混凝土中爆炸應力波衰減規律的數值模擬研究*

高 矗，孔祥振，方 秦，王 銀，楊 亞

（1. 陸軍工程大學爆炸沖擊防災減災國家重點實驗室，江蘇 南京 210007；2. 內蒙古財經大學，內蒙古 呼和浩特 010070）

混凝土廣泛用于軍民用防護結構中，在抗爆設計和毀傷評估時，重點關注在武器彈藥爆炸等強動載作用下混凝土的應力波傳播。在炸藥爆炸近區，混凝土荷載具高幅值和短持時，呈現與靜載作用下顯著不同的強非線性、高應變率效應和高靜水壓力，這使分析混凝土中爆炸應力波（以下簡稱為爆炸波）衰減規律面臨巨大的困難和挑戰[1]。

爆炸實驗成本高、周期長，且混凝土中傳感器埋設和高幅值應力波測試較難，現有混凝土爆炸波衰減規律的實驗相對較少。Gran 等[2]測定了球形裝藥在WES5000 混凝土（設計抗壓強度為34.5 MPa[3]）靶體中爆炸時不同距離的爆炸波曲線，并對比不同類型傳感器測試結果，驗證了實驗數據的可靠性。Mu 等[4]對不同裝藥埋深時混凝土中爆炸波峰值衰減規律進行了實驗研究，并結合量綱分析給出了C30 混凝土爆炸波峰值的預測公式。黃家蓉等[5]測得了柱形裝藥在C20 砂漿中的爆炸波，并利用AUTODYN 對實驗進行了數值模擬，模擬結果與實驗吻合較好。然而，混凝土中爆炸波的傳播衰減涉及炸藥能量釋放、混凝土材料與爆轟產物的相互作用、強沖擊波在介質中的傳播等，理論研究難以全面反映這些過程。宗國慶[6]對混凝土介質的爆炸破壞效應（如開坑破壞）進行了較系統的分析并建立了相關公式。Tu 等[7]建立了柱形裝藥接觸爆炸時混凝土中爆炸波預測的理論模型，但模型僅基于混凝土損傷破壞實驗（如震塌破壞）進行驗證，有待進一步驗證可靠性。

數值計算方法的發展和計算效率的提升，使數值模擬逐漸成為研究混凝土中爆炸波的重要手段[8]。董永香等[9]利用LS-DYNA，模擬了平面爆炸波在半無限混凝土介質中的傳播過程，認為應力波幅值衰減和材料損傷演化存在內在聯系。趙凱等[10]模擬了集團裝藥產生的爆炸波在混凝土介質中的傳播，闡明了裝藥形狀對近區混凝土擴孔效應、應力波傳播和混凝土損傷演化的影響。但是，因缺乏可靠的實驗數據和高精度的數值模擬結果，尚未建立可靠的混凝土中爆炸波衰減規律的實用計算公式。

混凝土中爆炸波數值模擬的精度取決于許多因素，其中完善的混凝土材料模型、合理的數值算法和合適的網格尺寸是關鍵。在爆炸荷載作用近區，受高壓和高應變率作用混凝土材料呈現近似流體特性，經典損傷塑性模型難以較好描述其時混凝土的力學行為。因此，普遍采用流體彈塑性模型，即分別采用強度面和狀態方程，描述在沖擊爆炸荷載下混凝土的偏量和球量行為。近年來，又開發了Kong-Fang 混凝土材料流體彈塑性模型（以下簡稱為Kong-Fang 模型）[11-15]。Kong 等[11]依據混凝土壓力-體積應變和三軸壓縮的實驗數據，對比分析了常用的HJC 模型、RHT 模型、K&C 模型和Kong-Fang 模型等流體彈塑性模型對狀態方程和最大強度面的預測效果，發現Kong-Fang 模型整體上優于其他3 種模型。Kong-Fang 模型具有良好的預測效果，其原因為：首先，以往模型高圍壓實驗數據較少，Kong-Fang 模型在參數標定時補充了高圍壓下的相關實驗數據；其次，Kong-Fang 模型通過關聯流動法則考慮球量對偏量的影響，更符合高圍壓下的混凝土材料的響應狀態。

混凝土中爆炸波傳播的數值模擬過程涉及爆轟產物的膨脹飛散和混凝土的損傷破壞等，合理的數值算法需同時描述爆轟產物飛散以及混凝土材料的大變形。在描述混凝土靶體大變形時，Lagrange 算法需通過侵蝕算法解決網格畸變問題，導致爆轟能量發生較大耗散，無法有效地模擬爆轟產物和混凝土間的相互作用。Euler 算法可避免網格畸變問題而能模擬爆轟產物的大變形流動，但在界面運動追蹤方面有些困難[8]。而ALE（arbitrary Lagrangian-Eulerian）算法不僅可以避免網格畸變問題，也能較好地追蹤多種物質的界面[16]，可較好地描述混凝土中爆炸波的傳播衰減。

值得注意，武器彈藥命中目標時的埋深常介于接觸爆炸和完全內爆（自由場爆炸），變埋深條件下裝藥爆炸能量與混凝土介質的耦合形式和比例尚未有定論[16-17]。在美軍技術手冊TM5-855-1《常規武器防護設計基礎》中，引入耦合系數（裝藥部分埋設爆炸與完全內爆在相同介質中產生的爆炸效應比），并給出混凝土中耦合系數與裝藥比例埋深的關系曲線。在計算爆炸波峰值、沖量和介質加速度等爆炸效應參數時，該手冊均使用相同的耦合系數[18]，而沖量型耦合系數與應力型耦合系數是有區別的[19]。Mandal 等[16]和Leong 等[20]指出，耦合系數與裝藥形狀、介質強度和密度等均相關，因此，對不同爆炸效應參數采用相同耦合系數，有待商榷。

本文中，基于WES5000 混凝土中球形裝藥內爆實驗[2]，利用近年開發的Kong-Fang 混凝土材料模型[13-14]和LS-DYNA 中的多物質ALE 算法，研究混凝土中爆炸應力波的傳播衰減規律，并采用量綱分析方法建立混凝土自由場中近區爆炸波峰值的計算公式。在此基礎上，分析裝藥埋深對混凝土中爆炸波峰值分布和耦合系數的影響，建立變埋深時混凝土中近區爆炸波峰值應力的計算公式。

1 數值模型及驗證

基于Kong-Fang 混凝土材料模型，先標定WES5000 和C100 混凝土的參數，再采用LS-DYNA 的多物質ALE 算法分析網格尺寸的收斂性，然后利用Gran 等[2]的實驗數據驗證數值模型結果。

1.1 材料模型及參數標定

Kong-Fang 模型參數主要包括強度面參數、狀態方程參數和損傷參數[13-14]，為確保爆炸波模擬的準確性，先根據已有混凝土靜動態力學性能實驗，重新標定WES5000 和C100 高強混凝土的狀態方程和強度面參數。

Schmidt 等[3]、Gran 等[21]和Gebbeken 等[22]進行了WES5000 混凝土基本力學性能實驗。利用靜水壓縮和平板撞擊實驗標定狀態方程參數，利用三軸壓縮實驗標定強度面參數，如圖1～2 所示。

圖1 WES5000 混凝土的狀態方程Fig. 1 Equation of state for WES5000 concrete

圖2 WES5000 混凝土的強度面參數Fig. 2 Failure surface parameters for WES5000 concrete

對于C100 高強混凝土，采用Yang 等[15]對Kong-Fang 模型標定的超高性能混凝土狀態方程（見圖3）；基于Williams 等[25]和Ren 等[26]的三軸壓縮實驗數據，標定了強度面參數（見圖4）。

圖3 C100 混凝土的狀態方程[15]Fig. 3 Equation of state for C100 concrete[15]

圖4 C100 混凝土的強度面參數Fig. 4 Failure surface parameters for C100 concrete

WES5000 和C100 混凝土的其他參數，采用Kong-Fang 模型自動生成算法獲得[12,14]。

采用Jones-Wilkins-Lee 狀態方程描述B 炸藥和TNT 炸藥：

1.2 數值計算策略及網格收斂性分析

Gran 等[2]開展了0.454 kg 球形B 炸藥在WES5000 混凝土中爆炸波傳播的實驗研究，得到了不同位置處的爆炸波時程曲線。圖5 為實驗靶體及傳感器布置示意圖，裝藥位于靶體中心位置，圓柱形靶體直徑和厚度均為1.83 m，周向設有鋼箍，采用不同類型的壓力傳感器（Yb、PVDF 和Carbon）并設置平行實驗，確保實驗數據的可靠性。

圖5 實驗示意圖[2]Fig. 5 Schematic diagram of the experiment[2]

采用LS-DYNA 中的多物質ALE 算法對實驗進行模擬，其中炸藥和混凝土均采用ALE 網格，鋼箍采用Lagrange 網格，利用流固耦合建立流體ALE 域和Lagrange 域的相互作用。因幾何軸對稱性，可采用二維軸對稱方式建模，如圖6 所示。

圖6 實驗的有限元模型Fig. 6 The finite element model for the experiment

選擇合適的網格尺寸，可有效提高計算精度和效率，利用上述有限元模型對網格收斂性進行分析。圖7 為不同網格尺寸時距裝藥中心0.15、0.30 和0.5 m 處混凝土中的壓力曲線。當網格尺寸小于6 mm 時，壓力曲線均收斂，所以，后續數值模擬中網格尺寸均選為6 mm。

圖7 不同網格尺寸的壓力曲線Fig. 7 Pressure curves under different mesh sizes

1.3 數值模擬結果驗證

現在，利用Gran 等[2]的實驗數據驗證數值模型結果。

圖8 為爆炸波峰值應力隨距離的變化，可見數值模擬結果與實驗數據良好吻合。進一步，圖9 為5 個距離處的應力曲線，可見數值模擬的爆炸波峰值應力、升壓時間和正壓持續時間均與實驗數據較好吻合。這驗證了Kong-Fang 混凝土材料模型和多物質ALE 算法的可靠性。

圖8 爆炸波峰值應力隨距離的變化Fig. 8 Variation of explosion wave peak stress with distances

圖9 不同距離處的應力曲線Fig. 9 Stress curves at different distances

2 球形裝藥在混凝土自由場中爆炸波衰減規律

基于上述驗證的數值模型，開展球形裝藥在混凝土自由場中爆炸波衰減規律的數值模擬研究。為便于分析，裝藥采用1 kg TNT，靶體仍采用WES5000 混凝土，同時為模擬自由場爆炸條件，靶體外邊界采用透射邊界，有限元模型與圖6 相似。

2.1 爆炸波衰減機理

圖10 為比例距離0.06～0.20 m/kg1/3混凝土中的徑向應力和環向應力曲線。在傳播過程中爆炸波迅速衰減，比例距離較小時峰值應力近似呈線性衰減，隨著比例距離的增大，衰減速率逐漸變緩，總體呈指數衰減趨勢。比例距離小于0.1 m/kg1/3時，為強間斷沖擊波，上升沿短、脈寬窄，隨著傳播距離的增加，上升沿逐漸拉長，脈寬逐漸增大，強間斷漸變為弱間斷。這主要由球面爆炸波自身的擴散效應和混凝土介質對爆炸波的耗散作用共同導致。比例距離為0.06 m/kg1/3時，徑向應力和環向應力曲線基本一致，這是因爆炸近區材料剪切強度相對靜水壓力較小，其力學行為與流體相似；隨著比例距離的增大和爆炸波的迅速衰減，混凝土的強度效應逐漸呈現，徑向應力和環向應力的差異逐漸顯著。依據van Amelsfort 等[28]和TU 等[7]的實驗結果和理論預測模型，WES5000 混凝土的壓碎強度范圍為0.6～1.5 GPa，峰值應力在此范圍時混凝土被完全壓碎而形成壓碎區，強度大于1.5 GPa 時混凝土為近似流體區。利用數值模擬計算的壓縮損傷如圖11 所示，近似流體區和壓碎區的比例半徑范圍分別為0.08～0.12 和0.12～0.20 m/kg1/3，爆炸空腔的比例半徑小于0.08 m/kg1/3。

圖10 比例距離0.06～0.20 m/kg1/3 時的應力曲線Fig. 10 Stress curves at the scaled distances 0.06-0.20 m/kg1/3

圖11 WES5000 混凝土靶體損傷的數值模擬結果Fig. 11 Simulation results for WES5000 concrete target damage

比例距離為0.25～0.60 m/kg1/3時，在混凝土中傳播的爆炸波球面除幅值衰減和耗散，還呈現了其他典型特征，如圖12 所示。一方面，在塑性峰值應力到達前可觀測到明顯的彈性前驅波，因彈性前驅波波速高于后續的塑性波波速，隨傳播距離的增加其波陣面趨于平緩；區別于一維彈性波，因球面波自身的擴散效應，彈性前驅波的峰值應力隨傳播距離增加而逐漸減小（見圖12 中的黑色虛線）。另一方面，各應力曲線出現振蕩，峰值后應力不再單調遞減，而類似于脈動應力。該現象是因為，爆轟波在混凝土中產生強沖擊波的同時，在爆轟產物中形成反向壓縮波向爆心傳播，壓縮波受到產物后方稀疏波的迎面稀疏作用強度不斷下降，直至中心匯聚后才重新加載[29-30]。因此，在爆炸過程結束前，爆轟產物內始終存在壓縮波及稀疏波的傳播及其相互作用，而引起混凝土中爆炸波形的振蕩。需要指出，在相關實驗[2,4-5]中的應力曲線并未體現波形振蕩現象，這可能是因為，波形振蕩和傳感器噪聲引起的振蕩無法有效區分，在濾波時被一并濾掉。

圖12 比例距離0.25～0.60 m/kg1/3 時的應力曲線Fig. 12 Stress curves at the scaled distances 0.25-0.60 m/kg1/3

如圖13 所示，比例距離繼續增加，當比例距離大于1.00 m/kg1/3時，徑向峰值應力已低于混凝土的靜態抗壓強度（41.4 MPa）。同時，到達一定比例距離時，混凝土環向拉伸應力開始主導，這是因混凝土介質在球面壓縮波的作用下徑向運動時，其環向受到拉應力的作用，且當環向拉應力超過混凝土動態拉伸強度時產生徑向裂縫。由于混凝土的抗拉強度遠小于抗壓強度，因此在壓碎區外出現以產生裂縫為主的破裂區[16]，且由于裂縫端部的應力集中效應，裂縫可擴大延伸到較遠處。采用數值模擬得到拉伸損傷的破裂區如圖11(b)所示，其破裂區比例半徑為0.7～1.4 m/kg1/3，遠大于壓碎區的；介于壓碎區和破裂區的區域稱為過渡區[16]，其區域比例半徑為0.2～0.7 m/kg1/3。而當混凝土的抗拉強度大于環向拉應力時，不再形成裂縫，混凝土只發生彈性變形，對應的區域稱為彈性區。

圖13 比例距離0.70～1.60 m/kg1/3 時的應力曲線Fig. 13 Stress curves at the scaled distances 0.70-1.60 m/kg1/3

鄭哲敏等[31]的流體彈塑性模型中，將爆炸作用下介質的流體、固體特性及運動規律用統一的方程表述。依據該模型并結合上述分析，可將爆炸空腔周圍混凝土介質的變形劃分為近似流體區、壓碎區、過渡區、破裂區和彈性區等5 個區域，如圖14 所示。

圖14 爆炸空腔周圍混凝土介質的變形區域Fig. 14 Deformation zones of concrete around the blasting cavity

2.2 量綱分析

爆炸波是混凝土防護結構的主要荷載，對爆炸波峰值等荷載參數的準確預測是確保結構抗爆設計可靠性的前提。借助量綱分析得到混凝土中爆炸效應參數的一般變化規律[32]，再結合實驗數據和數值模擬，建立混凝土中爆炸波峰值的預測模型。

如忽略混凝土靶體的尺寸效應和爆炸波的耗散，爆炸波峰值等爆炸效應參數X是爆炸能量E、測點與裝藥中心的距離S、混凝土密度ρ 和混凝土波速?的函數[4,20]。即：

令無量綱量 π1=S(ρc2/E)1/3，則式(3)可變為無量綱函數形式：

中彈的鬼子堅持了幾秒，身子一歪，癱倒在一架鹿砦上，刀槍都脫了手，滾落到一邊。他瞪著一只空洞的眼看見余暉落日。

本文中，關注的是峰值應力σ，令無量綱量 π =σ/(ρc2) ，則式(4)變為：

炸藥能量E與質量Q成正比，為簡化且體現Hopkinson-Cranz 相似律[20,33]，用Q替代E，則：

2.3 峰值應力計算公式

由2.1 節，當比例距離大于1.00 m/kg1/3時，爆炸波已衰減為球面彈性波，本文中重點關注比例距離0.09～1.00 m/kg1/3混凝土中的爆炸波峰值應力分布。在此比例距離，爆炸波為塑性波，c應取塑性波速。

WES5000 混凝土的密度ρ=2 180 kg/m3，可通過圖10、12 中爆炸波峰值應力達到時間和距離得到塑性波速c=3 200 m/s。由此，可建立無量綱峰值應力 σ*與距離S*的關系，如圖15 所示。可見， σ*與S*呈指數關系：

圖15 爆炸波峰值應力隨距離的變化Fig. 15 Variations of explosion wave peak stress with distance

基于2.1 節數值模擬的混凝土自由場中爆炸波峰值應力數據，可擬合得到a=1 525,b=1.734，相關系數R2=0.977。由此，可建立WES5000 混凝土自由場中爆炸波峰值應力的計算公式：

由量綱分析結果，爆炸波峰值應力與混凝土密度和波速（波阻抗）密切相關。為驗證式 (10)在其他強度混凝土中的適用性，建立1 kg 球形TNT 裝藥在C100 混凝土自由場中爆炸的數值模型，并根據實驗數據和數值模擬結果，得到C100 混凝土密度ρ=2 570 kg/m3、塑性波波速c=3 434 m/s。圖15 為式(10)與數值模擬結果的比較，可見式(10)可較好地預測數值模擬的 σ*和S*的關系。

為進一步驗證式(10)的可靠性和適用性，與Gran 等[2]和Mu 等[4]不同強度混凝土中的爆炸波峰值應力實驗數據比較，在整體上式(10)較好吻合。Mu 等[4]根據實驗數據，確定了不同強度混凝土的衰減系數b=1.67～1.84，而式(10)中衰減系數b=1.734，與之吻合。

3 裝藥埋深對峰值應力分布的影響

式(10)中僅適用于裝藥在混凝土完全內爆（自由場）情況，事實上，武器彈藥命中目標時的埋深常介于接觸爆炸和完全內爆之間，本節中將分析裝藥埋深對混凝土中爆炸波峰值應力分布的影響。

3.1 不同裝藥埋深下爆炸波峰值應力

圖16 為1 kg 球形TNT 裝藥在WES5000 混凝土中不同埋深時，裝藥正下方無量綱峰值應力σ*與距離S*的關系，其中比例埋深h*為裝藥中心到靶體上表面的比例距離。可以看出，接觸爆炸（h*=-0.053 m/kg1/3）與自由場爆炸在相同距離S*處的 σ*有明顯差異，且隨著裝藥埋深的增加差異逐漸減小，當比例埋深大于0.1 m/kg1/3時與自由場爆炸幾乎無差異。

圖16 不同埋深時WES5000 混凝土的爆炸波峰值應力隨距離的變化Fig. 16 Variations of explosion wave peak stress for WES5000 concrete with distance at different burial depths

3.2 混凝土爆炸波峰值應力耦合系數

目前，變埋深條件下裝藥爆炸能量和混凝土介質的耦合形式和比例尚無定論[16-17]。在手冊TM5-855-1 中，定義耦合系數f為部分埋設或淺埋爆炸與完全埋設爆炸（自由場爆炸）在相同介質中所產生爆炸效應的比[18]。本文中，重點關注裝藥正下方爆炸波峰值應力隨裝藥埋深的變化，則定義爆炸波峰值應力耦合系數：

第1 階段：爆轟波直接作用，f=1。

圖17 不同埋深時WES5000 混凝土峰值應力耦合系數隨距離的變化Fig. 17 Variations of peak stress coupling coefficient for WES5000 concrete with distance at different burial depths

圖18 峰值應力耦合系數隨距離的變化規律Fig. 18 Variety rule of peak stress coupling coefficient with distance

第3 階段：沖擊波衰減為穩定的彈塑性波，耦合系數幾乎不變化，為常數f0。

Mu 等[4]的實驗表明，混凝土的爆炸效應耦合系數不僅受裝藥埋深的影響，還與混凝土材料的強度等指標高度相關。為驗證建立的爆炸壓縮波峰值應力耦合系數計算公式對其他強度混凝土的適用性，通過數值模擬計算C100 混凝土在接觸爆炸（ μ*=0）和半埋爆炸（ μ*=0.5）時的峰值應力耦合系數（見圖20），可見其值與WES5000 混凝土差別不大。由此說明，建立的峰值應力耦合系數計算公式具有廣泛的適用性，在已知裝藥埋深（質量系數 μ*）時，能快速確定離裝藥中心特定距離S*處混凝土的峰值應力耦合系數。

圖19 穩定峰值應力耦合系數隨質量系數的變化Fig. 19 Variation of stable peak stress coupling coefficient with mass coefficient

圖20 WES5000 和C100 混凝土的峰值應力耦合系數隨距離的變化Fig. 20 Variations of peak stress coupling coefficients for WES5000 and C100 concretes with distance

3.3 變埋深條件下爆炸波峰值應力計算公式

由式(16)結合式(10)，可得任意裝藥埋深和測點距離下球形裝藥正下方混凝土中爆炸波峰值應力的計算公式：

4 結 論

基于Kong-Fang 混凝土材料模型，利用LS-DYNA 中的多物質ALE 算法，開展球形裝藥在混凝土中爆炸波衰減規律的數值模擬。通過模擬已有實驗驗證了數值模型的可靠性，在此基礎上分析了混凝土自由場中爆炸波衰減規律，并探討了裝藥埋深對混凝土中近區爆炸波峰值應力分布的影響。主要結論如下。

(1) Kong-Fang 混凝土材料模型在模擬混凝土中爆炸波傳播規律時具有較高精度，可有效預測混凝土中爆炸應力波傳播的衰減規律。

(2) 借助量綱分析，利用數值模擬結果建立的球形裝藥在混凝土中近區爆炸波峰值應力的計算公式具有良好的可靠性和適用性，在已知混凝土密度、 塑性波波速和裝藥量下，能快速預測特定距離下混凝土中爆炸波峰值應力。

(3) 耦合系數不僅與裝藥埋深有關，還與測點與裝藥中心的距離有關；建立了爆炸波峰值應力耦合系數與裝藥在混凝土中的質量系數、與裝藥中心距離的定量關系，可較準確地計算任意埋深條件下球形裝藥正下方混凝土中特定距離處的爆炸波峰值應力。