基于滑模控制的導彈制導系統設計

王中浩，趙河明，路豐寧

(中北大學 機電工程學院，太原 030051)

0 引言

現代戰爭中，對武器精確打擊目標能力的需求日益增強，導彈作為一種典型武器裝備，在精確打擊目標的場景中扮演著重要角色，導彈具有打擊預定目標和自主控制飛行航跡的制導能力。導彈能實現制導功能的根本原因在于擁有制導系統，制導系統扮演著指揮官的角色，負責著生成決策與指令的重要職責。制導系統引導控制導彈的飛行航跡，沿預定航跡飛行，導向目標并實現摧毀目標。導彈導引頭獲取的外部信息的能力根本上決定了定位目標的準確性，其次，在信息準確的基礎上，導引方法則對于導彈的路徑跟蹤能力有極大地影響效果。

傳統導彈制導方案通常采用比例導航。比例導航原理簡單，目前已能夠實現在導彈制導系統中的成熟應用，但目前隨著時代的發展進步，日益復雜的戰場環境對導彈的制導技術提出了更高的需求。對于遠程導彈，比例導航有諸多弊端，因為在進行遠程打擊任務時，目標在初始階段有較大可能性無法被導彈探測到，往往需要在導彈行程的末尾階段目標才能被識別到，因此需要在目標識別階段之前采取不同的制導方法[1-5]。

隨著智能控制理論研究的不斷進展和現代控制理論在工程應用上的落實，制導系統在引導方式方面獲得了更加多樣化的選擇，對于提高復雜環境下目標探測、識別、跟蹤以及精確打擊等功能提供了更多的可能性。目前，隨著人工智能技術的不斷發展，智能化的熱潮席卷全球，武器的智能化目前得到越來越多國家的重視，世界各大軍事強國都已開始著手智能導彈的研發。導彈的智能化是導彈未來的發展方向之一，而導彈制導系統的智能化是導彈智能化的基礎。

目前，已有多種路徑跟蹤算法應用于制導律的研究中，如偏置比例導引律、最優制導律、向量場、神經網絡智能制導律、模糊智能制導律、強化學習智能制導律等。但這些算法目前大多只在旋翼無人機(UAV)上實現，旋翼無人機一般被看作在二維橫向運動的基礎上增加垂直運動的系統，與導彈的運動特點有明顯的差異，無法直接應用于導彈的制導系統，因此，基于先進的路徑跟蹤方法對導彈的制導系統進行改進是十分有必要性的工作[6-15]。

導彈的制導功能一般依靠航跡規劃、制導策略和自動導航儀三部分實現，本文圍繞上述三個部分對導彈的制導系統進行設計。首先，引入Dubins曲線對導彈的航跡規劃進行優化，Dubins曲線能夠創建更平滑的飛行軌跡，避免飛行物體的過沖運動與振蕩現象[16-17]，可有效改善導彈的路徑跟蹤效果。然后，引入滑模控制對導彈的制導算法進行改進。滑膜控制是導彈制導算法中可實現的制導方法之一。該方法需要導彈實時的位置和方向角信息以及參考軌跡，計算導彈實現跟蹤參考軌跡所需的參考方向角。滑模控制響應速度快、對系統內部參數變化及外部干擾不敏感、對非線性系統有良好的控制效果、適用于多輸入多輸出系統、實現方法簡單[18-22]。

本文的結構如下：首先，確立了導彈的數學模型，包括運動學模型與動力學模型，并對該模型進行了討論。然后，進行制導系統的設計，包括航跡規劃、制導策略和自動駕駛儀的設計。最后，對設計的制導系統進行仿真模擬，觀察制導系統在不同類型的參考路徑下的表現，對仿真結果中的一些現象進行了解釋，驗證了該制導系統設計的可行性。

1 導彈的數學模型

導彈數學模型的建立，首先需要確立與導彈相關的坐標系。本文中使用到兩個相關聯的坐標系，分別是彈體坐標系(Xb-Yb-Zb)和地面坐標系(Xe-Ye-Ze)，都為右手坐標系。彈體坐標系用于描述導彈自身的位置和姿態，原點與導彈的重心重合，Xb軸與導彈軸線重合且正方向與前進方向一致，Zb軸指向下方。地面坐標系用于描述導彈相對于地面的位置和姿態，地球坐標系是固定的，并且以導彈發射位置點為原點。以上坐標系如圖1所示，θ、Ψ、φ是彈體坐標系關于地面坐標系的歐拉角，θ是俯仰角，Ψ是偏航角，φ是滾轉角，用于兩個相關坐標系的坐標轉換求解。導彈具有6個自由度(DOF)，3個平移自由度和3個旋轉自由度。在彈體坐標系中，位置用向量(u,v,w)表示，旋轉角用向量(p,q,r)表示，在地面坐標系中，位置用向量(ue,ve,we)表示，旋轉角用向量(pe,qe,re)表示。

圖1 彈體坐標系和地面坐標系

實際工作中，導彈的傳感器接收到的位置信息基于地面坐標系，而旋轉角信息基于彈體坐標系，需要將位置信息與旋轉信息統一到同一個坐標系，因此需要確立地面坐標系與彈體坐標系的坐標轉換公式。

平移運動的坐標轉換表述為以下公式：

(1)

式中,θ是俯仰角，Ψ是偏航角，φ是滾轉角，c是cos函數的簡寫，s是sin函數的簡寫。

旋轉運動的坐標轉換表述為以下公式：

(2)

本文研究的導彈模型采用側滑轉彎控制(skid to turn，STT)，使用一對“十”字舵面操縱俯仰和偏航運動，通過斜置尾翼來保持滾轉角速度。

飛行過程中的導彈屬于復雜的力學系統，大大增加了導彈動力學方程建立的復雜性，通過忽略次要因素，得到導彈的動力學模型，對此做出如下假設：

1)導彈視為剛體，不會產生氣動彈性效應;

2)導彈視為質量集中在質心的質點;

3)導彈的滾動軸具有對稱的氣動效應。

基于上述假設的情況下，我們可以確立導彈動力學的基本方程，包括x,y,z三個方向上導彈質心的動力學方程與導彈繞質心轉動的動力學方程。因此，導彈的動力學模型表述為以下方程組：

(3)

式中,T是導彈發動機推力，m是導彈質量，g是重力加速度，q是大氣壓，S是導彈表面積，d是導彈直徑，CD,CS,CL是分別作用于x,y,z軸上的氣動力系數，CR，CP，CY是分別作用于x,y,z軸上的氣動力矩系數，IXX,IYY,IZZ是彈體坐標系各軸上的慣性力矩，上述空氣動力系數之間具有如下的轉換關系：

(4)

氣動力系數是攻角α、側滑角β、滾轉舵偏角δa、俯仰舵偏角δe、偏航舵偏角δr、導彈馬赫速度M、導彈旋轉速度(p,q,r)的函數。α,β,M,q的值通過如下方程組進行計算：

(5)

2 導彈的制導系統設計

本章對設計的導彈制導系統進行介紹，包括軌跡規劃、制導策略、自動駕駛儀三部分。

2.1 航跡規劃

本文引入Dubins曲線進行軌跡規劃。具體操作如下：

1)確定導彈必須到達的路徑點位置(用三維向量(xi,yi,zi)進行表示)。

2)使用線段將各路徑點順次連接，生成分段折線。

3)引入Dubins曲線對折點進行優化處理。

引入Dubins曲線能夠創建更平滑的參考軌跡，減少導彈運動中的振蕩現象。本文中使用的Dubins曲線分為直線和圓弧兩種軌跡，圓弧軌跡僅用于拐點，直線用于軌跡的其他部分。

Dubins曲線對折點優化處理需要在每個拐點上創建Dubins圓：首先在xy平面上初始化Dubins圓的位置，然后依次圍繞x,y,z軸的旋轉相應的角度α,β,γ。路徑點i上的Dubins圓必須與路徑點Wi-1,Wi,Wi+1形成的平面共面。Dubins圓的旋轉矩陣如下：

(6)

為了驗證生成Dubins曲線軌跡的可行性，進行以下試驗：

預設一組導彈的路徑點，如表1所示，導彈的航跡需依次經過表1所列的路徑點，路徑點間使用直線相連，并使用Dubins曲線對路徑點附近的航跡進行圓滑處理，令Dubins圓半徑為2 000 m。生成的Dubins曲線軌跡如圖2所示，驗證了生成Dubins曲線軌跡的可行性并將該曲線應用于后續的仿真部分，后續仿真章節將對Dubins曲線為航跡規劃帶來的改良效果進行分析。

表1 參考軌跡的路徑點

圖2 Dubins曲線軌跡

2.2 制導策略設計

路徑規劃工作完成后，需要設計制導策略來實現導彈對參考軌跡的跟蹤。導彈制導由兩個獨立的制導系統組成，即偏航方向和俯仰方向的制導。偏航方向的制導需要實時的偏航角和位置坐標，俯仰方向的制導則需要俯仰角。上述的方向角和位置坐標信息，通過導彈上安裝的定位系統與陀螺儀系統獲得。

導彈制導系統接收到當前方向角與位置坐標信息后，結合預設參考路徑，進行導彈方位角參考值的計算，從而實現對參考軌跡的跟蹤，采用什么方法進行參考方位角的計算，決定了導彈對目標路徑的跟蹤效果。傳統導彈制導系統的制導策略通常采用經典比例引導，本文引入滑模控制算法，對傳統導彈的制導策略進行改進設計。

滑模控制系統是一種內部結構可以隨時間變化的不連續系統，此種可以自主控制開關的控制特性使得系統在能夠在一定情況下沿預定的狀態軌跡作小幅度、高頻率的調整運動，預定的狀態軌跡被稱作“滑動模態”，即所謂的“滑模面”。此種滑動模態是可以進行人為設計的，對滑動模態的設計決定了滑模控制的控制效果。滑動模態與系統參數無關，且不受外界干擾影響，因此處于滑模運動的系統具有很好的魯棒性。

滑模控制方法是通過控制作用，使系統的實際路徑運動到預定的滑模面內，根據滑模控制的理論，系統一旦進入設計好的滑模面內，在一定條件下系統對內部參數變動與外界干擾具有不變性。因此，滑模控制中的關鍵即保證系統順利的進入滑模面內，此處控制其進入滑模面的方法基于平行接近原理，平行接近原理要求制導過程中視線角期望趨于零，實際情況中即導彈和目標之間視線角盡量可能的小。

制導系統在直線路徑和圓弧路徑需要采用不同的制導策略，Dubins曲線由直線段與圓弧段組成，因此需要預先對制導系統制導策略的轉換邏輯進行設定，Dubins曲線中，于路徑點處采用圓弧進行過渡，因此在切入路徑點時，導彈需切換為圓弧制導，切出路徑點時，需要切換為直線制導，以此類推，依次遍歷所有路徑點，最終到達目的地。具體判斷邏輯如圖3所示。

圖3 制導策略轉換邏輯

本文滑模控制的滑模面半徑設置為導彈半徑的兩倍，導彈半徑為0.28米，則滑模面半徑為0.56米，導彈與參考軌跡的距離取導彈的質心坐標點進行計算，如圖4(c)所示。只有導彈與參考路徑的絕對距離大于0.28米時，才會觸發制導系統。當導彈飛行在容許誤差內時，制導系統暫停運行，導彈的自動駕駛儀不會接收到輸入信號。

圖4 算法圖

偏航制導和俯仰制導有不同的制導策略，區別只在于計算的方向角與坐標平面不同，此處僅對偏航制導進行討論。在直線路徑和圓弧路徑也有不同的制導策略，算法中所用到的變量如圖4(a)、(b)所示，偏航制導在直線路徑的算法見式(7)，在圓弧路徑的算法見式(8):

(7)

式中,Wi表示第i個路徑點，Wi+1表示第i+1個路徑點，p表示導彈在xy平面的坐標(x,y)和偏航角ψ，Ru表示路徑點Wi與導彈的相對距離，θy表示θ在xy平面的分量，θuy表示θu在在xy平面的分量，βy表示β在在xy平面的分量，Ry表示Ru在在xy平面的分量，δ表示直線制導算法的調節參數，用于調節制導算法的響應強度，sy表示目標點在航跡上的位置，ψd表示ψ的參考值。

(8)

式中,O表示圓心，p表示導彈在xy平面的坐標(xi,yi)和偏航角ψ，d表示圓弧與導彈的正交距離，θy表示θ在xy平面的分量，λ表示圓弧制導算法的調節參數，用于調節制導算法的響應強度，ψd表示ψ的參考值。

計算出的偏航角和俯仰角的參考值，傳遞給自動駕駛儀部分，作為自動駕駛儀中的級聯比例積分控制器的輸入。

2.3 自動駕駛儀設計

自動駕駛儀負責接收制導策略計算出的偏航角和俯仰角目標值，作為級聯比例積分控制器的輸入，經過控制器的計算后得出舵翼的偏角值，傳遞給導彈彈翼的執行器，彈翼執行器根據控制信號進行相應動作，實現導彈的滾轉、俯仰和偏航運動。

自動駕駛儀的核心控制器采用級聯比例積分控制器，比例積分控制器是目前應用最為廣泛的一種控制器，引入積分作用能消除余差，彌補了純比例控制的缺陷，獲得較好的控制質量。

導彈的滾動、俯仰和偏航都有各自獨立且結構相同的自動駕駛儀，控制框圖如圖5所示。橫滾、俯仰和偏航各自的自動駕駛儀區別僅在于輸入和輸出，輸入分別為目標值Ψref、θref、φref，輸出分別為舵偏角δa、δe、δr。

圖5 自動駕駛儀方框圖

3 仿真結果

對三種不同的參考軌跡進行了仿真模擬計算，分別是直線軌跡、圓弧軌跡和Dubins曲線。仿真中涉及的導彈參數如表2所示。

表2 模擬導彈參數

3.1 直線軌跡

模擬不同參數δ下制導系統對直線路徑的跟蹤表現。圖6展示了導彈對直線路徑的跟蹤效果，圖7展示了導彈與目標點之間誤差距離的變化。表3展示了導彈實際飛行軌跡與參考軌跡的橫向均方根誤差(RMSE)與穩態誤差，表4展示了導彈實際飛行軌跡與參考軌跡的縱向均方根誤差(RMSE)與穩態誤差。

圖6 導彈對直線路徑的跟蹤效果

圖7 導彈與目標點之間誤差距離

表3 橫向均方根誤差與穩態誤差

表4 縱向均方根誤差與穩態誤差

由表3、表4可以看出，δ值減小，則導彈運動相對于參考軌跡的穩態誤差也減小，但同時從圖7可以看出，δ值的減小會導致實際航行軌跡產生更大的超調與振蕩現象。發生這種現象的原因在于，減小δ值會使導彈試圖更迅速地逼近參考軌跡，導致制導系統會傳遞給自動駕駛儀一個更大的參考角度，導致導彈飛行過程中更容易發生超調，但這有利于縮短導彈到達參考軌跡所需的時間。因為作用在縱向軸上的重力加速度，縱向比橫向的均方根誤差更大。

3.2 圓弧軌跡

模擬不同參數λ下制導系統對圓弧路徑的跟蹤表現。導彈的圓弧運動在豎直軸上不產生位移，所以只對偏航運動的制導進行仿真模擬。圓弧路徑的夾角設置為180°，轉彎半徑為1 500米(導彈的最小轉彎半徑)。

圖8展示了導彈對圓弧路徑的跟蹤效果，圖9展示了導彈與目標點之間誤差距離的變化。表5展示了導彈實際飛行軌跡與參考軌跡的均方根誤差(RMSE)與穩態誤差。

圖8 導彈對圓弧路徑的跟蹤效果

圖9 導彈與目標點之間誤差距離

表5 均方根誤差與穩態誤差

由表5可以看出，λ=0.1時，飛行軌跡的的穩態誤差最小，從圖9可以看出，λ=0.1時，飛行軌跡變化最平滑，超調與振蕩現象最不明顯。發生這種現象的原因在于，參考路徑是圓弧形式，因此理論上存在一個最優參考角度，越接近理論上的最優參考角度，則實際飛行軌跡越迅速地逼近參考軌跡，同時變化也越平滑，可知λ=0.1時，舵偏角最接近理論上的最優參考角度。因此，以λ=0.1為基準，過大或過小都會導致飛行軌跡的穩態誤差與振蕩現象變大。

3.3 Dubins曲線軌跡

使用2.1生成的軌跡(如圖2)進行仿真模擬。并對導彈在Dubins曲線軌跡和直線軌跡上的制導效果進行對比。

跟蹤效果及對比如圖10所示，導彈實際飛行軌跡與參考軌跡之間誤差距離及對比如圖11與圖12所示。表6展示了導彈實際飛行軌跡與參考軌跡的均方根誤差(RMSE)。

圖10 采用Dubins曲線參考軌跡和4個路點滑動曲線制導仿真結果

圖11 直線和Dubins曲線參考軌跡下導彈制導的橫向誤差

圖12 直線和Dubins曲線參考軌跡下導彈制導的縱向誤差

表6 不同參考軌跡下導彈與參考軌跡間的均方根誤差

從仿真結果中可以看出，本文設計的導彈制導系統的路徑跟蹤能力表現良好，曲線平滑無明顯突變，且橫向誤差與縱向誤差都較小，對直線軌跡和Dubins曲線軌跡都都有出色的軌跡跟蹤效果。

對不同的參考軌跡進行跟蹤時，導彈的跟蹤效果有明顯差異。對Dubins曲線軌跡進行跟蹤時，實際飛行軌跡與參考軌跡間的均方根誤差較小。在拐點處，對Dubins曲線的跟蹤效果顯著優于對直線的跟蹤效果，出現這種現象的原因是Dubins曲線軌跡在拐點處的過渡更平滑，相應地減小了導彈在拐點處的運動超調。

改進前后的路徑仿真如圖13所示，以Dubins曲線為參考路徑，改進前后與參考軌跡之間的誤差距離及對比如圖14、圖15所示。表7展示了導彈實際飛行軌跡與參考軌跡的均方根誤差(RMSE)。

圖13 改進前后飛行軌跡的仿真結果

圖14 改進前后與參考軌跡的橫向誤差

圖15 改進前后與參考軌跡的縱向誤差

表7 改進前后與參考軌跡間的均方根誤差

從仿真結果中可以看出，本文改進后的導彈制導系統對參考軌跡的跟蹤能力更強，橫向誤差與縱向誤差都較小，且收斂速率明顯快于基于經典比例導引法的傳統制導系統。基于經典比例導引法的傳統制導系統產生的彈體抖動較為強烈，尤其在拐點處，發生了明顯的超調，而本文設計的經過改良后的制導系統顯著地抑制了導彈的運動超調與振蕩現象。

4 結束語

本文設計了一種基于滑模控制的新型導彈制導方法，引入Dubins曲線進行路徑規劃，并引入滑模控制進行制導策略的設計。最后，對設計的制導系統進行不同類型參考軌跡下仿真模擬。

對比不同類型的參考軌跡下系統的表現，對比不同軌跡下與參考軌跡間的均方根誤差，并觀察誤差隨時間的變化，證明了Dubins曲線能有效改善導彈的路徑跟蹤能力，減少超調與振蕩現象。

此外，為了進一步體現本文設計的制導系統相對傳統制導系統的改良效果，對以經典廣義比例導引作為制導律的制導系統進行仿真，結果與本文設計的經過改良后的的制導系統表現進行對比，證明了改進后的制導系統性能的優越性，收斂速度有明顯提高，能夠有效抑制導彈飛行中的振蕩現象，證明了本研究所做的改進工作是可行的。

后續研究應引入其他不同的制導策略，并尋找復雜度更高、更能驗證制導系統的路徑跟蹤性能的路徑作為參考軌跡進行仿真。