Gyroid結(jié)構(gòu)力學(xué)性能及數(shù)值收斂性研究

蔣創(chuàng)宇 張保強 陳 云 王存福 羅華耿 胡杰翔 曹龍超

1.廈門大學(xué)航空航天學(xué)院，廈門，361102

2.華中科技大學(xué)航空航天學(xué)院，武漢，430074

3.武漢紡織大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院，武漢，430200

0 引言

三周期極小曲面(triply periodic minimal surface，TPMS)結(jié)構(gòu)存在于自然界中，如部分昆蟲、骨頭、珊瑚等[1]。近年來，由于TPMS結(jié)構(gòu)在力學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域具有優(yōu)異性能，且與傳統(tǒng)柵格結(jié)構(gòu)相比，其曲面上每點的平均曲率為0，有效地降低了局部應(yīng)力集中，因此在理論方法研究及工程應(yīng)用中受到越來越多關(guān)注[2]。增材制造技術(shù)克服了TPMS難以落地的問題，為輕質(zhì)結(jié)構(gòu)的開發(fā)提供了更多選擇[3-5]。

TPMS結(jié)構(gòu)設(shè)計者面臨的一個關(guān)鍵挑戰(zhàn)是如何選擇合適的設(shè)計變量使其力學(xué)性能更優(yōu)，其中TPMS結(jié)構(gòu)的剛度特性是設(shè)計的主要關(guān)注點[1]。在力學(xué)特性方面，MASKERY等[6]討論了螺旋二十四面體Gyroid結(jié)構(gòu)(Gyroid cellular structure，GCS)性能和單元尺寸間的關(guān)系，指出較小的胞元尺寸可避免由于局部失效而導(dǎo)致的低應(yīng)變結(jié)構(gòu)失效。YAN等[7]對TPMS結(jié)構(gòu)進行了試驗和理論研究，證明TPMS的力學(xué)性能與其體積分?jǐn)?shù)有很好的相關(guān)性，并推導(dǎo)得到了相對模量和抗壓強度以及體積分?jǐn)?shù)間的相關(guān)性方程。楊磊[8]設(shè)計并制備了不同梯度和體積分?jǐn)?shù)的GCS，通過壓縮試驗與仿真對梯度GCS結(jié)構(gòu)各向異性靜力特性進行了系統(tǒng)分析。張明康[9]利用選區(qū)激光融化技術(shù)(selective laser melting，SLM)制造了正六面體試件、三明治多孔試件，通過壓縮試驗、彎曲試驗分別對GCS結(jié)構(gòu)的壓縮性能與彎曲性能進行了研究。陳劍勇[10]通過重復(fù)試驗，對TPMS結(jié)構(gòu)應(yīng)力應(yīng)變曲線和結(jié)構(gòu)變形模式進行分析，研究了胞元尺寸、拓?fù)湫问胶兔芏忍荻鹊葏?shù)對TPMS結(jié)構(gòu)準(zhǔn)靜態(tài)壓縮力學(xué)性能的影響。

隨著TPMS結(jié)構(gòu)研究的深入，許多學(xué)者使用有限元法進行研究，但TPMS結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性一定程度上阻礙了有限元方法的應(yīng)用。MAZUR等[11]對準(zhǔn)靜態(tài)壓縮工況下不同拓?fù)湫问降膯蝹€、多個胞元結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能進行了模擬，量化了胞元尺寸和約束情況對單個胞元力學(xué)性能的影響，對多胞元結(jié)構(gòu)仿真與試驗變形結(jié)果進行對比，驗證了有限元方法的可行性。PENG等[12]針對不同寬高比的GCS進行分析，提出了一種改變幾何參數(shù)控制GCS各向異性的策略，用有限元方法研究了GCS壓縮狀態(tài)時的各向異性彈性響應(yīng)。MONTAZERIAN等[13]對TPMS結(jié)構(gòu)等效彈性模量的數(shù)值收斂性進行了研究，由試驗結(jié)果擬合得到單元數(shù)與臨界誤差的關(guān)系式，預(yù)測相對模量收斂時，每個GCS單元數(shù)約為6.4萬；AFSHAR等[14]和厲雪等[15]對梯度TPMS結(jié)構(gòu)進行了研究，以壓縮過程中的應(yīng)力應(yīng)變曲線為指標(biāo)，對數(shù)值收斂性進行了討論，指出每胞元2萬至3萬體素單元時即收斂。AREMU等[16]使用簡化模型對多種TPMS結(jié)構(gòu)收斂性進行研究，通過有限元研究了多種TPMS結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能，表明晶格結(jié)構(gòu)的性能在很大程度上取決于胞元的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。MASKERY等[17-18]研究表明，每個胞元大約5萬個單元時足以將仿真誤差降低到可接受的水平。PENG等[12]研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)單元尺寸小于0.2 mm時，GCS的等效彈性模量的值幾乎恒定，結(jié)構(gòu)尺寸3×3×3和4×4×4的GCS彈性模量偏差小于5%，這一結(jié)論與文獻[17-18]的結(jié)論一致。

目前TPMS結(jié)構(gòu)主要通過隱式函數(shù)設(shè)計得到STL文件，該格式用于增材制造，但難以直接用于有限元仿真，而由STL獲取可自由編輯的實體CAD模型存在許多障礙[19]。劉偉洛[20]聯(lián)合使用MATLAB、Rhino、HyperMesh等軟件對Primitive結(jié)構(gòu)進行處理，將STL轉(zhuǎn)為CAD模型，并劃分了規(guī)則六面體單元，但由于拓?fù)湫问降牟煌珿CS難以實現(xiàn)全規(guī)則六面體單元的劃分。也有學(xué)者[8-9]繞過STL轉(zhuǎn)為CAD的步驟，使用商業(yè)軟件Deform對TPMS結(jié)構(gòu)進行仿真，但該軟件對GCS結(jié)構(gòu)僅支持四面體網(wǎng)格劃分，難以降低節(jié)點、單元數(shù)。目前許多研究者[14，16-17]基于完美體素單元方法，通過在封閉區(qū)域添加節(jié)點生成單元，用于有限元仿真。雖然這種方法的前處理十分便捷，但基于體素的六面體網(wǎng)格使曲面階梯式化，失去了表面的連續(xù)性和光滑性，少量體素單元計算的準(zhǔn)確性難以保證。因此，需要對基于TPMS的體素化所引起的計算偏差進行分析。

已有學(xué)者針對正六面體GCS的數(shù)值收斂性和力學(xué)性能做了大量工作，但仍有部分問題需要解決：一是體素化方法存在少量單元難以精確描述TPMS結(jié)構(gòu)，而大量單元難以對尺寸較大結(jié)構(gòu)計算求解的矛盾；二是沿某方向胞元數(shù)變化的非正六面體結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性的相關(guān)規(guī)律較為少見。

本文通過拉伸試驗獲得材料參數(shù)，為提高計算效率使用基于扭曲單元的體素化方法對GCS試件進行數(shù)值收斂性研究；通過拉伸試驗驗證方法的可行性。以此為基礎(chǔ)，選擇常見的拉伸與彎曲工況，進一步討論量化了變厚度GCS與正六面體GCS的力學(xué)性能差異，通過解析解與有限元方法的對比，為GCS結(jié)構(gòu)設(shè)計給出參考。

1 設(shè)計和試驗方法

1.1 GCS的設(shè)計與構(gòu)造

GCS曲面的級數(shù)近似有不同的表述方式[21]，通常在笛卡兒坐標(biāo)系中表達的實函數(shù)更易實現(xiàn)：

G(x，y，z)=CxSy+CySz+CzSx-c

(1)

其中，Sx、Sy、Sz，Cx、Cy、Cz為正弦與余弦函數(shù)，可通過下式得到：

(2)

ki=2πni

(3)

式中，c用于控制胞元體積分?jǐn)?shù)，c=0.615；i=x，y，z；Li為胞元結(jié)構(gòu)在x，y，z方向上的尺寸，Li=5；ki為胞元的周期，ki=2π；ni為x，y，z方向上的胞元個數(shù)。

待所需參數(shù)確定后，根據(jù)點、線、面、體的建模思想，首先編寫GCS結(jié)構(gòu)表達式，然后使用MATLAB生成點云、提取點云笛卡兒坐標(biāo)；再使用MeshLab對點云進行初步處理生成STL面片文件，通過Geomagic Wrap對STL文件進行曲面擬合，并進行體偏差的量化(平均偏差±0.002 mm)；接下來，在SolidWorks中對曲面進行縫合，根據(jù)GCS尺寸建立大小為5 mm×5 mm×5 mm的平面區(qū)域，使用曲面剪裁工具將GCS曲面多余部分剪裁掉，剩余部分與平面區(qū)域進行縫合，形成封閉空間；最后與實體求交得到單個胞元，在此基礎(chǔ)上進一步通過陣列命令即可得到拉伸試件。圖1為GCS設(shè)計與構(gòu)造示意圖。

(a)MATLAB點云 (b)曲面重建與偏差對比

1.2 相對模量

ASHBY等[22]基于小應(yīng)變假設(shè)的前提，對開孔泡沫材料的立方模型提出了表征多孔固體力學(xué)性能與體積分?jǐn)?shù)(相對密度)的冪函數(shù)模型，該模型被廣泛應(yīng)用于預(yù)測多孔結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的模型中，針對GCS而言，這一理論同樣可用于量化其力學(xué)性能。以相對模量E*為指標(biāo)對GCS的數(shù)值收斂性及力學(xué)性能進行研究。多孔結(jié)構(gòu)的等效彈性模量與實心材料彈性模量之間的關(guān)系為

(4)

式中，E*為相對模量；El為GCS的等效實心結(jié)構(gòu)彈性模量；Es為材料的彈性模量。

根據(jù)圖2所示的載荷與約束，GCS的等效彈性模量為

圖2 載荷、約束示意圖

(5)

式中，F(xiàn)為GCS頂面沿載荷方向的合力；L為GCS的原始長度；A為柵格區(qū)域的橫截面積；u為GCS頂面在加載方向上的位移，為滿足小變形和材料線性假設(shè)，令u為L的1%。

2 數(shù)值收斂規(guī)律及力學(xué)性能

要建立能精確表示TPMS幾何構(gòu)型的有限元模型要從計算精度和效率等方面考慮。彈性體有限元求解中計算誤差主要來自兩方面，一是由于單元內(nèi)假設(shè)位移場與物體真實位移場不一致；二是求解基本方程時計算過程的舍入誤差。可通過細(xì)化網(wǎng)格、增加單元與節(jié)點數(shù)來減小誤差，對于試件級的GCS有限元模型而言，節(jié)點與單元數(shù)可能呈冪次增加，是需要避免的。而且對于復(fù)雜曲面，通常需要大大增加單元數(shù)，整體剛度矩陣隨之?dāng)U大，反而會增大舍入誤差，此外，對計算機硬件要求很高，會帶來額外的計算開支。

2.1 網(wǎng)格劃分

目前，已報道過的TPMS結(jié)構(gòu)網(wǎng)格劃分方式有5類：殼模型、實體模型、均勻化、超單元模型、體素化。這5種建模技術(shù)各有優(yōu)缺點[23]。

為提高前處理效率，使用適應(yīng)性廣、建模過程高效的體素化方法進行GCS有限元網(wǎng)格的劃分。文獻中多以圖3所示的直邊體素網(wǎng)格建立有限元模型，圖中深藍色為體素網(wǎng)格，紅色部分為GCS單胞的幾何結(jié)構(gòu)，隨著單元尺寸的減小，紅色部分與體素網(wǎng)格趨于一致，但仍存在階梯變化。

圖3 體素化單元尺寸變化圖

在實際仿真中發(fā)現(xiàn)，對于TPMS等復(fù)雜曲邊、曲面結(jié)構(gòu)，僅采用直邊的體素單元仍會產(chǎn)生較大的誤差。為更好地對幾何結(jié)構(gòu)進行近似，需要進行有限單元劃分，但曲邊單元的產(chǎn)生無法避免[24]。曲邊單元的產(chǎn)生需要引入坐標(biāo)變換，在有限元法中最普遍采用的變換方法是等參變換，即單元的幾何形狀和單元內(nèi)的場函數(shù)采用相同數(shù)目的節(jié)點參數(shù)和相同的插值函數(shù)進行變換[25]。借助等參元可以對任意幾何形狀的工程問題進行有限元離散，反映理想單元與實際單元變換關(guān)系的參數(shù)主要是雅可比值[26]，因此在體素化方法的基礎(chǔ)上，通過設(shè)置不同的雅可比值與單元尺寸參數(shù)作為劃分單元的約束，研究了不同約束參數(shù)組合下的有限元模型的精度和效率。

采用HyperMesh作為GCS結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的前處理工具，在網(wǎng)格工具Shrink Wrap中對單元最小雅可比(min Jacobian，MJ)值進行限制[27]。圖4所示為單元尺寸相同、MJ值不同的六面體單元。

(a)MJ值為0.34 (b)MJ值為0.55

圖5所示為不同雅可比值約束下得到的單胞網(wǎng)格模型。結(jié)合圖3可看到，單元尺寸對體素網(wǎng)格近似幾何的保真度也有較大影響。為研究雅可比值與單元尺寸對計算精度的影響，使用控制變量法對雅可比值與單元尺寸進行了單獨分析。

(a)MJ值為1 (b)MJ值為0.8 (c)MJ值為0.5 (d)MJ值為0.3

2.2 數(shù)值收斂性分析

對體積分?jǐn)?shù)為0.3、沿X、Y、Z軸排列形式為1×1×1的GCS數(shù)值收斂性進行分析，載荷及約束如圖2所示。使用ANSYS靜力模塊進行仿真，所用單元類型為8節(jié)點六面體單元。X方向上的位移載荷(1%的應(yīng)變)隨時間線性變化，作用于模型頂面的節(jié)點。底部平面的節(jié)點在X方向上是固定的，而在Y和Z方向上的平移不受約束。后處理中讀取約束處的支反力，代入式(4)、式(5)可得到GCS的相對模量。

2.2.1網(wǎng)格敏感性分析

對體積分?jǐn)?shù)為0.3，排列形式為1×1×1的GCS數(shù)值收斂性進行分析，仿真結(jié)果如圖 6、表 1所示，可以得出以下結(jié)論：

圖6 相對模量隨體素單元大小及雅可比值變化

由圖6所示的相對模量變化曲線和表1中的具體數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，體素單元尺寸與MJ值對GCS仿真結(jié)果均有影響，且MJ值對結(jié)果的影響相比僅改變單元尺寸的影響更大。MJ值為0.5和0.3時，結(jié)果相差最大僅7%，繼續(xù)減小MJ值對結(jié)果影響不顯著，且可能因雅可比值過小導(dǎo)致計算精度下降。

表1 不同雅可比值與單元尺寸組合下的結(jié)果及誤差

隨著MJ值的減小，幾何保真度增大，仿真結(jié)果與收斂值之間的相對偏差顯著減小。且根據(jù)MJ值不同取值的趨勢來看，取1和取0.8時單元尺寸由0.1 mm細(xì)化至0.05mm，但相對模量E*收斂參考值的相對誤差eE*的改變量為19%和9%，未收斂；取0.5時，單元尺寸為0.05 mm與0.1 mm時，eE*在3%以內(nèi)；取0.3時，單元尺寸從0.5 mm縮減至0.05 mm，eE*逐漸減小，單元尺寸取0.05 mm與0.1 mm時，單元數(shù)增加6倍，eE*僅為1%，可認(rèn)為結(jié)果收斂。

體素單元尺寸以相對誤差不超過5%，單位GCS單元數(shù)不超過10萬為限制，兼顧計算精度和效率。表1第一列中，a_b表示生成單元時HyperMesh中設(shè)置的參數(shù)，a為該單元中的MJ值，b為單元尺寸。結(jié)合表1結(jié)果，可選擇0.3_0.2(eE*為4.85%，單元數(shù)為11 457)、0.5_0.1(eE*為4.52%，單元數(shù)為46 228)、0.3_0.1(eE*為1.06%，單元數(shù)為63 600)。考慮到硬件原因(處理器：Intel(R)_i7-4770_CPU_@_3.40 GHz；硬盤：Western Digital，接口類型 SATA2(3Gb/s)容量 1TB，轉(zhuǎn)速7200 r/min，緩存 64 MB；內(nèi)存：金士頓，容量16 GB，DDR3 1333 MHz)，選擇0.3_0.2這一組合進行后續(xù)的仿真計算，在精度相差不大的情況下顯著減少了單元數(shù)量。

對比不同文獻中數(shù)值收斂性研究結(jié)果，因難以找到完全相同的GCS，相對模量值難以度量，故選擇收斂時每胞元所含有限單元個數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)。表2中“與MJ值為0.3的單元數(shù)之比”表示達到收斂時每個TPMS胞元所含有限單元數(shù)與MJ值為0.3時所含有限單元數(shù)的比值，由此可知用扭曲體素單元可顯著減少收斂時單元數(shù)。

表2 不同收斂下每胞元包含的體素單元數(shù)

2.2.2GCS正六面體排列結(jié)構(gòu)收斂性分析

在討論了網(wǎng)格敏感性的基礎(chǔ)上，對體積分?jǐn)?shù)為0.3、排列形式為2×2×2至6×6×6的GCS數(shù)值收斂性進行分析。如圖7所示，GCS單個胞元尺寸不變，結(jié)構(gòu)以正六面體形式增大，一至六階的GCS相對模量也表現(xiàn)出增大的趨勢，且隨著階次的增加，相對模量變化量逐漸減小。三階相對模量與收斂值相比，相對誤差為0.76%，但體素單元數(shù)相差約8倍；四階相對模量與收斂值相比，相對誤差僅為0.32%，體素單元數(shù)相差約3倍。這一結(jié)果在文獻[12]、文獻[17]中也得到了證實，因此使用四階GCS仿真更優(yōu)。

圖7 相對模量隨階次的變化

隨著GCS階次的增加，GCS的相對模量逐漸逼近收斂值。這一現(xiàn)象可看作是文獻[17]中給出的關(guān)于整體效應(yīng)的另一種解釋：隨著結(jié)構(gòu)中GCS數(shù)目的增大，變形中引入了一定程度的均勻性，因為GCS邊緣的自由面受到相鄰GCS的約束，可以給出更精確的變形描述，內(nèi)部GCS可認(rèn)為是均勻多孔固體的一部分。

2.3 拉伸試驗與仿真

用于試驗的GCS表達式如式(1)所示，取單個GCS的尺寸為5 mm×5 mm×5 mm，體積分?jǐn)?shù)為0.3。基于1.1節(jié)中的GCS設(shè)計與構(gòu)造方式，通過控制體積分?jǐn)?shù)、單個GCS尺寸、總體結(jié)構(gòu)尺寸等參數(shù)，在SolidWorks中生成拉伸試件的幾何文件，幾何尺寸如圖8所示，圖8a所示為用于打印加工的STL模型，圖8b為加工實物圖。

(a)STL模型 (b)實心試件與GCS試件

2.3.1GCS制造

試驗試件來自西安鉑力特增材技術(shù)股份有限公司，采用選區(qū)激光融化(SLM)技術(shù)，所用設(shè)備為BLT-S310打印機。所用材料為Ti6Al4V，粉末顆粒尺寸和形態(tài)見表3和圖9，粉末顆粒球形度達到0.92，球形度高，顆粒尺寸在15～53 μm，Dv(50)值為38.110 μm，位于顆粒尺寸范圍中帶，滿足SLM工藝粉末顆粒尺寸和形態(tài)要求。

表3 粉末元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)

圖9 顆粒形態(tài)

2.3.2材料參數(shù)及模型

通過圖10所示的實心試件的單軸拉伸試驗來確定該材料的彈性模量和單軸抗拉強度。以3 mm/min的加載速率，在電子萬能試驗機HF-JL-005上進行單軸拉伸試驗，執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)為GB/T 228.1—2021和GB/T 7314—2017，拉伸試驗過程如圖10所示。

圖10 拉伸試件載荷、約束示意圖

對同樣熱處理方案下的實心樣件試驗數(shù)據(jù)進行處理，得到了Ti6Al4V材料的塑性應(yīng)力-應(yīng)變曲線[28]。其中，線彈性段擬合得到彈性模量Es為105 860 MPa，屈服強度σs為830 MPa，塑性應(yīng)力應(yīng)變數(shù)值如表4所示。

表4 實心試件拉伸塑性數(shù)據(jù)

2.3.3仿真模型設(shè)置

使用顯式動力學(xué)模塊Ls-Dyna模擬GCS拉伸過程，材料模型為分段線性(MAT_24)，所用單元類型為8節(jié)點六面體，常應(yīng)力單元(SECTION_SOLID_ELFORM=1)。參照圖10所示的載荷及約束，試件下夾頭端節(jié)點施加固定約束(BOUNDARY_SPC_SET)，上夾頭施加位移(BOUNDARY_PRESCRIBED_MOTION_SET)為1.6 mm，該數(shù)值取自拉伸試驗試件斷裂時標(biāo)距段位移改變量，為提高計算效率，僅取GCS試件標(biāo)距段部分進行仿真。使用材料卡片中MAT_ADD_EROSION中的最大塑性應(yīng)變判斷準(zhǔn)則作為判斷單元的失效準(zhǔn)則，失效應(yīng)變?yōu)?.08。

2.3.4GCS拉伸斷裂分析

圖11a、圖11b為實心樣件分別在12倍和1000倍的放大倍數(shù)下的掃描電鏡(SEM)圖，12倍下失效截面中部呈纖維區(qū)，外部為剪切唇區(qū)。用1000倍放大觀察纖維區(qū)內(nèi)截面失效機理，可以看到典型韌窩形貌。圖11c、圖11d給出了12倍GCS形貌及250倍微觀失效界面形貌。低倍下可以看出樣件表面粗糙，有很多顆粒夾雜物。在SEM觀察下，截面杯口形狀和纖維區(qū)等更直觀。微觀結(jié)果進一步印證了樣件符合典型塑性材料斷裂失效機制。另外，高低倍數(shù)下都可觀測到未融化的鈦合金粉末(圖中虛線圓處)，通常是失效先開始的地方，由此可能帶來材料性能的劣化。

(a)實心試件12放大倍 (b)實心試件放大1000倍

2.3.5GCS拉伸斷裂分析

因試驗條件有限，GCS表面無法粘貼應(yīng)變片，未測得應(yīng)變數(shù)據(jù)，故此處僅對力隨時間變化歷程以及抗拉強度、極限載荷等進行對比。

如圖12所示，仿真與試驗所得力隨時間變化逐漸增大，趨勢一致，然后進一步增長即強化階段，到達抗拉強度后試件斷裂，力迅速減小，即卸載與破壞，這與典型金屬材料拉伸過程相符。試驗曲線在5 kN左右進入小的平臺期，發(fā)生屈服，仿真中未觀察到類似過程。表5所示為仿真得到的極限載荷和抗拉強度與試驗結(jié)果對比，抗拉強度、極限載荷誤差為1.45%。

表5 試驗與仿真結(jié)果對比

圖12 仿真與試驗力隨時間變化曲線

圖13所示為仿真與試驗過程中GCS的損傷情況，在拉伸前期，仿真與試驗均可觀察到局部斷裂，位置基本一致；繼續(xù)拉伸，發(fā)生整體斷裂，整體斷口路徑位置與方向也趨于一致。

(a)加載過程中局部斷裂

3 變厚度GCS力學(xué)性能

已有研究表明，排列方式為5×5×5以上的GCS，其等效彈性模量已達穩(wěn)定值[18]，且SIMSEK等[23，29]以有限元得到的等效彈性模量為有限元仿真的輸入，對夾層結(jié)構(gòu)進行等效并分析了GCS板的模態(tài)特性。但對非正六面體GCS是否也適用正六面體GCS的等效彈性模量，還未見報道。且結(jié)構(gòu)設(shè)計中，薄板、梁等非正六面體結(jié)構(gòu)的應(yīng)用范圍更為廣泛，因此有必要對此進行分析。

以2.2節(jié)中正六面體收斂的等效彈性模量得到的計算結(jié)果為對照組，對拉伸與彎曲情況下的響應(yīng)進行研究。

3.1 變厚度GCS拉伸仿真

選擇與2.2節(jié)中一致的約束，載荷類型由位移變?yōu)榱Γ瑢ρ豖、Y、Z軸排列為2×2×1、2×2×2、3×3×1、3×3×2、3×3×3、4×4×1、4×4×2、4×4×3、4×4×4、5×5×1、5×5×2、5×5×3、5×5×4、5×5×5的GCS結(jié)構(gòu)進行分析，體素單元尺寸為0.2 mm，最小雅可比值為0.3。

使用1.2節(jié)中介紹的相對模量計算方法，對上述排列形式的GCS模型相對模量進行計算。相對模量隨Z向胞元數(shù)目變化結(jié)果如圖14所示，可以得出以下結(jié)果：

圖14 相對模量隨Z方向?qū)訑?shù)的變化

(1)GCS沿Z軸方向的胞元數(shù)目變化對其力學(xué)性能影響是顯著的。隨著二階到五階非正六面體厚度方向的增大，GCS相對模量變化量逐漸減小，其中最大相對誤差出現(xiàn)在5×5×1和5×5×5組，可達14.15%，其次是4×4×1和4×4×4組，可達14.10%。

(2)2×2×2～5×5×5系列GCS隨著Z軸方向的胞元數(shù)目的增加，達到正六面體時相對模量E*達到最大，且Z方向胞元數(shù)為1和2時，E*改變量總是最大，約為10%。隨著厚度方向?qū)訑?shù)增加，E*改變量逐漸減小。

為更好地對結(jié)構(gòu)設(shè)計進行指導(dǎo)，進一步對沿Z軸方向的胞元數(shù)目變化的力學(xué)性能進行分析，結(jié)合1.2節(jié)中式(4)，得到等效實體的彈性模量，結(jié)合圖14分析結(jié)果，對GCS排列方式為4×4×1、4×4×2、4×4×3、4×4×4的結(jié)構(gòu)，采用解析法和有限元方法對單軸拉伸工況時微小變形(線性彈性)階段的位移結(jié)果進行對比。

因結(jié)構(gòu)位移改變量遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)沿載荷方向的尺寸，材料滿足理想線彈性假設(shè)，故根據(jù)胡克定律，位移的解析解為

(6)

式中，d為加載后載荷方向的位移改變量。

計算所需參數(shù)見表6。表6中最后一行給出正六面體GCS收斂的數(shù)值，最后一列為變厚度結(jié)構(gòu)的等效彈性模量與正六面體等效彈性模量的相對誤差Δe，該誤差定義為變厚度GCS等效彈性模量與收斂值之差再與收斂值之比，其中4×4×1與6×6×6達到14.41%。

表6 拉伸載荷解析解計算所用參數(shù)

圖15所示為對照組與GCS仿真結(jié)果。圖15a為采用Ti6Al4V材料、排列方式為4×4×1的GCS計算得到的位移結(jié)果云圖，圖15b所示為對照組計算得到的位移結(jié)果。由于圖15a中GCS邊角部分結(jié)構(gòu)為懸空狀態(tài)，局部剛度較小，在載荷下的變形遠(yuǎn)大于其他區(qū)域，因此對載荷施加面中心區(qū)域均勻選取4個點的位移結(jié)果取平均值作為GCS最終的整體位移。

(a)GCS仿真結(jié)果

表7列出了解析解與GCS、對照組的計算結(jié)果。GCS結(jié)果與解析解相對誤差小于3%，表明在彈性段的計算結(jié)果是可信的。對照組模型的計算結(jié)果與解析解誤差最大值為14.41%，最小為0.31%，表明排列方式為4×4×1的等效彈性模量與對照組差距最大，隨著厚度增大，與解析解誤差逐漸減小。

表7 拉伸載荷解析解與仿真結(jié)果對比

值得注意的是，由4×4×3、4×4×4 GCS與對照組的誤差對比可以發(fā)現(xiàn)，對接近正立方體的結(jié)構(gòu)使用對照組參數(shù)直接近似誤差不超過5%，可滿足工程上對精度的要求，但對于寬高比過大的結(jié)構(gòu)(如4×4×1、4×4×2)則會對力學(xué)性能產(chǎn)生過高的估計。

對比4×4×1到4×4×4，解析解與仿真結(jié)果均表明：①在同一載荷下，層數(shù)增加對力學(xué)性能的改善會逐漸減小，即通過改變GCS排列方式對結(jié)構(gòu)性能進行設(shè)計存在邊界效應(yīng)；②當(dāng)GCS中某方向胞元數(shù)小于其他方向胞元數(shù)時，會對整體的力學(xué)性能帶來負(fù)面影響，直接使用正六面體GCS的等效彈性模量進行等效可能帶來較差的結(jié)果。

3.2 變厚度GCS懸臂梁彎曲仿真

結(jié)合圖14的分析結(jié)果，仍分析四層GCS厚度變化的力學(xué)性能。對GCS沿X、Y、Z軸胞元排列為20×4×1、20×4×2、20×4×3、20×4×4的結(jié)構(gòu)進行分析，體素單元尺寸為0.2 mm，最小雅可比值為0.3。載荷與邊界條件如圖16所示，固定端與剛性墻固連，自由端施加沿厚度方向變化、大小為50 N的力。

圖16 懸臂梁模型載荷邊界示意圖

在小變形且材料服從胡克定律的條件下，可得到懸臂梁的近似撓曲線方程，但因本算例中梁跨度相較于截面尺寸相差不大，考慮剪切效應(yīng)，最大撓度可表示為

(7)

(8)

(9)

式中，wb為彎曲分量；ws為剪切分量；I為GCS截面慣性矩；G為剪切模量；h為GCS寬度；h為GCS厚度；μ為泊松比，取0.34。

表8所示為計算最大撓度所需的參數(shù)。表8中最后一行為對照組GCS收斂的數(shù)值，最后一列為變厚度結(jié)構(gòu)與對照組等效彈性模量的相對誤差，定義為變厚度GCS等效彈性模量與對照組等效彈性之差與對照組等效彈性模量之比，等效彈性模量最大誤差為21.25%，隨著厚度增大，相對誤差減小，依舊表現(xiàn)出邊界效應(yīng)。

表8 最大撓度計算所用參數(shù)

使用表8給出的材料參數(shù)，參照圖16所示的邊界條件進行仿真，懸臂結(jié)構(gòu)GCS與解析解和對照組模型的詳細(xì)對比結(jié)果如表9、圖17所示。

表9 最大撓度解析解與仿真結(jié)果對比

(a)GCS仿真結(jié)果

圖17所示為20×4×1排列的仿真結(jié)果。圖17a為采用Ti6Al4V材料的GCS模型計算得到的最大撓度結(jié)果云圖，圖17b所示為使用對照組等效彈性模量材料參數(shù)的實體模型計算得到的最大撓度結(jié)果。由于撓度計算理論方法采用桿單元，而此處采用的是二階六面體單元，由此帶來一定誤差(不大于2%)。

表9中可觀察到，除20×4×1外，隨著層數(shù)的增加，解析解與GCS仿真結(jié)果較為接近，均不大于4%。與拉伸工況結(jié)果類似，對照組的結(jié)果表明，若直接使用正六面體收斂的等效彈性模量對變厚度GCS進行評估，可能帶來9%以上的性能過估計。相對誤差對比的基準(zhǔn)量為解析解。

排列形式為20×4×1的GCS有限元仿真最大撓度小于解析解，誤差為19.44%，對照組的最大撓度結(jié)果與解析解誤差為21.25%。GCS出現(xiàn)較大誤差可能是因為GCS的特殊性，在僅一層時胞元完整性較難保證，因此由式(5)得到的單層薄梁結(jié)構(gòu)等效彈性模量難以對彎曲工況進行表征。

4 結(jié)論

(1)從單元形式及GCS排列方式對GCS數(shù)值收斂性和力學(xué)性能了研究，通過改變雅可比值，顯著減少了收斂時有限單元數(shù)量，在保證結(jié)果精度的前提下，提高了計算效率，并通過拉伸試驗對結(jié)果進行了驗證。該方法不僅對GCS有效，對其他類型TPMS結(jié)構(gòu)同樣適用。

(2)變厚度會使GCS力學(xué)性能產(chǎn)生較為顯著的變化。若直接使用文獻[18]正六面體GCS力學(xué)性能等效方法來表征變厚度GCS力學(xué)性能，拉伸工況時，對于4×4×1的GCS而言，對其等效彈性模量產(chǎn)生的過估計為14.41%；彎曲工況時，對于20×4×1的GCS而言，其等效彈性模量與對照組相比減小超過20%。

(3)在結(jié)構(gòu)設(shè)計中針對質(zhì)量、體積、力學(xué)性能約束時，可通過改變某方向的胞元數(shù)對GCS力學(xué)性能進行設(shè)計，研究結(jié)果對結(jié)構(gòu)設(shè)計與工程應(yīng)用具有指導(dǎo)意義。