超聲波作用下的毛細現象

張天宇，鄧欣雨，陸建隆，王 巍，鐘 鳴

(南京師范大學 a.物理科學與技術學院；b.教師教育學院，江蘇 南京 210023)

生活中常見的毛細現象是指將細小的玻璃管插入水中，水會在管中上升一定高度的現象. 而超聲毛細現象是指將毛細管的一端浸沒在超聲波浴中，毛細管內的液面出現顯著上升的現象，同時液面上升高度通常高于未加超聲波時由于毛細現象導致液面上升的高度. 超聲毛細現象未來可應用于醫學領域制作微型泵裝置、或大型壓力泵等工業領域. 1981年，N.V.Dezhkunov和P.P.Prokhorenko 對超聲毛細現象與潤濕性、表面張力、含氣量、蒸汽壓的關系進行了實驗探究并給出了相應解釋，提出毛細管底部的空蝕區是導致超聲毛細現象的原因[1]. 2004年，N.V.Dezhkunova和T.G.Leightonb在不同振幅大小的超聲波作用下，拍攝得到了毛細管底部空蝕區的照片[2]，進一步說明了超聲空化是導致超聲毛細現象的主要原因. 但目前對于超聲毛細現象尚存在理論不夠完善、影響參量研究較少、缺乏具體相關參量對毛細管內液面上升高度直接影響的實驗研究.

本文利用超聲空化理論對超聲毛細現象進行了解釋，探究了超聲毛細現象的影響因素，利用一定頻率的超聲波產生周期性的正壓與負壓，在毛細管下方激發出大量空化氣泡聚集破裂的空蝕區，推動毛細管中液面不斷上升，從而產生超聲毛細現象. 通過設計實驗，探究了聲壓、溫度、毛細管內徑等參量對毛細管內液面上升高度的影響，進一步證明了超聲空化理論的合理性.

1 超聲毛細現象的理論分析

1.1 超聲毛細現象的定性解釋

根據超聲空化理論[1-3]，超聲毛細現象是由于玻璃毛細管底部機械切割造成大量微裂縫，在超聲波作用下這些微裂縫導致在毛細管底部一定區域內存在空蝕云(大量空化氣泡的云狀聚集區)，空蝕云內的大量氣泡不斷經歷生長、收縮、潰滅的空化過程，由于這些空化過程發生的周期非常短[一般為幾個超聲周期內(0.1 ms內)]，從而推動毛細管內液面顯著上升.

1.2 超聲波聲壓對超聲毛細現象的影響

采用熱力學理論，通過導出超聲波作用下的單泡空化運動方程(單個氣泡半徑R與時間t的函數關系)，并通過數值模擬，即可推測出超聲波的空化閾值.探討在不同超聲波聲壓下，超聲波聲壓大小對超聲毛細現象的影響.未加超聲波時，假設初始氣泡內部壓強為pin，初始氣泡外部壓強為pout，則未加超聲波時，單一氣泡內部壓強和外部壓強的表達式：

pin=pv+pg0,

(1)

(2)

其中，pv為水蒸氣壓強，pg0為氣泡內除水蒸氣外其他氣體的壓強，p0為液體壓強，2σ/R0為表面張力帶來的附加壓強，σ為表面張力系數，R0為氣泡初始半徑.

根據氣泡內外力學平衡可知，初始氣泡內部壓強等于初始氣泡外部壓強，即pin=pout，由式(1)～(2)可得氣泡內除水蒸氣外其他氣體壓強為

(3)

將聲壓為pa的超聲波聲場作用于氣泡后，氣泡半徑由R0變為R，氣泡內除水蒸氣外其他氣體壓強由pg0變為pg.此時氣泡內外壓強變為

pin′=pv+pg,

(4)

(5)

其中，pin′為外加超聲波后氣泡內部壓強，pg為外加超聲波后氣泡內除水蒸氣外其他氣體的壓強，pout′為外加超聲波后氣泡外部壓強，pa為超聲波聲壓.

當加超聲波后，氣泡內部壓強大于氣泡外部壓強，即pin′>pout′時，氣泡膨脹；當加超聲波后氣泡內部壓強小于氣泡外部壓強，即pin′

假設氣泡在施加超聲波前、后經歷了多方過程[4]，則施加超聲波后，氣泡經歷多方過程前后，壓強與體積的關系為

pVn=C,

(6)

其中，n為絕熱系數，C為常量.

根據式(6)可得氣泡在施加超聲波后，氣泡內除水蒸氣外其他氣體壓強pg與未施加超聲波時的壓強pg0滿足如下關系：

(7)

其中，R為施加超聲波后的氣泡半徑.

當空化氣泡收縮時，周圍整個空間的液體將移向氣泡收縮所釋放的空間，其動能為

(8)

其中，v為液體移動的速度，ρ為液體(水)密度，m為周圍液體質量.

液體獲得的動能即為氣泡受到的外部壓力pout′克服內部壓力pin′所做的功，具體表示為

(9)

式(9)等號左邊為液體移向氣泡收縮空間獲得的動能；右邊為氣泡外部壓力克服內部壓力所做的功.上式兩邊對R微分后整理得：

(10)

將式(4)～(5)代入式(10)，得到在不考慮氣泡內部蒸汽壓的情況下[4]空化氣泡的運動方程：

(11)

在式(11)的基礎上，考慮運動能量的黏滯損耗和聲波輻射阻尼，可以得到最終氣泡運動表達式[5-6]為

(12)

由式(12)可知，氣泡半徑隨時間的變化與超聲波聲場的聲壓振幅pa有關.在不同超聲波聲壓振幅下，氣泡半徑隨時間的變化關系較復雜.因此，使用替換法可將式(12)的二階常微分方程化簡為一階微分方程組，再利用Matlab進行四階Runge-Kutta法數值模擬，最后即可得到不同超聲波作用下氣泡半徑比R/R0隨時間t的變化圖像.

假設氣泡經歷等溫過程[7-8]，即n=1,在Matlab仿真中選取的各參量取值如表1所示.實驗采用的液體為水，故液體相關參量均取水的參量值.通常情況下，作用到氣泡的是正弦或余弦聲波，故取超聲波聲壓pa=-pAsin (2πft) Pa，氣泡初始半徑取值可以參考其他相似文獻[4,8]，超聲頻率采用實驗儀器的頻率，圖1為在超聲波振幅pA分別為0.7×105Pa，1.0×105Pa和1.5×105Pa的情況下，氣泡半徑比值隨時間的變化圖像.

表1 Matlab仿真選取的參量值

由圖1可知，氣泡半徑比值從1開始，隨著時間不斷增加，在超聲波作用下，經歷了生長、收縮，最后半徑迅速縮小至發生高速潰滅的過程. 超聲波作為物質波在水中傳播會引起局部區域水分子疏密程度的變化，從而在宏觀上呈現出周期性的正壓與負壓. 氣泡在超聲波的負壓作用下，隨著聲壓逐漸增大，氣泡崩潰前R/R0增大，單一氣泡的空化劇烈程度隨之增加. 不同聲壓大小下，氣泡膨脹的半徑比分別為1.4[圖1(a)]、2.5[圖1(b)]和6.6倍[圖1(c)]；當超聲波的正壓作用時，氣泡收縮并高速潰滅至半徑接近0，此過程中將會釋放強大的沖擊波，該沖擊波引起的高速沖流是毛細管內液面上升的主要因素.

(a)pA=0.7×105 Pa

通過Matlab可以進一步得到圖2，即氣泡崩潰時R/R0與超聲波聲壓p的關系圖像. 可以發現:在p<1×105Pa時，氣泡潰滅時R/R0的值相對較小;在p>1×105Pa時,R/R0的值迅速增長，說明氣泡超聲空化現象存在明顯的空化閾值. 從圖2可以看出表1相應數據下的空化閾值約為1×105Pa. 當聲壓低于空化閾值，難以發生空化現象；當聲壓高于空化閾值，氣泡超聲空化現象的劇烈程度將會隨著聲壓增大而迅速增加.

圖2 氣泡崩潰時R/R0與p的關系圖像

通過以上分析，聲壓大小是影響單泡空化強度的決定性因素，對超聲毛細現象具有重要影響. 在聲壓大小低于空化閾值時，附加壓強小，超聲毛細現象難以發生；當聲壓大小超過超聲空化閾值時，聲壓大小增大，附加壓強增加，超聲毛細現象隨之變得劇烈.

1.3 溫度和毛細管內徑對超聲毛細現象的影響

空化氣泡運動方程[式(12)]中的參量包含液體的表面張力、黏度、密度等參量，而溫度對于水的表面張力、黏度、密度等都有影響，因此溫度對超聲毛細效應也具有一定影響[1]. 對水而言，溫度上升導致水的蒸汽壓迅速上升(從20 ℃增加到80 ℃，對應蒸汽壓增長20倍)，氣泡半徑雖有一定增長，但是潰滅用時大幅延長，導致單泡空化能量下降，半徑對氣泡內壓力影響變小，部分氣泡膨脹過度，在1個壓縮相中難以崩潰，氣泡崩潰比例下降[1,9]，引起超聲毛細附加壓強下降，從而導致超聲毛細現象減弱.

由于在超聲毛細現象中，毛細管口的眾多微裂縫對空化有著決定性作用，當毛細管內徑增大時，單位面積存在的微裂紋數目下降，從而導致空蝕區內空化氣泡數密度下降，附加壓強減小，超聲毛細現象進而減弱.

1.4 其他因素對超聲毛細現象的影響

除了上述討論的聲壓、溫度和毛細管內徑對超聲毛細現象有影響外，還有其他因素對超聲毛細現象有影響. 根據Blake對空化閾值的結論[10-11]，頻率對空化閾值沒有影響，但隨著頻率的增大，氣泡膨脹時間縮短，氣泡不能很好地膨脹，導致超聲作用下氣泡潰滅時的氣泡半徑減小;同時過高的頻率會大幅縮短氣泡壓縮時間，導致氣泡來不及崩潰而轉入下一周期的膨脹，最終使得產生的附加壓強減小，超聲毛細現象減弱[8,12].

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液體的含氣量是決定空化氣泡數量的重要因素，在超聲振幅較小時，毛細管端口附近的空化氣泡密度隨液體含氣量的增加而增加，進而能夠增大超聲毛細現象的劇烈程度；而在超聲振幅較大使端口附近的空化泡密度接近飽和時，含氣量的增加將會導致氣泡內壓強增加，其效果與增加蒸汽壓相同，會減小附加壓強，從而減弱超聲毛細現象. 目前，通過脫氣、沉降、沸騰等措施均可以改變水的含氣量[1].

2 實驗探究

2.1 實驗裝置

如圖3所示，實驗裝置由超聲波清洗儀、玻璃毛細管、鐵架臺、刻度尺組成. 超聲波清洗儀提供超聲波，鐵架臺用于固定長玻璃毛細管及調整毛細管入水深度，刻度尺用于測量毛細管內液面高度. 超聲波清洗儀選用朗菲的CS-601單源版成品超聲波清洗儀，其額定電壓12 V，功率24 W，超聲頻率47 kHz，最大容積0.5 L. 玻璃毛細管為定制的內徑為0.4 mm、外徑為2.7 mm、長50 cm的石英毛細管. 上下固定裝置均為帶有2.7 mm孔徑的3D打印固定板并通過夾子夾持固定于鐵架臺上. 圖4為實驗裝置實物圖.

圖3 實驗裝置示意圖

圖4 實驗裝置實物圖

2.2 仿真超聲波清洗儀聲場聲壓分布

運用COMSOL軟件中聲學仿真模塊，對超聲波清洗槽建模，添加壓力聲學組件并進行超聲波振動面的參量設定，對實驗選用的超聲波清洗儀中的超聲波聲壓場進行有限元仿真，得到如圖5～6所示的聲壓剖面圖，聲壓剖面圖即為超聲清洗儀內部各處聲壓與位置之間的關系圖. 圖中橫坐標表示以超聲清洗儀中心為坐標原點的長度方向位置，左縱坐標表示寬度方向位置，右縱坐標表示聲壓大小. 圖5為水下2 cm的處聲壓大小剖面圖，圖6為超聲清洗儀中心對稱面處的聲壓大小剖面圖，即裝置長度方向中心對稱面所在平面.

由圖5可見，超聲清洗儀的大部分區域(藍色部分)中聲壓大小不能達到1×105Pa的超聲空化閾值. 圖6中的少數區域(長度方向對稱面上距中心2 cm處的底部以及儀器正中水下1 cm處)可以得到超過空化閾值的聲壓大小，此區域應為超聲空化現象劇烈地帶.

圖5 超聲清洗儀水下2 cm處聲壓大小剖面圖(圖中標注的4個點為局部聲壓大小的極大值)

圖6 超聲清洗儀中心對稱面處聲壓大小剖面圖(圖中標注的4個點為局部聲壓大小的極大值)

將COMSOL仿真得到的超聲清洗儀內水下2 cm處聲壓仿真剖面圖數據導入Origin軟件繪制三維圖像，如圖7所示，沿超聲波清洗儀內槽的長邊建立x軸，沿超聲波泵內槽的短邊建立y軸，用(x,y)坐標表示超聲波清洗儀內的對應位置，z坐標表示超聲波聲壓大小. 圖7中紅色框區域為選定的實驗區域，即玻璃毛細管放置區. 實驗區沒有選擇中央2個最大的聲壓區進行實驗(對應圖7中2個對稱紅色峰值區域)，因為在此區域內的毛細管存在溢出情況，不便于定量探究.

圖7 超聲波清洗儀水下2 cm處聲壓與位置關系仿真圖

2.3 探究聲壓與毛細管內液面的上升高度關系

在所取圖7紅色框區域的實驗范圍內沿長度和寬度2個方向分別間隔2.5 mm取實驗點(在峰值附近取1 mm間隔)，并控制內徑為0.4 mm的毛細管入水深度2 cm，待毛細管內液面通過一般的毛細現象逐漸上升至穩定位置，打開超聲波清洗儀，通過視頻拍攝記錄在超聲波作用下1 min內毛細管內液面所能到達的最高位置，與原先由于毛細現象導致的上升高度相減，得到剔除毛細現象后超聲波浴作用于水下2 cm處所取范圍內毛細管內液面上升高度的數據，導入Origin繪制三維圖像,如圖8所示.

圖8 超聲波清洗儀水下2 cm液面上升高度與位置關系實驗圖

將圖7中紅色框區域與圖8對比可以看出：圖7中的3個聲壓峰值聚集區域，在圖8中同樣可以觀察到相應的上升高度的峰值. 而在聲壓模擬分布圖像中，在其余聲壓相對較低的區域，實驗所獲得的圖像中同樣沒有出現明顯的超聲毛細現象. 據此可以得出結論：在聲壓峰值處，超聲毛細現象劇烈程度明顯高于聲壓較低處，聲壓是超聲毛細現象的重要影響因素.

為進一步驗證聲壓對超聲毛細現象的重要影響，改變毛細管的入水深度，比較同一位置處[平面坐標(0,0)處，聲壓分布如圖6中對稱線所示]聲壓與毛細管內液面上升高度隨入水深度的變化. 圖9為毛細管內液面上升高度與模擬聲壓大小分別與入水深度的關系圖像，橫坐標為毛細管入水深度h，左縱坐標為毛細管內液面上升高度H，右縱坐標為COMSOL模擬得到的聲壓大小.

觀察圖9發現：確實存在聲壓大小的空化閾值. 在聲壓較低時，毛細管內液面上升高度很小;當聲壓隨入水深度改變而增大到大于空化閾值后，毛細管內液面上升高度與聲壓隨入水深度的變化趨勢基本一致，即與聲壓大小成比例. 上升高度隨入水深度的變化相較于聲壓隨入水深度的變化有一定的滯后，其原因可能是超聲波在水中超聲空化效應而存在一定的衰減，從而導致模擬聲壓圖像整體向入水深度小的方向偏移. 因而可以得出結論：入水深度主要通過影響超聲波的聲壓,間接影響超聲毛細現象的劇烈程度，這也進一步證實了聲壓對超聲毛細現象具有重要影響.

圖9 上升高度與模擬聲壓和入水深度的關系圖像

2.4 溫度與毛細管內液面上升高度的關系

為探究溫度對超聲毛細現象的影響，根據先前聲壓實驗中不同位置處毛細管內液面上升高度的情況，選取了3個位置，即超聲毛細現象較強而又恰好不導致毛細管內的水柱溢出毛細管現象，選取入水深度2 cm的3個點位，水平位置分別為：點位1(4.75，-2)、點位2(5，1.75)、點位3(6.25，0)，并選取70 ℃的溫度為起始點，進行實驗. 通過水的自然冷卻降溫以部分抵消因超聲波能量耗散導致的水溫上升，并嚴格控制毛細管內液面上升高度，保證測量過程中的前后水溫相差不超過1 ℃，得到如圖10所示結果.

圖10 3個不同點位處不同水溫對應的毛細管內液面上升高度

圖10中不同顏色點代表了不同的取點位置，分析不同取點位置溫度與毛細管內液面上升高度的關系存在共性：毛細管內液面上升高度在30～40 ℃之間隨溫度上升迅速下降，在40 ℃之后隨溫度上升緩慢下降. 根據超聲空化理論的解釋為溫度的上升減小了空化氣泡的能量，升高了空化區氣泡的空化閾值，從而導致液面上升高度在降溫前段迅速下降，在降溫后段緩慢下降. 因此在實驗選取的溫度范圍內，實驗結果驗證了溫度對毛細管內液面上升高度影響的理論分析，即一定溫度范圍內超聲毛細現象與溫度呈負相關.

2.5 毛細管內徑與液面上升高度的關系

選用內徑分別為0.3,0.4,0.5,1.0 mm的毛細管，進行毛細超聲現象的實驗，為避免溢出，在聲壓較弱的同一點位進行不同內徑的對照實驗，得到如圖11所示的實驗結果. 可以看出，毛細管內徑越大，液面上升高度越低. 由于理論分析中毛細管口周長與管口面積之比隨半徑增大而反比例減小，因此采用反比例函數擬合數據點，實驗結果與理論相符，在一定程度上進一步驗證了超聲空化理論對毛細管內徑影響因素分析的正確性.

圖11 毛細管內液面上升高度與毛細管內徑的關系圖

3 結 論

本文選用超聲空化理論對超聲毛細現象進行了解釋，利用Matlab計算得到單一空化氣泡運動方程，并研究了聲壓對單泡空化氣泡運動破裂強度的影響，通過超聲空化理論分析了相關參量對超聲毛細現象的影響. 研究表明：聲壓是影響超聲毛細現象的重要因素，只有聲壓高于某一閾值時，超聲毛細現象明顯，且聲壓大小與液面上升高度呈正相關；在實驗范圍內(30～75 ℃)，溫度與超聲毛細現象劇烈程度呈負相關，在30～40 ℃之間迅速下降，在40 ℃之后緩慢下降；毛細管內徑與超聲毛細現象呈負相關.