即系統實現同步不受時間的限制。然而，在實際情況中，一個復雜網絡系統往往需要在有限時間內實現同步。例如：在軍事防御當中，當敵方一枚導彈已經發射，在空中飛行時，我方導彈發射系統需要通過精準計算，使得發射的攔截導彈能夠在有限時間內以及在風力和信號干擾的情況下，準確攔截目標。也就是說，在現實世界中，人們為了完成任務、提高效率或者節省成本，常常需要網絡系統盡可能快地實現同步。因此，有限時間同步的控制方法便被提出，而后經過越來越多學者的研究和推廣，獲得了豐碩的成果，有限時間同步控制方法也得到了不斷的發展和完善。

人們在不斷深入研究后發現，所研究的有限時間同步依賴于人們所考慮的復雜網絡模型的初始值。不同的初值，有不同的收斂時間。在實際的應用中，并不是所有復雜系統的初始狀態都是已知的。因此，為解決這個問題，一種特殊的有限時間同步方法——固定時間同步被提出。固定時間同步優越于傳統的有限時間同步，它能夠使復雜網絡在固定時間實現同步而與系統的初值無關。近年來，有關固定時間的方法，已經在多智能體系統的一致性和神經網絡同步中展開研究。而對于復雜網絡的固定時間同步的研究仍然處于起步階段。

1 復雜網絡模型及其同步控制策略

1.1 復雜動態網絡模型

在復雜網絡研究的初期，人們所研究的網絡模型較為簡單，例如：2002年，Wang等［4］給出了一個最為原始的一般連續時間復雜動態網絡模型：

其中，xi(t）＝(xi1(t），xi2(t），...，xin(t））T∈Rn為節點i的狀態變量，f：Rn→Rn表示連續函數，c＞0為網絡的耦合強度。A＝(aij）∈Rn為外部耦合矩陣，如果節點i和節點j(j≠i）之間存在連接，則aij＞0；否則aij＝0(j≠i），且矩陣A中的對角元素aii的定義為：aii＝－，稱之為耗散耦合條件。Γ∈Rn×n為正定對角矩陣，表示內部耦合矩陣。此后，許多學者研究的復雜動態網絡模型均是在模型(1）的基礎上進行修改和完善的。

隨著研究的不斷深入，人們為了更加貼近實際，開始將自適應耦合強度或者時滯添加到動態網絡模型當中，如：Jin等［5］研究了具有自適應耦合強度的復雜動態網絡模型：

其中，ci(t）便是自適應耦合強度，ui(t）為作者設計的牽制控制器，并選擇控制前l個節點。同樣，Wu等［6］在復雜網絡的研究中為了能夠提高模型的同步效率，在2011年研究了具有自適應耦合強度的復雜動態網絡的分群同步問題。

耦合強度表示的就是網絡模型中任意兩個節點之間耦合關系的強弱，節點之間的耦合強度越大，與此對應，網絡的同步能力也就越強，反之也就越弱。在實際情況中，動態網絡的耦合關系不是固定不變的，它的強度會隨著周圍的環境和時間的變化而增強或者減弱。因此，具有自適應耦合強度的網絡模型相比于耦合強度為常數的模型要更加貼近實際生活，更加具有現實意義。

在復雜系統中，想要更進一步貼近實際情況，只加入自適應耦合強度模型是遠遠不夠的。為此，人們又將時滯引入復雜網絡。時滯是時間滯后，它切實大量地出現在現實世界的復雜系統之中，例如：在全民上網的時代，人們可以通過網絡進行視頻聊天、開會、授課。由于網絡的問題，用戶有時會感受到視頻圖像的延遲與卡頓，也就是視頻圖像產生了時間滯后。這是因為在通信網絡中，由于信號傳輸速度的快慢變化或者信道發生了擁擠等原因，導致一個信號通過通信網絡時通常會伴隨著時間滯后。即在復雜網絡模型的同步控制當中，一個信息的傳遞和此時此刻的時間t有關，還與以前的時間t－τ存在著聯系，其中的τ表示一個常數，也就是人們所說的時滯。如：Huang等［7］研究了具有自適應耦合強度和常數時滯的復雜動態網絡同步：

其中，τ≥0為常數時滯，c1(t）和c2(t）為自適應耦合強度，G1＝(G1ij）n×n和G2＝(G2ij）n×n為節點間的外部耦合矩陣，A和B表示內部耦合矩陣。

現實世界的網絡系統存在著許多復雜而又不確定的干擾因素。在常數時滯研究的基礎上，人們提出時變時滯的概念，即時滯不是一直不變的，而是隨著時間在不斷變化的。例如：當運動員參加百米比賽時，運動員從聽到發令槍響到開始起跑，中間有一個短暫的滯后，即運動員的反應時間，不同的運動員的反應時間會有所區別，同一個運動員的反應時間也不是一直不變的，因為運動員每天需要通過不斷訓練來提高他們自身的反應速度，從而縮短了反應時間。隨著人們年齡的增大，身體的各項機能都會逐漸下降。因此，人們的反應時間又會延長。

在人們逐漸意識到常數時滯所具有的局限性后，越來越多的學者開始研究具有時變時滯的復雜網絡同步問題。例如：作者Liu等［8］研究了具有時變時滯的復雜動態網絡同步問題：

其中，0≤τ(t）≤τ表示發生在節點內部的時變時滯。

人們對具有時滯的復雜網絡展開研究，將不同類型的時滯加入同一個復雜網絡模型當中，例如：Cai和Liu等［9－10］研究了具有混合時滯的復雜網絡同步問題：

其中，混合時滯：τ1(t），τ2(t）和τ3(t）分別表示復雜網絡中的內部時滯、傳輸時滯以及自反饋時滯，且每一個時滯都是時變時滯?；旌蠒r滯的引入，能夠更加真實地反映出現實世界中復雜系統的運行狀態，具有十分重要的研究意義。

上述所提到的復雜網絡模型都是針對無權網絡或者單個權值網絡進行研究的，隨著研究范圍的逐步擴大，人們開始發現，在真實的世界中，存在很多具有多重權值的復雜網絡系統。在復雜網絡模型中，節點之間的連接關系不再局限于一種形式，而是多樣的，而且權重是有區別的，從而也就產生多種的可能性和選擇性。比如：以交通網絡系統為例，若以中國每個省份的首府城市作為網絡節點，城市與城市之間的交通方式的種類有很多，私家車、大巴、高鐵、飛機、輪船等。如果把每一種交通方式所消耗時間或者花費的成本作為權重，則在這個交通網絡系統中，會產生多種不同的權值，形成了具有多重權值的復雜網絡系統。此外，還有像通信網絡、病毒傳播網絡、人際關系網絡等都可以看成是具有多重權值的復雜網絡系統。因此，人們開始逐漸研究這種具有多重權值的復雜系統的穩定性，因此，作者張莉等［11］建立了一種新的具有多重權值的復雜網絡模型，并研究了該多重權值的復雜網絡模型的完全同步問題，模型如下：

其中，εl為第l個子網絡的耦合強度；H1，H2，…，Hl∈Rn×n為各個節點狀態變量之間的內部耦合函數，耦合矩陣Al＝(alij）N×N∈Rn×n，(l＝0，1，2）表示第l個子網絡的拓撲結構，vi為控制輸入項。具有多重權值的復雜網絡同步相比于單個權值的復雜網絡模型同步，不但提高了同步的能力和效率，同時也大大節省了同步所需要的時間和實際應用中的成本。

作者Qiu等［12］進一步研究了在無時滯和有時滯兩種情況下的多重權值復雜網絡的有限時間同步，模型分別為：

該模型是具有N個節點l重權值的復雜網絡，bl表示第l個子網絡中節點間的耦合強度，Gl＝為第l個子網絡的拓撲結構，即第l個子網絡的外部耦合矩陣，Γ1，Γ2，...，Γl表示各個節點狀態變量之間的內部耦合矩陣，的定義與bl，Gl ir，Γl類似。多重權值復雜網絡的出現，進一步拓寬了復雜網絡同步的研究領域，對現實世界的復雜系統有了更為深入的了解。

1.2 復雜動態網絡同步控制策略

在實現復雜網絡同步的研究過程中，控制網絡模型實現同步的方法有很多種，像主穩定函數方法、連接圖穩定性方法以及Lyapunov方法等。其中，人們最常用的方法是Lyapunov方法。隨著Lyapunov方法研究的不斷深入和優化，研究者提出了許多針對不同類型的復雜網絡模型完成同步的控制策略。實現復雜網絡同步的控制策略大體上分為兩類：非連續性控制和連續性控制。其中，非連續性控制策略細分為：周期間歇性控制、非周期間歇性控制、脈沖控制和樣本點控制等；連續性控制策略又分為牽制控制、自適應控制和混合控制等。

連續性控制策略就是持續性、不間斷地控制網絡模型當中的節點，以實現同步，例如：作者Lu和Wang等［13－14］在2008年研究網絡模型同步時采用了自適應控制策略來實現同步，控制器如下：

其中，ei(t）(i＝1，2，...，N）為同步狀態誤差，ηi＞0(i＝1，2，...，N）為任意正常數。從上述控制器便可以看出，該模型想要完成網絡同步，需要通過控制器控制全部的節點才能實現。這樣一來，若在實際的復雜系統當中，節點繁雜龐大，控制起來就會產生高額的成本，且耗時也會變長。因此，這樣的控制器雖然可以實現同步的功能，但卻很難在實際運行中產生盈利。

為了解決控制節點多的問題，研究者開始研究一類新的控制策略——牽制控制，即通過控制網絡模型中的部分節點實現同步，如：Yu等［15］利用牽制控制器實現了復雜網絡的同步，控制器如下：

該控制器是一個分段函數控制器，其中，c為耦合強度，di為控制增益，Γ為內部耦合矩陣?？刂破?10）選擇只需要控制前l個節點，就能使復雜網絡完成同步，相較于控制器(9），(10）在實際應用中會很大程度地減少控制成本，縮短同步時間。

從上述兩個控制器能夠看出，其均為連續性控制器。所控制的節點在實現同步之前都在工作，沒有休息時間。如果在實際應用當中，高負荷的運轉必然會導致設備的使用壽命縮短，安全性也會大大降低，從而導致成本增加。

為了解決這一類問題，人們設計出利用間歇性控制策略來實現復雜網絡同步，間歇性控制通常分為周期間歇性控制和非周期間歇性控制兩種。

Yu等［16］利用了周期間歇性控制策略來實現網絡模型的同步，從而有效地解決了連續性控制器中所存在的連續工作的問題。其周期間歇性控制器如下：

其中，函數K(·）為控制增益且滿足K(0）＝0，T為控制周期，δ為控制寬度。

隨著人們研究的逐步加深，間歇性控制策略也日漸成熟，并廣泛地出現在經濟、生物、醫療、機械等各個領域，而且在實際生活中有著許多與間歇性控制相關的具體案例，像LED屏幕上文字的滾動、汽車擋風玻璃上的雨刮器的控制、人們基金購買當中的定投、飛機起飛時間間隔、火車發車以及地鐵到站的時間間隔等都是運用了間歇性控制。上述的這些案例大多采用的是周期性間歇性控制策略，即工作的運行時間和休息的間歇時間是固定的，與之相對應的就是非周期間歇性控制策略，Liu等［17］利用非周期間歇性控制策略完成了復雜網絡的同步控制，控制器如下：

其中，i＝1，2，...，N，k＝0，1，2，...，di為正常數，稱為控制增益。［tm，sm］為工作時間，(sm，tm＋1）為休息時間。此外，sm－tm稱為第m次控制寬度，tm＋1－sm稱為第m次休息寬度。從控制器中可以看出，工作時間和休息時間都是可以根據實際情況進行調整和變化的。當tm＋1－tm≡T，sm－tm≡δ時，非周期間歇性控制就變為了周期間歇性控制。因此，周期間歇性控制可以看作一種特殊的非周期間歇性控制。非周期間歇性控制策略所涉及的應用范圍更廣，使用更加靈活、高效。比如：位于城市中心十字路口中的紅綠燈，當非上下班時間，機動車流量較小時，紅綠燈會按照固定的時間周期進行變換，這是一種周期間歇性控制。當在上下班高峰期時，機動車流量突然猛增，會造成交通擁堵，這時交警可以介入來控制紅綠燈的時間，以便更好地解決道路擁堵問題，此時的紅綠燈變換就變成了非周期間歇性控制。此外，在自然界中，像風、海嘯、地震等都是十分明顯的非周期間歇性現象。

從上述的間歇性控制器當中可以看到，連續性控制策略具有休息時間，即減少了工作時間，也增加了設備使用壽命。但是在工作時間內，它無法像牽制控制策略一樣只通過控制部分節點來實現網絡同步，它仍然需要在工作的時間內控制全部節點才能完成同步，這樣對于一些節點十分巨大的復雜系統來說，成本依然很高。

人們為了發揮連續性和非連續性控制策略的優勢進行了多項研究，Liu和Cai等［8－9］在論文中分別結合連續性和非連續性控制的優勢，研究出利用非周期間歇性牽制控制和周期間歇性牽制控制來實現復雜網絡同步，控制器如下：

從間歇性牽制控制器(13）和(14）可以明顯看出，控制器不但具有休息時間，而且在工作時間內僅需牽制前l(1≤l＜N）個節點就能實現網絡同步。因此，相較其他控制策略，牽制控制與間歇性控制的結合，可使間歇性牽制控制策略在工程應用中具有高效率、低成本和易實施的優點。

2 復雜網絡的有限時間同步控制

上述文獻中所采用的連續性或者非連續性控制策略，雖然具有許多優點，但只能實現復雜網絡的漸近同步或者指數同步?，F如今，由于有限時間同步更強的實用性和高效性，有限時間控制策略逐漸被提出。Yang等［18］提出設計了有限時間連續性控制器來實現復雜網絡的有限時間同步。控制器如下：

其中，ηi＞0為常數，k＞0為可變常數，實數β滿足0＜β＜1，sign(·）為符號函數。有限時間同步與漸近同步和指數同步比較，最大的優勢為在有限時間內將系統實現同步，且這個有限時間可以被估算出。例如：Yang等［18］提出的有限時間經過計算，表示為：t1＝V(0）1－0.5(1＋β）／［2k(1－0.5(1＋β））］，V(0）表示作者所構造的Lyapunov函數的初值。然而，有限時間連續性控制策略同樣具有和連續性控制策略相同的不足之處，且該網絡模型并沒有將時滯加入其中，使得其在實用性方面還有很大差距。

在有限時間控制策略中，人們更多的是采用非連續性控制來實現復雜網絡的有限時間同步。Mei等［19］設計了有限時間周期間歇性控制器并完成了網絡的有限時間同步，控制器如下所示：

其中，i＝1，2，...，N，ηi＞0為控制增益，0為可變常數，P為正定矩陣。Mei等［19］在網絡模型中引入了常數時滯，并且估算出了有限時間：T3＝2V1/2(0）/(θ），θ為控制速率。當在實際工程應用中，沒有固定的時間周期時，用戶需要選擇非周期間歇性控制策略來實現系統的有限時間同步，Liu等［8］設計了有限時間非周期間歇性控制器實現網絡同步，控制器表示如下：

其中，η1和η3為正常數控制強度，η2是可變正常數，實數μ滿足0≤μ＜1。該網絡模型中引入了時變時滯，但時滯僅位于節點內部。因此，具有混合時滯(內部時滯、傳輸時滯和自反饋時滯等）的有限時間同步控制有待繼續研究。

從上述有限時間控制策略中可以看出，為了得到在有限時間內實現同步的估計值，人們需要預知網絡模型的初值，以便計算V(0）。但在實際應用中，并不是所有系統的初值都是已知的。因此，有學者利用固定時間連續性控制策略來解決此類問題，作為一種特殊的有限時間控制策略，固定時間控制的優點在于實現網絡同步，所需的穩定時間不受網絡模型初值的限制，即估算的穩定時間與系統的初值無關。Ji等［20］研究的固定時間控制器如下所示：

其中，di＞0，μ＞0，r＞0，0＜θ＜1和δ＞1。通過計算，得出了實現同步的穩定時間的估計值：

從(19）明顯可以看出，穩定時間的估計值與系統初值無關，而是由系統中節點的數量N所決定。此外，穩定時間的估計值，可以通過選擇適當的控制參數θ和δ來改變。對比有限時間和固定時間控制策略可以看出，利用固定時間控制器來實現復雜網絡的同步，在實際的復雜網絡系統中具有更為廣泛和有效的利用價值。

3 結語

目前，關于復雜網絡的同步問題，已經逐步滲透到了自然科學、社會科學以及工程技術等多個領域。與此同時，為實現復雜系統多種同步，不同類型的控制器也逐漸被設計出來。為了盡可能快速高效地實現復雜網絡的同步，有限時間和固定時間同步控制策略也被研究出來。此外，實現網絡同步的方法除了構造Lyapunov的方法之外，還有主穩定函數方法和連接圖方法等。在實際工程技術當中，并非所有的復雜網絡系統都能夠用整數階或者實值來描述。因此，基于分數階或復值的復雜網絡模型在某些方面能夠更加貼近真實的工程應用。雖然目前已經有學者在研究分數階和復值復雜網絡同步控制問題，但這類研究還處在初步研究階段，后續還有廣闊的研究空間和價值。