基于微分幾何反饋線性化的高超聲速飛行器控制系統實現

楊 凡，黃 穎，陳云松，曾 皓

(1.中國科學院 成都計算機應用研究所，成都 610041 ； 2.四川省自主可控電子信息產業有限責任公司，成都 610041)

0 引言

“反饋線性化”是一種通過微分幾何處理或者動態反饋補償的方式，將非線性數據參量轉換成線性排列形式的處理方法。在“反饋線性化”的認知理論中，微分幾何處理是一種最為常見的執行方式。微分幾何反饋線性化處理能夠在在相鄰數據信息節點之間，建立一種單向映射關系，隨著數據信息傳輸量的增大，節點與節點之間的連接關系逐漸趨于密集，此時各類抽象數學問題都能得到較好解決[1]。在實際應用過程中，微分幾何反饋線性化方程的建立條件較為苛刻，不但對輸入函數集合的映射能力提出了要求，還規定集合內所有存儲數據信息之間都不能具有逆運算關系。一般來說，滿足反饋線性化要求的數據信息都具有明顯的解耦性特征，且隨著微分幾何方程的建立，數學方程的表達能力也會不斷增強，此時根據數值解所處的區間范圍，就可以知道當前運算公式是否滿足實際應用需求[2]。

高超聲速飛行器具有突防成功率高、運動穩定性強等特點，其飛行速度近似等于普通音速飛行器的五倍，有著極強的潛在經濟價值。其動力系統由噴氣式發動機、超燃沖壓發動機、熱防護結構等多個元件共同組成。隨著飛行器行進距離的延長，發動機設備的動力輸出能力也會不斷增強，此時電動機元件的做功量快速增大，極易造成橫滾角、縱滾角數值的持續增大，并最終影響飛行器元件的穩定運動能力[3]。為避免上述情況的發生，基于非仿射模型的控制系統選取STM32F103CB芯片作為核心控制器結構，利用ADXL345加速度計、L3G4200陀螺儀兩個應用元件，對飛行器設備的實時運動能力進行統計，再聯合HC-SR04超聲波傳感器度量電動機元件的做功情況[4]。然而此系統的實際應用能力有限，并不能將橫滾角度數值、縱滾角度數值與理想角度數值之間的物理差值控制在既定水平標準之內，并不能使飛行器元件呈現出絕對平穩的運動狀態。

為解決上述問題，設計基于微分幾何反饋線性化的高超聲速飛行器控制系統，并針對其實用性能力展開研究。

1 高超聲速飛行器概述

高超聲速飛行器是一種以5倍音速以上飛行的飛機、導彈、炮彈等飛行器，它的突防成功率很高，具有很大的軍事和經濟價值。由于高超聲速飛行器的飛行特性，其飛行包絡線的寬廣，難以用一個單獨的工作環境來描述，而其氣動和氣熱性能又受飛行器的任務限制和設計要求的限制。高超聲速飛行器的工作環境更為復雜。飛行器在高超音速飛行過程中，存在著動壓效應、粘性效應、強/弱真實氣體效應、低密度效應、機體表面輻射效應等諸多因素。高超聲速飛行器的飛行環境瞬息萬變，其飛行環境的特殊性和復雜性，使其在大氣、熱場等方面發生了較大的變化。

飛行器在高超聲速飛行過程中，其末端的空氣馬赫數是相當大的。當氣流穿過環繞飛機機身的沖擊波時，氣流速度會變得緩慢，并且在沖擊層中會有較高的溫度。此時，粒子的動能轉換成了熱能，在飛行器的四周產生了一種吸熱作用，周圍的空氣也開始了分解和電離。與此相適應的是，高超聲速飛行器的機械結構有兩種：絕熱壓縮和粘滯能量分布。由激波層的熱空氣向機體表面傳遞的速度受多種因素的影響，如：遠端氣流速度、氣流方向、飛行器整體結構、表面溫度、氣流溫度與飛行器表面溫差等。

在馬赫數為6.8的情況下，在35公里的高空進行軌道分離。在該階段，由于大氣動力干擾影響較大，因此在分離階段要充分考慮其安全性。首先要確保飛行器與入軌飛行器之間的分離速度要快，并且要有足夠的間隔；然后再建立一個高效的控制體系，以確保兩個一體化的系統在分離時得到最優的控制；另外，在飛行器發生緊急情況時，應采取相應的性能補償措施，盡量減少飛行器的飛行事故；最后是運載工具和入軌飛行器之間不再有交互作用，只有它們自己的軌道。

2 高超聲速飛行器控制系統主體結構設計

高超聲速飛行器控制系統的主體應用結構由電源管理模塊電路、電機驅動器、螺旋槳、IMU慣性傳感器模塊、GPS定位模塊及PID控制器六部分共同組成，本章節將針對上述設計元件展開深入研究。

2.1 電源管理模塊電路

高超聲速飛行器電源管理模塊電路由5 V 轉 3.3 V、12 V轉 5 V兩個穩壓分路結構組成(詳細連接結構如圖1所示)。PUI連接端輸入的高壓交流電可以在LM2596元件的作用下，轉換成12 V的輸出形式，以供飛行器電動機元件的直接使用。LM1117設備所能承載的電壓水平相對較低，一般來說，在R1、R2、R3電阻接入阻值不發生改變的情況下，該結構元件可以將12 V的輸入電壓轉換成3.3 V的輸出形式，且在整個轉換過程中，LM2596元件兩端的物理電壓始終維持在5 V左右[5-6]。下級PUI連接輸入端管控C1電容、C2電容與電量延遲設備，可以在IN4007反相器元件的作用下，形成一個完整的電量閉環回路，且該回路體系存在于電源管理模塊電路下端。分屬于電源管理模塊電路不同分路中的連接電阻的接入阻值水平也有所不同，一般遵循負載電壓數值越大，接入電阻阻值水平也越大的原則。

圖1 電源管理模塊電路結構示意圖

電流表元件負責檢測電量延遲設備中傳輸電流的具體數值，當C1電容設備、C2電容設備的連接能力發生改變時，電量延遲裝置的連接現狀也會隨之出現變化，此時控制系統主機就可以根據電流表內顯示數值的變化情況，來判斷高超聲速飛行器元件的實時運動狀態。

2.2 電機驅動器

由于高超聲速飛行器均采用無刷電機驅動的運作形式，所以為使電源管理模塊電路中所有電量信號都能保持相對穩定的輸出狀態，在設計控制系統硬件執行單元時，必須選取一個額定工作能力較強的電機驅動器設備，來處理未能被傳感器主機完全消耗的電量傳輸信號[7-8]。在選取電機驅動器元件時，需同時參考額定電壓、額定電流、阻電容數值等多方面內容。由于高超聲速飛行器的運動速率較快，所以電源管理模塊電路中的電信號輸出量始終較大，對于電機驅動器元件而言，為了穩定承載所以電量信號，其額定電壓數值必須大于220 V。在電機內阻數值不發生改變的情況下，負載電壓數值越大，驅動器元件內傳輸電流的數值水平也就越高[9]。完整的高超聲速飛行器電機驅動器選型原理如表1所示。

表1 電機驅動器選型原理

電機驅動器作為一個從屬負載元件，其各級電量指標的數值水平會隨著電源管理模塊電路中電信號輸出量的改變而不斷變化。

2.3 螺旋槳

螺旋槳作為高超聲速飛行器的主體行進裝置，具有較強的旋轉運動能力，且隨著螺旋槳轉速的改變，高超聲速飛行器元件的運動行進速度也會發生變化[10-11]。圖2反映了高超聲速飛行器螺旋槳的主要俯視結構與側視結構。

圖2 高超聲速飛行器螺旋槳的主要結構元件

各級元件結構的具體應用能力如下：

1)主旋翼：螺旋槳運動元件的主要組成部分，包含于電量接線內部，隨著電信號輸入量的改變，主旋翼結構的轉動速度也會發生變化[12]。且該結構具有較強的主動作用能力，其轉速水平可以直接影響下級從動旋翼元件。

2)從動旋翼：作為主旋翼元件的下級附屬結構，從動旋翼的物理面積相對較小，在高超聲速飛行器的運動過程中，該元件并不能直接與電量傳輸信號相接處，因此其對于傳輸電流的感應敏感性相對較弱。

3)電量接線：環繞于主旋翼結構外部，是高超聲速飛行器電量信號的唯一傳輸通路。

4)電動機接口：高超聲速飛行器電機驅動器與螺旋槳結構的連接端口。

5)振片：具有振動能力的電量感應裝置，會隨著高超聲速飛行器電信號輸入量的改變，而呈現出不同頻率的振動狀態。

6)電感裝置：電機驅動器元件的負載接入位置，能夠準確感知高超聲速飛行器電量信號的數量級水平。

2.4 IMU慣性傳感器模塊

慣性傳感器模塊負載于電源管理模塊電路下端，與電機驅動器元件具有同等級的調試能力，能夠影響高超聲速飛行器設備的實際運動能力，并可以在IMU控制芯片的作用下，更改飛行器加速度、角速度等指標參量的數值水平[13]。IMU控制芯片存在于慣性傳感器模塊內部，上、下、左、右分設GND輸入、NCC輸出、VDD連接、VCC連接4個端口組織。其中，GND輸入端管控r1接線與r2接線，負責將慣性傳感器模塊與電機驅動器元件相連。NCC輸出端管控r3接線與r4接線，負責將慣性傳感器模塊與電源管理模塊電路相連，在高超聲速飛行器保持運動狀態的情況下[14]。VDD連接端口管控D1、D2、D3、D4負載節點，負責將電量傳輸信號導入至慣性傳感器模塊內部。VCC連接端口管控C1、C2、C3、C4負載節點，負責將慣性傳感器模塊內部的剩余電量傳輸信號轉送給下級連接元件。IMU慣性傳感器模塊連接結構如圖3所示。

圖3 IMU慣性傳感器模塊連接結構

在高超聲速飛行器控制系統中，IMU慣性傳感器模塊起到承上啟下的連接作用，可以同時調節電機驅動器、PID控制器等多個元件結構之內的電量信號負載關系。

2.5 GPS定位模塊

GPS定位模塊作為控制執行指令的核心生成元件，由GPS定位組件、NMEA定位芯片兩部分共同組成，可在統計高超聲速飛行器行進節點所處位置的同時，建立與運動位移軌跡相關的數學表達式。對于高超聲速飛行器控制系統而言，GPS定位模塊所定義的位移軌跡表達式必須滿足微分幾何反饋線性化約束原則[15-16]。為使高超聲速飛行器控制指令得到穩定傳輸，GPS定位組件接受NMEA定位芯片的直接控制。當飛行器運動軌跡趨于完善時，控制主機開始同步轉存狀態，此時IMU慣性傳感器模塊會促進剩余電量信號的快速傳輸，直至這些數據信息參量能夠被GPS定位組件完整記錄。圖4反映了GPS定位模塊中的控制指令傳輸原理。

圖4 GPS定位模塊中的控制指令傳輸原理

為避免高超聲速飛行器出現不可控運動現象，GPS定位模塊的連接行為接受電機驅動器元件與IMU慣性傳感器模塊的同時調節。

2.6 PID控制器

PID控制器能夠根據高超聲速飛行器的滾轉角數值，平衡IMU慣性傳感器模塊與GPS定位模塊之間的連接關系，從而使得電源管理模塊電路中的電量信號輸出行為能夠保持絕對穩定的存在狀態[17]。在微分幾何反饋線性化原理的作用下，高超聲速飛行器在每一個俯飛行為后期都會保持較長時間的快速前行狀態，此時為使油門量能夠恢復至原始位置處，PID控制器會根據飛行器機體的傾斜角度，來協調控制指令的輸出強度，從而使得螺旋槳元件呈現出較為穩定的運動形式[18]。在實際應用過程中，PID控制器同時以高超聲速飛行器的橫滾角度數值、縱滾角度數值作為輸入變量，在微分幾何反饋線性化原理的認知中，這些變量指標間存在明顯的可抵消關系，這也是高超聲速飛行器控制系統能夠保持長期穩定運行狀態的主要原因。

3 基于微分幾何反饋線性化的飛行器控制程序

3.1 飛行器運動軌跡的微分處理

(1)

(2)

作為微分幾何反饋線性化原理的表達基礎，微分處理方程的取值結果不宜過大。

3.2 控制向量反饋系數

控制向量反饋系數決定了主機元件對于高超聲速飛行器元件的實時控制能力[21]。在已知飛行器運動軌跡微分處理表達式的前提下，該項指標參量的物理取值越大，就表示主機元件對于高超聲速飛行器元件的實控能力越強，此時飛行器設備呈現出的線性化運動行為也就越明顯；若反饋系數指標的物理取值相對較小，則表示主機元件對于高超聲速飛行器元件的實控能力相對較弱，此時飛行器設備呈現出的線性化運動行為也就較為模糊[22]。設φ表示高超聲速飛行器的運動反饋向量，s表示飛行器運動航跡標記系數初始值，k表示運動航跡標記系數的最大取值結果，ds表示與系數s相關的高超聲速飛行器運動行為控制向量，dk表示與系數k相關的高超聲速飛行器運動行為控制向量，γ表示反饋調制參量。在上述物理量的支持下，聯立式(2)，可將基于微分幾何反饋線性化原理的高超聲速飛行器控制向量反饋系數表達式定義為：

(3)

在判別高超聲速飛行器運動行為能力時，相關參量指標的取值，必須遵循微分幾何反饋線性化處理原則。

3.3 幾何信號解析

幾何信號解析是設計高超聲速飛行器控制系統的必要執行環節，能夠按照既定表達式條件，對控制波動信號的傳輸行為進行按需調試，從而在保證飛行器設備滿足既定運動控制需求的同時，完成對線性化曲線向量的調節與規劃[23-24]。規定η表示高超聲速飛行器控制信號的線性化解析強度，μ1、μ2表示兩個隨機選取的高超聲速飛行器控制信號微分反饋定標值特征參量，且μ1≠μ2的不等式條件恒成立，f表示既定的微分控制信息解析處理權限值。聯立上述物理量，可將高超聲速飛行器控制系統的幾何信號解析表達式定義為：

(4)

在高超聲速飛行器控制系統中，為了不違背微分幾何反饋線性化處理原則，μ1、μ2指標的選取都不能等于物理自然數“1”。

3.4 線性化姿態解算

線性化姿態解算表達式能夠幫助控制主機確定高超聲速飛行器元件滾轉角的數值變化情況，作為一項矢量參考指標，解算表達式的定義結果具有數值、方向兩項參考約束條件，其中數值決定了線性化姿態表達式的解算強度，而方向則決定了系統控制指令的實時傳輸行為[25-26]。規定c表示飛行器運動線性路徑解算系數的初始值，lc表示飛行器運動姿態的初始定標值，tc表示飛行器運動控制特征的初始值，hc表示微分幾何運動曲線反饋系數的初始值。在上述物理量的支持下，聯立式(4)，可將控制系統對于高超聲速飛行器的線性化姿態解算表達式定義為：

(5)

式中，?表示飛行器滾轉角定標值，ξ表示同步控制系數。對于高超聲速飛行器控制系統而言，線性化姿態解算表達式決定了微分幾何反饋線性化算法的實際應用能力，故而在制定控制執行指令時，必須將該項表達式的計算結果控制在既定數值標準之內。

4 實驗分析

為了驗證設計的基于微分幾何反饋線性化的高超聲速飛行器控制系統的有效性。在Matlab仿真平臺中開展實驗分析。橫向滾角數值、縱向滾角數值均可以用來描述高超聲速飛行器元件的運動穩定性。通常情況下，若橫滾角度數值、縱滾角度數值與理想角度數值之間的差值水平較小，則表示當前情況下高超聲速飛行器元件的運動穩定性相對較強；反之，若橫滾角度數值、縱滾角度數值與理想角度數值之間的差值水平較大，則表示當前情況下高超聲速飛行器元件的運動穩定性相對較弱。

本次實驗選取基于微分幾何反饋線性化的高超聲速飛行器控制系統作為實驗組應用方法，選取基于非仿射模型的控制系統作為對照組應用方法。分別利用實驗組、對照組應用系統對實驗用高超聲速飛行器元件進行控制，并記錄所得變量指標的具體數值變化情況。

表2記錄了所選取飛行器設備型號及相關實驗參數的配置結果。

表2 實驗參數設置

表3給定了高超聲速飛行器元件橫滾角度、縱滾角度的理想數值。

表3 方向性滾角的理想數值

分析表3可知，高超聲速飛行器元件的橫滾角度均值水平相對較高，而縱滾角度均值水平相對較低。在2～14 s的實驗時間內，高超聲速飛行器元件橫滾角度數值呈現出連續增大的變化趨勢；在14～18 s的實驗時間內，高超聲速飛行器元件橫滾角度數值則始終保持穩定存在狀態。在2～10 s的實驗時間內，高超聲速飛行器元件縱滾角度數值呈現出大幅上升的變化狀態；在12～18 s的實驗時間內，高超聲速飛行器元件縱滾角度數值繼續保持不斷增大的變化狀態，但其單位上升幅度相對較小。

圖5反映了實驗組、對照組橫滾角度及其與理想角度數值之間的差值對比情況。

圖5 高超聲速飛行器的橫滾角度

分析圖5可知，當實驗時間處于0～8 s、12～16 s之間時，對照組橫滾角度均呈現出連續上升的數值變化狀態，其最大值達到了38°，與理想極大值55°相比，下降了17°；當實驗時間等于8 s時，對照組橫滾角度數值與理想角度數值之間的差值最小，為9°。整個實驗過程中，實驗組橫滾角度的數值變化趨勢基本與理想數值保持一致，當實驗時間等于14 s時，實驗組橫滾角度數值與理想角度數值之間的差值最大，為3°，其差值水平遠小于對照組。

圖6反映了實驗組、對照組縱滾角度及其與理想角度數值之間的差值對比情況。

圖6 高超聲速飛行器的縱滾角度

分析圖6可知，當實驗時間等于4 s時，對照組高超聲速飛行器縱滾角度的物理數值最大，達到了58°，與理想極大值37°相比，差值為18°；當實驗時間等于12 s時，對照組高超聲速飛行器縱滾角度數值與理想角度數值之間的差值最小，為11°。整個實驗過程中，實驗組縱滾角度的數值變化趨勢也基本與理想數值保持一致，當實驗時間等于6 s時，實驗組縱滾角度數值與理想角度數值之間的差值最大，為4°，其差值水平遠小于對照組。

綜上可知，本次實驗的結論如下：

1)基于非仿射模型的控制系統對于高超聲速飛行器方向性滾角數值的控制能力較弱，在促進飛行器元件保持平穩運動方面的實際應用能力也就相對較弱；

2)基于微分幾何反饋線性化的控制系統對于高超聲速飛行器方向性滾角數值的控制能力較強，能夠將橫滾角度數值、縱滾角度數值與理想角度數值之間的差值控制在較低數值水平，符合維持飛行器元件保持平穩運動狀態的實際應用需求。

5 結束語

在微分幾何反饋線性化算法的作用下，高超聲速飛行器控制系統重新規劃了電源管理模塊電路、電機驅動器、IMU慣性傳感器模塊、GPS定位模塊等多個硬件執行結構的實時連接狀態，又根據微分處理原則，計算控制向量反饋指標的具體數值，從而實現對飛行器元件線性化運動姿態的實時解算。與基于非仿射模型的控制系統相比，隨著基于微分幾何反饋線性化的控制系統的應用，橫滾角度數值、縱滾角度數值均不會與理想角度數值產生較大的物理偏差，這在維持高超聲速飛行器元件的平穩運動狀態方面確實具有較強的實用性意義。