超高壓電抗器電感計算灰箱模型與優化

金 亮 祝登鋒 楊慶新 張俊杰 鞏德鑫

超高壓電抗器電感計算灰箱模型與優化

金 亮1,2祝登鋒1,2楊慶新1,2張俊杰3鞏德鑫1,2

（1. 省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點實驗室（河北工業大學） 天津 300400 2. 河北省電磁場與電器可靠性重點實驗室（河北工業大學） 天津 300400 3. 保定天威保變電氣股份有限公司 保定 071056）

現有的超高壓電抗器電感解析和經驗計算公式誤差大于工程要求的1%，電感計算誤差大時會導致電抗器的優化結果較差。該文基于電磁原理建立修正電感計算經驗公式，將誤差降低至約1%，并建立先驗電磁原理的可辨識電感計算灰箱模型?；跀抵的M得到電感樣本數據集，通過引入自適應變異因子和最優個體，建立改進差分進化算法并對灰箱模型進行參數識別，得到0.1%誤差的高精度電感計算模型。使用帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法（NSGA-Ⅱ）對超高壓電抗器進行優化設計，將電抗器的導線質量和損耗分別減少了21.4%、18.6%。實驗證明了經參數辨識得到的電感計算灰箱模型的正確性和優化方法的有效性。該文建立的電抗器電感參數辨識方法為高精度電感計算提供了一條新的理論和實踐思路。

超高壓電抗器 灰箱模型 差分進化算法 參數辨識 少樣本

0 引言

超高壓油浸空心電抗器作為串聯諧振高壓實驗的主要設備，其核心參數是電感。高精度電感計算模型的建立能夠有效指導電抗器設計方案的更新迭代。

根據電抗器電感與設計變量映射關系的不同求解方式，可將電感計算模型分為三類：白箱模型[1]、黑箱模型[2]和灰箱模型[3]。白箱模型中的解析法以電磁理論為基礎，描述電抗器線圈間的磁鏈耦合機理，文獻[4]基于Bartky變換法使用聶爾曼公式推導出有限長單層螺線管自感和互感的計算公式，計算誤差約為1%；文獻[5]通過作輔助圓柱面的方法計算繞組的自感和互感，最終誤差約為2%。解析法能清晰地表達電抗器結構參數與電感之間的物理含義，但對于不同結構的電抗器需要簡化條件改變積分項，推導過程繁瑣不易獲得。數值方法在物理原理上屬于白箱模型的范疇，其計算精度高于解析法，但在工程上不作為白箱模型使用，往往用以產生樣本數據，存在建模復雜、計算資源消耗大和耗時過長等問題[6-7]。

為了克服解析法的不足，早期文獻[8]基于電磁理論推導電感計算通用公式，以表格形式給出不同結構范圍所對應的公式系數，通過查表的方法保證電感計算精度。但在實際電抗器的優化中，通常需要高精度電感計算，這種方法獲得的精度有限、不易更新、使用不便。國內外學者針對查表方法存在的問題，推導電感計算解析公式并添加輔助項來提高適用范圍和精度。文獻[9]在其中加入結構參數比例項，電感計算誤差約為4%。文獻[10]在電感經驗公式計算中考慮了不同結構項對電感值的影響，把平均誤差降低到1.5%左右。經驗公式計算簡便，但整體和個別樣本點的誤差不能滿足工程所需，不準確的經驗公式將無法保證未知設計空間中電感的計算精度，優化進程容易被誤導[11]。

隨著機器學習的發展，使用數值模擬或實驗得到電抗器結構與性能參數的樣本數據，建立設計參數與性能數據的映射關系（也稱代理模型），是典型的黑箱模型。文獻[12]使用243組樣本數據訓練徑向基神經網絡來計算電抗器的渦流損耗，平均預測誤差為0.45%。文獻[13]使用決策樹和多層神經網絡模型進行電抗器匝間絕緣短路故障檢測，預測誤差為0.3%。基于數據驅動的黑箱模型具有不依賴系統機理和專業先驗知識的優勢，能夠深度發掘樣本數據之間的內在聯系，但往往需要上百組的樣本數據才能把預測誤差降低至1%以下。電抗器各部件間耦合關系復雜，涉及電磁、結構、傳熱、振動等多個學科，真實工況模擬需要耗費巨大的計算和時間成本。電抗器的優化過程中，需要進行多次數值模擬才能獲得最優設計方案，而高精度數值模擬帶來的“昂貴優化問題”嚴重阻礙了代理模型構建和數值優化過程[14-15]。

考慮到解析法難以準確確定線圈漏磁、大地等因素對電感值的影響，前人通過在經驗公式的分母中添加結構項來探索結構參數與電感值之間的關系，但電感計算精度仍無法滿足工程要求。為進一步提升電感計算精度，以經驗公式為代表的灰箱模型被廣泛應用。本文首先建立超高壓油浸空心電抗器的有限元模型，根據電磁理論修正經驗公式，分析不同結構參數對電感的影響，并基于電感計算的常用經驗公式和修正經驗公式建立可辨識的灰箱模型A和精度更高的灰箱模型B；其次，建立一種改進差分進化算法（Improvement Differential Evaluation Algorithm, 本文簡稱為DEB），通過數值模擬建立超高壓空心電抗器的樣本數據集，在數據集為30組、20組和10組的測試實驗中，與其他智能算法進行對比，分析灰箱模型A和灰箱模型B的參數辨識效果，研究少樣本下參數辨識精度和個別樣本點的波動誤差；最后，使用帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法（Non-dominated Sorting Genetic Algorithms-Ⅱ, NSGA-Ⅱ）給出基于電感值、絕緣和溫升等約束條件與性能參數的一組優化設計結果，根據優化結果進行數值模擬并繞制樣機，再通過實驗驗證優化結果的可行性和有效性。

1 電抗器計算模型與參數辨識

1.1 超高壓油浸空心電抗器

超高壓單相串聯油浸空心電抗器的三維結構如圖1所示。

圖1 超高壓電抗器的三維結構

此電抗器用于串聯諧振耐壓試驗，為連續餅式結構，每個線餅輻向由多層繞組組成包封，每層繞組由多匝圓形鋁導線繞制而成。使用絕緣紙板分隔相鄰線餅來提升絕緣性能，包封間有油道分隔便于散熱，外部的非金屬油箱提供支撐保護作用。其額定容量為2.5Mvar，初始采用導線線徑為1.91mm，設計需求電感為290H。圖1中，1為單餅線圈高度；2為絕緣紙板厚度；1為單個包封寬度；2為油道寬度；in為電抗器內半徑；為線圈的厚度；av為電抗器平均直徑，av=2in+；為電抗器線圈總高度。

超高壓電抗器工作在低頻環境下，系統內的位移電流可忽略不計，因此可將磁場看作準空間靜態場[16]，近似認為包封內繞組線圈各層電流相同。根據電磁理論可得到對應電路方程和磁場方程為

1.2 電感計算灰箱模型

為描述空心單層螺線管線圈電感與結構參數的對應關系，往往基于以下假設：

①導線之間緊密排列；②半徑為in的軸向磁場均勻分布；③螺線管平均直徑av遠小于螺線管高度。

根據電磁理論得到其低頻電感計算公式為

式中，為線圈匝數。式（2）中尺寸單位為mm，電感單位為H，下同。

與單層螺線管線圈不同，超高壓電抗器結構復雜。為提高電感計算精度，工程上常用的電抗器電感計算經驗公式的分母部分包含多個結構項[9]，表示為

此經驗公式電感計算誤差約為3%，在個別樣本點處的波動誤差更大，不能滿足工程所需的精度。

文獻[10]根據電抗器線圈厚度與內徑的比值關系，引入結構參數比例項，并給出經驗公式的適用范圍和不同結構下的計算精度。進一步考慮結構參數對電感造成的影響，最終得到經驗公式為

根據數值模擬結果與式（4）計算電感值的對應關系，發現式（4）的電感計算誤差高達60%，遠高于一般經驗公式的誤差，但在不同的電抗器結構上其電感計算誤差波動范圍較小。根據安培環路定理和磁通連續性定理得到的式（2）提示，可在分子部分添加系數4p2，則修正后的經驗公式為

此時，電感計算誤差降低至約1%。

為了分析超高壓電抗器電感計算經驗公式中結構參數對電感值的影響，設置線圈內半徑in、高度、匝數和厚度四個參量中的任意三個為固定值，通過數值模擬得到剩余參量與電感的關系曲線。將數值模擬結果與經驗式（3）和修正經驗式（5）進行對比，得到結構參數與電感關系曲線如圖2所示。從圖2可以得到以下結論：

1）式（3）的誤差比式（5）的大，導致不同結構參數下的電感計算值遠遠偏離數值模擬結果，修正經驗式（5）計算誤差較小。

2）電感與內半徑in和線圈高度呈高度線性關系，隨著內半徑in和線圈高度的變化，式（3）出現明顯較大誤差。

3）電感與線圈匝數和線圈厚度近似呈二次方關系，線圈匝數和線圈厚度的改變對兩經驗公式計算電感誤差的影響較小。

圖2 結構參數與電感關系曲線

考慮到式（3）和式（5）中線圈匝數和厚度的改變對電感計算誤差影響較小，可不對其進行參數辨識。由1.1節可知，線圈平均直徑av是由線圈內半徑in和厚度計算得到，為了進一步降低經驗公式電感計算誤差，構建可辨識的灰箱模型A和灰箱模型B分別為

1.3 差分進化算法

差分進化（Differential Evolution, DE）算法由R. Storn和K. Pricet于1997年提出，該算法原理簡單、魯棒性強，可作為一種高效的參數辨識算法。算法流程如圖3所示。

圖3 差分進化算法流程

具體步驟如下[18]：

（1）種群初始化，設DE算法生成規模為P，將維數為的參數向量作為父代種群，種群個體表示為

（2）計算種群評價指標，判斷種群個體是否滿足基本約束

（3）差分變異過程中，隨機選取種群中三個個體向量，任選其中兩個個體向量進行差分運算，并與剩余個體向量相加產生變異個體，即

式中，1,G、1,G和1,G為第代種群中的隨機個體；為變異因子。

（4）在父代種群和變異種群之間引入交叉操作，產生子代種群個體。

（5）比較子代個體與父代個體，選擇更好的個體保存進入下一代種群。更新進化代數，令=+1，判斷是否滿足終止條件，若滿足，則輸出參數辨識結果；否則，繼續返回步驟（2）進行循環。

1.4 改進差分進化算法（DEB）

DE算法差分變異因子取值為定常數，取值較小時，變異幅度小，需要多次迭代才可能收斂到最優解集，進化效率低；取值過大時，變異波動范圍大，進化后期容易跳出最優解的范圍導致無法收斂?？紤]到DE算法在變異操作中存在的問題，對DE算法進行改進。

在1.3節DE算法的步驟（3）中，提出自適應變異策略，引入種群最優個體best,G和自適應變異因子，對式（10）進行改進，得到

式中，best,G為第代中的最優個體；1,G和2,G為代種群中的隨機個體；m為最大進化代數；0為隨機初始化變異因子。

從式（12）可以看出，種群最優個體best,G在進化過程中為種群搜索方向提供引導，提升了種群的全局尋優能力；自適應變異因子用于實現尋優過程的動態調整，在進化初期，較大的有助于算法前期在參數空間的快速收斂，隨著進化代數增加，逐漸減小，變異幅度動態減小，有助于種群收斂到最優解集區域。改進差分進化算法實現了全局搜索速度和局部收斂性之間的平衡，提升了算法性能。

2 基于DEB的灰箱模型參數辨識

2.1 建立樣本數據集

當線圈高度、厚度和導線線徑確定后，電抗器的油道和絕緣紙板個數將被限定在一定范圍內，線圈匝數可被確定?？紤]灰箱模型中結構參數與電感值的關系，選取電抗器的線圈厚度、線圈高度、線圈內徑in和導線線徑為建模變量，建立結構參數因素水平表，見表1。

表1 結構參數因素水平表

Tab.1 The structural parameter factor level table

高精度數值模擬的誤差很小，電抗器產品制造設計中要求最終誤差小于1.5%，在不考慮制造工藝誤差的情況下，數值模擬結果完全可以滿足工程需求?？紤]到實際工程樣本數據珍貴，在設定的結構參數范圍內隨機選取合理的電感值樣本點，通過數值模擬得到電抗器不同結構參數下的30組樣本數據，樣本數據點的空間分布如圖4所示。

圖4 30組樣本數據集

為評價模型在少樣本數據集下的精度和收斂性，分別建立30組、20組和10組樣本數據集進行灰箱模型參數辨識。每組樣本數據集的60%作為訓練集用于訓練辨識模型，40%作為測試集來評價模型的預測精度和模型的泛化能力。

2.2 參數辨識結果及分析

常用的參數辨識算法有精英保留遺傳算法（Elitist Reservation Genetic Algorithm, EGA）、粒子群（Particle Swarm Optimization, PSO）算法和DE算法。為了檢驗改進差分進化算法的有效性，基于30組、20組和10組樣本數據集，給四種辨識算法設置相同的初始化參數，分別對灰箱模型A和灰箱模型B進行10次參數辨識。

10組少樣本數據集下各算法的參數辨識結果如圖5和圖6所示。通過種群評價指標，對比參數辨識結果可以看出，PSO和EGA算法參數辨識結果精度波動大且穩定性差；DE算法參數辨識精度較高，但存在小范圍波動現象；在少樣本下，DEB算法的穩定性和辨識精度表現最好。

圖5 各算法參數辨識灰箱模型A

圖6 各算法參數辨識灰箱模型B

為進一步量化不同參數辨識算法的性能表現，選用平均絕對百分比誤差（Mean Absolute Percentage Error, MAPE）和個體最大絕對百分比誤差（Individual Maximum Absolute Percentage Error, IMAPE）作為辨識結果的評價指標，更能體現相對百分比的偏差程度。MAPE和IMAPE的對應公式分別為

MAPE描述了參數辨識輸出結果與真實結果的平均百分比偏離程度，其值越小，模型在整體樣本空間的準確度越高；IMAPE則衡量了參數辨識輸出結果較真實結果在所有個體中的最大百分比偏離程度，其對個體極端值的敏感性，可以突出樣本空間中影響最大的個體誤差值，其值越小，模型的穩定性越強。兩灰箱模型在30組、20組和10組樣本數據集參數辨識前的誤差對比見表2。

表2 參數辨識前模型誤差對比

Tab.2 Model error before parameter identification

基于30組、20組、10組樣本數據集，選取不同算法對灰箱模型A和灰箱模型B的樣本隨機抽樣，并分別進行10次參數辨識，取參數平均值進行模型的誤差對比，結果見表3。

表3 參數辨識誤差對比

Tab.3 Error comparison of parameter identification

（續）

對表2和表3進行分析可知：

1）任意參數辨識算法辨識前后的MAPE和IMAPE表明，灰箱模型B的誤差均明顯優于灰箱模型A，即先驗電磁理論對電感的精度起到先決作用。

2）參數辨識的模型存在輕微非線性，在不同樣本數據集下，線性方法搜索的DE、DEB算法比隨機搜索的PSO、EGA算法誤差低且更穩定。特別是DEB算法，其穩定性最好、誤差最低。

3）DEB算法參數辨識灰箱模型A和灰箱模型B的結果如圖7所示。在最為重要的10組小樣本下，參數辨識前灰箱模型B的MAPE和IMAPE分別為0.60%和2.22%，參數辨識后降至0.10%和0.43%，精度提升了83.33%和80.63%。

圖7 DEB算法參數辨識兩灰箱模型的結果

4）在10組小樣本條件下，參數辨識精度MAPE高于20組樣本，說明個別的樣本點數據存在小的波動，且DEB算法對樣本的需求很少。

最終可得到參數辨識后的灰箱模型A和灰箱模型B分別為

3 超高壓電抗器的優化設計

3.1 超高壓電抗器多目標優化模型

本文研究的超高壓電抗器主要由裸導線、絕緣紙板、散熱油和非金屬油箱等組成。裸導線是原材料成本的主要考慮因素，詳細結構如圖1所示。

超高壓電抗器優化數學模型包含目標函數、約束條件和設計變量三個要素。優化時既要在保證電感和通流能力的同時實現導體用量最小化，又要減小設備運行總損耗[17]?？紤]導線質量與線徑為正比例關系，而電抗器損耗與線徑為反比例關系，目標函數之間相互矛盾，無法同時使所有目標取得最優解[19-21]。

根據超高壓電抗器油道和絕緣紙板的排列特點，考慮散熱和暫態過電壓問題[22]，選取電抗器單餅包封縱向線圈數h、輻向包封線圈數r絕緣紙板數1、油道數2電抗器內徑in和線徑為優化設計變量，以電抗器的電感和溫升為約束條件，建立以導線質量Mass最輕（即生產成本最?。p耗loss最小為目標函數的多目標優化模型。

電抗器溫升和電感的不等式約束條件分別為

式中，Tmax為第包封的最大溫升；max為最大包封溫升限值；L為參數辨識得到的電感值；min、max分別為電感參數的下、上限值。其中，包封溫升為

由于超高壓油浸空心電抗器用于室內串聯諧振試驗，電抗器的高度有最低限值[24]，即需滿足

式中，P為第包封的軸向線圈數；max為電抗器的高度限值。

目標函數中的變量、、D、是由電抗器單餅包封縱向線圈數h、包封輻向線圈數r絕緣紙板數1、油道數2電抗器內徑in和線徑共六個設計變量所共同決定的。

3.2 NSGA-Ⅱ算法優化設置

本研究采用帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法NSGA-Ⅱ來優化電抗器質量和損耗。該算法運行速度快，解集的收斂性好，具有較高的效率和魯棒性[25]。優化中采用的NSGA-Ⅱ算法和電抗器主要參數設置見表4。

表4 主要參數設置

Tab.4 Setting of main parameters

3.3 模型誤差的優化誤導

多目標優化進程中，代理模型精度越高，優化算法的全局收斂性越好，可以引導優化過程快速收斂到最優解。當模型的誤差較大時，未知設計空間中電抗器的優化方向可能會被誤導，無法找到全局最優解[26]。

分別選取式（3）、式（5）、式（14）和式（15）作為超高壓電抗器多目標優化模型中的電感約束條件。其中，式（3）和式（5）是基于電磁原理添加結構參數項得到，其MAPE和IMAPE的值較大，電感計算精度低；式（14）和式（15）是基于灰箱模型參數辨識得到，電感計算精度高。基于兩灰箱模型參數辨識前后公式優化電抗器電感所得到的Pareto前沿分布如圖8所示。

圖8 兩公式參數辨識前后的Pareto前沿分布

從圖8可以看出，使用低精度原始公式優化電抗器得到的Pareto前沿最優解集分布不連續，偏離基于高精度公式的優化方向，使用較低精度的模型

還會出現無法找到全局最優解的問題，優化進程被誤導；隨著改進經驗公式精度提升，Pareto前沿最優解集分布逐漸均勻，模型精度越高，得到的Pareto前沿最優解集的全局性越好。

兩改進經驗公式的Pareto前沿分布對比如圖9所示?？梢钥闯?，使用最低誤差0.10%的電感計算模型優化得到的Pareto前沿分布更加均勻，收斂精度更高，能夠最大限度地降低超高壓電抗器的生產成本和損耗。

圖9 兩種改進公式下的Pareto前沿分布對比

4 實例驗證

使用灰箱模型B的電感計算式（15）優化電抗器結構。根據Pareto前沿最優解集分布，設定生產成本和損耗兩個目標函數相同的權重，得到超高壓電抗器均衡型的結構參數設計結果見表5。

表5 多目標優化設計結果

Tab.5 Multi-objective optimization design results

由于仿真和最終制造工藝還存在一定誤差，因此工程上要求參數辨識模型計算超高壓電抗器電感的誤差不能超過1%。根據參數優化結果繞制樣機進行測試，超高壓空心電抗器樣機內部結構如圖10所示。

圖10 超高壓電抗器優化設計樣機

電抗器現場樣機的測試結果見表6?？梢钥闯?，本文優化方案設計的超高壓電抗器能夠滿足電感誤差在±1%以內，實驗測量結果和仿真結果基本一致。與原設計相比，優化后的電抗器裸導線質量降低21.4%、損耗降低18.6%，證明該高精度電感計算模型可有效實現超高壓電抗器的多目標優化。

表6 超高壓電抗器樣機測試結果

Tab.6 Parameter design sheet of 2.5 Mvar reactor

5 結論

本文建立了電抗器電感計算的灰箱模型，使用改進差分進化算法辨識模型參數，根據給定的電抗器性能參數，使用多目標優化算法NSGA-Ⅱ，考慮電抗器電感和溫升的約束，得到超高壓電抗器的一組優化設計結果，并完成實驗和數值模擬驗證，得到以下結論：

1）基于電磁原理修正了經驗公式，使其電感計算誤差降低至1%左右。

2）使用先驗電磁原理提出了灰箱模型，并建立了改進差分進化算法，在10組樣本下得到了誤差為0.10%的電感計算模型。

3）使用0.10%誤差的電感計算模型優化超高壓電抗器，優化結果表明電抗器的電感值誤差為0.9%，低于工程上要求的1%誤差。同時，生產成本和損耗分別降低了21.4%、18.6%。

基于灰箱模型和數據驅動的電感參數辨識方法可使用類似電抗器的模擬和實驗測量結果，是一種動態、可更新和適應性強的高精度電感計算模型獲取方法。

[1] 胡鵬飛, 謝誕梅, 熊揚恒. 一種基于白箱模型的人工神經網絡參數辨識算法[J]. 中國電機工程學報, 2016, 36(10): 2734-2741.

Hu Pengfei, Xie Danmei, Xiong Yangheng. An algorithm of parameter identification for wright-box models based on artificial neuron network[J]. Proceedings of the CSEE, 2016, 36(10): 2734-2741.

[2] 姜靜雅, 王瑋, 唐芬, 等. 基于電網擾動暫態響應分析的虛擬同步機黑箱建模[J]. 電網技術, 2020, 44(11): 4227-4236.

Jiang Jingya, Wang Wei, Tang Fen, et al. Black-box modeling of virtual synchronous generator based on transient response analysis under grid disturbances[J]. Power System Technology, 2020, 44(11): 4227-4236.

[3] Kristensen N R, Madsen H, J?rgensen S B. Parameter estimation in stochastic grey-box models[J]. Automatica, 2004, 40(2): 225-237.

[4] Fawzi T H, Burke P E. The accurate computation of self and mutual inductances of circular coils[J]. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, 1978, PAS-97(2): 464-468.

[5] 鄭莉平, 孫強, 劉小河, 等. 干式空心電抗器設計和計算方法[J]. 電工技術學報, 2003, 18(4): 81-84, 93.

Zheng Liping, Sun Qiang, Liu Xiaohe, et al. Design and calculation methods of dry-type air reactors[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2003, 18(4): 81-84, 93.

[6] 吳書煜, 馬宏忠, 魏旭, 等. 高壓電抗器匝間短路三維模型計算與分析[J]. 電力自動化設備, 2019, 39(4): 148-154.

Wu Shuyu, Ma Hongzhong, Wei Xu, et al. Calculation and analysis of three-dimensional model for turn-to-turn short circuit of high voltage reactor[J]. Electric Power Automation Equipment, 2019, 39(4): 148-154.

[7] 趙小軍, 曹越芝, 劉蘭榮, 等. 交直流混合激勵下變壓器用疊片式磁構件雜散損耗問題的數值模擬及實驗驗證[J]. 電工技術學報, 2021, 36(1): 141-150.

Zhao Xiaojun, Cao Yuezhi, Liu Lanrong, et al. Numerical simulation and experimental verification of stray loss of laminated magnetic components for transformers under AC-DC hybrid excitation[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2021, 36(1): 141-150.

[8] Grover F W. Tables for the calculation of the mutual inductance of any two coaxial single-layer coils[J]. Proceedings of the Institute of Radio Engineers, 1933, 21(7): 1039-1049.

[9] 機械工程手冊編輯委員會電機工程手冊編輯委員會. 電機工程手冊-二-基礎卷[M]. 2版. 北京: 機械工業出版社, 1996.

[10] Langford-Smith F. Radiotron designer's handbook[M]. 4th ed. Sydney: the Wireless Press for Amalgamated Wireless Valve Company. Pty. Ltd., 1953.

[11] 陳海昕, 鄧凱文, 李潤澤. 機器學習技術在氣動優化中的應用[J]. 航空學報, 2019, 40(1): 52-68.

Chen Haixin, Deng Kaiwen, Li Runze. Utilization of machine learning technology in aerodynamic optimization[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2019, 40(1): 52-68.

[12] 陳鋒, 王嘉瑋, 吳夢晗, 等. 基于RBF神經網絡的干式空心電抗器渦流損耗計算[J]. 電工技術學報, 2018, 33(11): 2545-2553.

Chen Feng, Wang Jiawei, Wu Menghan, et al. Eddy Current loss calculation of dry-type air-core reactor based on radial basis function neural network[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2018, 33(11): 2545-2553.

[13] Yang Hang, Lu Gao, Ji Shengchang, et al. Detection method of turn to turn insulation short circuit fault of dry-type air-core reactor using vibration characteristics based on machine learning[C]//2019 IEEE 8th International Conference on Advanced Power System Automation and Protection, Xi'an, China, 2019: 363-367.

[14] Zhou Yuren, He Xiaoyu, Chen Zefeng, et al. A neighborhood regression optimization algorithm for computationally expensive optimization problems[J]. IEEE Transactions on Cybernetics, 2022, 52(5): 3018-3031.

[15] 周奇, 楊揚, 宋學官, 等. 變可信度近似模型及其在復雜裝備優化設計中的應用研究進展[J]. 機械工程學報, 2020, 56(24): 219-245.

Zhou Qi, Yang Yang, Song Xueguan, et al. Survey of multi-fidelity surrogate models and their applications in the design and optimization of engineering equipment[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2020, 56(24): 219-245.

[16] 虞振洋, 王世山. 基于有限元模型重構的多物理場耦合空心電抗器優化設計[J]. 電工技術學報, 2015, 30(20): 71-78.

Yu Zhenyang, Wang Shishan. Optimum design of dry-type air-core reactor based on coupled multi-physics of reconstructed finite element model[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2015, 30(20): 71-78.

[17] 吳濱源, 李建文, 李永剛, 等. 用于諧波劣化分析的并網逆變器阻抗灰箱擬合方法[J]. 電工技術學報, 2022, 37(4): 942-953.

Wu Binyuan, Li Jianwen, Li Yonggang, et al. A gray-box fitting method of grid-connected inverters impedance for the analysis of harmonic degradation[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2022, 37(4): 942-953.

[18] Storn R, Price K. Differential evolution - A simple and efficient heuristic for global optimization over continuous spaces[J]. Journal of Global Optimization, 1997, 11(4): 341-359.

[19] 袁發庭. 基于熱、磁聯合的干式空心電抗器優化設計[D]. 武漢: 華中科技大學, 2018.

[20] 陳鋒, 巴燦, 徐玉東, 等. 矩形截面導線繞制的干式空心電抗器優化設計方法[J]. 電工技術學報, 2019, 34(24): 5115-5125.

Chen Feng, Ba Can, Xu Yudong, et al. Optimum design of dry-type air-core reactor wound with wire of rectangular cross-section[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2019, 34(24): 5115-5125.

[21] 王佳寧, 鄒強, 胡嘉汶, 等. 一種中壓絕緣大功率中頻變壓器的優化設計方法[J]. 電工技術學報, 2022, 37(12): 3048-3060.

Wang Jianing, Zou Qiang, Hu Jiawen, et al. An optimal design method for medium-voltage insulated high-power medium-frequency transformer[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2022, 37(12): 3048-3060.

[22] 王革鵬, 金文德, 曾向陽, 等. 特高壓并聯電抗器鐵心振動的分析與控制研究[J]. 電工技術學報, 2022, 37(9): 2190-2198.

Wang Gepeng, Jin Wende, Zeng Xiangyang, et al. Analysis and control research on core vibration of UHV shunt reactor[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2022, 37(9): 2190-2198.

[23] 張成芬, 趙彥珍, 陳鋒, 等. 基于改進NSGA-Ⅱ算法的干式空心電抗器多目標優化設計[J]. 中國電機工程學報, 2010, 30(18): 115-121.

Zhang Chengfen, Zhao Yanzhen, Chen Feng, et al. Multi-objective optimum design of dry-type air-core reactor based on improved NSGA-Ⅱ algorithm[J]. Proceedings of the CSEE, 2010, 30(18): 115-121.

[24] 謝毓城. 電力變壓器手冊[M]. 北京: 機械工業出版社, 2003.

[25] Deb K, Pratap A, Agarwal S, et al. A fast and elitist multiobjective genetic algorithm: NSGA-II[J]. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 2002, 6(2): 182-197.

[26] 龍騰, 劉建, Wang G G, 等. 基于計算試驗設計與代理模型的飛行器近似優化策略探討[J]. 機械工程學報, 2016, 52(14): 79-105.

Long Teng, Liu Jian, Wang G G, et al. Discuss on approximate optimization strategies using design of computer experiments and metamodels for flight vehicle design[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2016, 52(14): 79-105.

Grey Box Model and Optimization for Inductance Calculation of EHV Reactors

Jin Liang1,2Zhu Dengfeng1,2Yang Qingxin1,2Zhang Junjie3Gong Dexin1,2

（1. State Key Laboratory of Reliability and Intelligence of Electrical Equipment Hebei University of Technology Tianjin 300400 China 2. Key Laboratory of Electromagnetic Field and Electrical Apparatus Reliability of Hebei Province Hebei University of Technology Tianjin 300400 China 3. Baoding Tianwei BaoBian Electric Co. Ltd Baoding 071056 China）

The error of the existing EHV reactor inductance analysis and empirical calculation formula is greater than 1% of the engineering requirements. When the inductance calculation error is large, the optimization result of the reactor will be poor. Based on the electromagnetic principle, the revised inductance calculation empirical formula is established to reduce the error to about 1%, and the identifiable inductance calculation grey box model based on the prior electromagnetic principle is established. Based on the inductance sample data set obtained by numerical simulation, by introducing the adaptive variation factor and the optimal individual, an improved differential evolution algorithm was established and the parameters of the grey box model were identified, and a high-precision inductance calculation model with an error of 0.1% was obtained. Using the NSGA-II algorithm to optimize the design of the ultra-high voltage reactor, the wire quality and loss of the reactor were reduced by 21.4% and 18.6%, respectively. The experiment proves the correctness of the grey box model of inductance calculation obtained by parameter identification and the effectiveness of the optimization method. The reactor inductance parameter identification method established in this paper provides a new theoretical and practical idea for high-precision inductance calculation.

EHV reactor, grey box model, differential evolution algorithm, parameter identification, few samples

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.220885

TM471

國家自然科學基金面上項目（51977148）、中央引導地方科技發展專項自由探索項目（226Z4503G）和國家自然科學基金重大研究計劃（92066206）資助。

2020-05-22

2022-08-03

金 亮 男，1982年生，博士，教授，研究方向為工程電磁場與磁技術、電磁場云計算和電磁無損檢測等。E-mail：jinlnet@gmail.com

祝登鋒 男，1997年生，博士研究生，研究方向為工程電磁場與磁技術。E-mail：202111401010@stu.hebut.edu.cn（通信作者）

（編輯 李冰）