周期型控制結(jié)構(gòu)汽車隊列的干擾抑制特性*

楊秀建，殷新雨，高 晉

（昆明理工大學交通工程學院，昆明 650500）

前言

汽車隊列是指由若干輛汽車組成且能按照指定的控制策略規(guī)范有序成組運行的車隊。隊列中的車輛通過車載雷達、車-車通信獲取前車的運動狀態(tài)作為自車的控制輸入。汽車隊列通過合理的跟馳控制，可以顯著縮小車間距，對緩解交通擁堵、保證交通安全、提升運輸效率、降低能耗等方面都有積極的作用［1-3］。

國內(nèi)外研發(fā)人員對汽車隊列做了大量的研究工作，其中研究探討較早較多的一個方面是從多智能體系統(tǒng)、群集系統(tǒng)或網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的角度研究隊列的控制理論，多專注于隊列的信息流拓撲、隊形結(jié)構(gòu)、隊列穩(wěn)定性、可擴展性、干擾抑制等方面的指標特性［4-12］。另一方面，隨智能交通系統(tǒng)研究的深入，一些學者關注汽車隊列在改善交通流方面的應用，試圖在傳統(tǒng)交通流中滲入部分車輛隊列，以期改善交通流特性，緩解交通擁堵［13-16］。對交通流的改善，實質(zhì)上是對交通波的抑制問題，文獻［15］和文獻［16］中將汽車隊列與人工駕駛車輛組成的混合交通流跟馳模型視作控制系統(tǒng)，分別推導人工駕駛車輛到汽車隊列以及汽車隊列到人工駕駛車輛的傳遞函數(shù)，進而組合成混合交通流傳遞函數(shù)，并以此導出穩(wěn)定性判別條件。這種方法實際上是通過局部節(jié)點車輛的誤差傳遞特性得出整個交通流的誤差傳遞特性，由于無法直接對整個隊列進行建模處理，在應用上有一定的局限性。

在交通流問題研究中，一種處理方法是將交通流等效成質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)［13］，交通波的抑制問題就等效為質(zhì)點振動的抑制問題。振動抑制是一個專門領域的問題，相關的理論方法很多，這里不做過多的評述。其中，通過周期性結(jié)構(gòu)抑制波的傳遞是振動抑制的一種思路，通過合理設計周期性結(jié)構(gòu)就能在內(nèi)部產(chǎn)生阻帶，某些頻率的波通過阻帶時振幅會降低，從而達到抑制波傳遞的效果［17-20］。本文中從這一思路出發(fā)，嘗試通過隊列節(jié)點車輛控制增益的周期設置達到“周期性結(jié)構(gòu)”的效果，以期實現(xiàn)對某些頻率范圍的交通波進行抑制。這一問題的研究須從整個汽車隊列進行考慮，為便于分析將交通波的抑制等效成對干擾引起的車輛跟馳誤差的抑制。在汽車隊列干擾抑制研究方面，文獻［5］中建立了隊列各節(jié)點車輛的控制輸入干擾到各節(jié)點車輛跟馳誤差的傳遞函數(shù)關系，通過考察傳遞函數(shù)矩陣的最大奇異值來評價隊列的干擾抑制特性。該方法的優(yōu)點是隊列內(nèi)所有車輛自身的物理屬性、隊形結(jié)構(gòu)、控制增益等對干擾抑制的影響都集中體現(xiàn)在誤差傳遞矩陣中，基于這一思路，分析外界干擾和前方車輛擾動產(chǎn)生的跟馳誤差沿周期型控制結(jié)構(gòu)汽車隊列的傳播特性與干擾抑制特性。

1 周期型控制結(jié)構(gòu)汽車隊列建模

本文不考慮車-車通信，隊列中各車輛僅通過車載雷達探測與其最近前方車輛的車間距、相對速度等信息進行跟馳控制，作為周期型控制結(jié)構(gòu)汽車隊列的初步研究探討，主要考慮“…-K1-K2-K1-K2-K1-…”型簡單的控制增益周期設置結(jié)構(gòu)，如圖1所示，其中K1、K2分別為相鄰兩輛車的控制增益組，分別又具體包含間距誤差及其變化率的控制增益，即（kp1，kv1）和（kp2，kv2），整個車輛隊列的控制原理可以按照如圖2所示的質(zhì)量-彈簧-阻尼等效機械系統(tǒng)模型來理解。

圖1 周期型控制結(jié)構(gòu)隊列示意圖

圖2 周期型控制結(jié)構(gòu)汽車隊列等效機械模型

隊列車輛采用定時距跟馳控制策略，第i輛車的期望車間距為di=hwvi(t)+δd，其中hw為車頭時距，δd為靜態(tài)車間距。因此，t時刻第i輛車的間距跟馳誤差可表示為

式中：xi-1（t）和xi（t）分別表示t時刻時第i-1輛車以及第i輛車的位移；vi（t）為第i輛車的速度。采用PD控制策略，則第i輛車的控制輸入為

同理，第i-1輛車的控制輸入為

即整個隊列中車輛的縱向控制器存在（kp1，kv1）和（kp2，kv2）兩組控制增益，相鄰的兩輛車分別采用這兩組增益，因此在上層控制層面形成了以兩輛車為一個周期的周期型控制結(jié)構(gòu)，隊列中各車輛的控制輸入為

2 誤差傳播動力學

2.1 跟馳誤差建模

考慮執(zhí)行器響應延遲，用τ表示響應時間常數(shù)，則第i輛車的運動方程可表達為

式中ai（t）為車輛i的加速度響應。聯(lián)立式（5）中兩式并進行拉氏變換，令初始條件為零，可得從控制輸入ui（t）到位移響應xi（t）的傳遞函數(shù)模型：

考慮初始位移和初始速度的影響，車輛i位移的拉氏變換為

汽車在行駛過程中受路面坡度、路面附著、風阻等因素的影響，車輛實際產(chǎn)生的加速度可能并不能達到期望的加速度值，這里將實際加速度跟蹤期望加速度的誤差用Di（s）表示，即外部干擾引起的加速度增量。假設隊列中每輛車的初始速度為零，即vi(0)=0，且相鄰兩車初始間距為δ，假設x0(0)=0，則第i輛車的初始位置為xi(0)=-iδ，式（7）可進一步寫為

同理，對第i-1輛車，有

對式（1）間距跟馳誤差進行拉氏變換得

當i=1時，有

對式（2）控制輸入進行拉氏變換得

假設初始間距誤差為0，即ei(0)=0，則

考慮本文探討的周期型控制結(jié)構(gòu)，有

相應地，K1(s)=kp1+skv1，K2(s)=kp2+skv2。

將式（8）和式（13）代入式（11），并令δ=δd，得i=1時的跟馳誤差傳遞關系：

將式（8）和式（9）代入式（10），并令δ=δd，得到

將式（13）與式（14）代入式（16）得車輛i的跟馳誤差傳遞關系：

令

從而，誤差傳遞關系可重寫為

式中T1(s)和T2(s)為相應車輛的誤差傳播的傳遞函數(shù)。可以看出，由于采用周期型控制結(jié)構(gòu)，一個周期內(nèi)的兩輛車有不同的跟馳誤差傳遞函數(shù)。

2.2 誤差傳遞函數(shù)矩陣

由式（18）可以看出，隊列中車輛在行駛過程中導致間距誤差的外界干擾是互相耦合的，本車的跟馳誤差不但與前車的跟馳誤差有關，還與本車及前車受到的外界干擾有關。

根據(jù)前文推導的誤差傳遞關系，整個隊列的間距誤差方程可表達為

其中：

由式（13）和式（14），車輛加速度輸入矩陣可寫為

其中

聯(lián)立式（19）和式（20）得干擾到間距誤差的傳遞關系方程為

則有

其中：

式中TD(s)、TX0(s)分別為外界干擾和領航車位移擾動到間距誤差的傳遞函數(shù)矩陣，實際上TD(s)、TX0(s)可以認為是間距誤差對外界干擾和領航車位移擾動的靈敏度函數(shù)矩陣，下面將通過靈敏度矩陣分析周期型控制結(jié)構(gòu)隊列的干擾抑制特性。

3 結(jié)果分析

3.1 同質(zhì)隊列的干擾抑制性分析

首先定義靈敏度函數(shù)矩陣TD(s)、TX0(s)的最大奇異值，分別用表示，由于最大奇異值隨角頻率ω變化，進一步定義靈敏度函數(shù)矩 陣TD(s)、TX0(s)的∞范 數(shù)，即其 中

表示最大奇異值的上界。在下面的分析中，根據(jù)需要用靈敏度函數(shù)矩陣TD(s)、TX0(s)的最大奇異值或∞范數(shù)來表征間距誤差對外界干擾和領航車擾動的靈敏度，最大奇異值或∞范數(shù)值大，說明間距誤差對干擾的靈敏度大，干擾將導致較大的跟馳誤差。

考慮由6輛車組成的車輛隊列，首先考察控制增益kp、kv的影響，取hw=0.6 s，τ=0.1 s/rad，增益kp和kv的取值范圍皆為與增益kp和kv之間的關系分別如圖3和圖4所示。由圖3可知，kp的影響相對而言更大一些，尤其是在kp顯著較小時，無論kv如何取值的值都會顯著較大。而從圖4可知，對而言，kv的影響更為顯著，特別是在kv>1時的值基本上都在1左右，不隨kp、kv的變化而產(chǎn)生較大波動。

圖3 控制增益kp和kv對‖ TD(s)‖∞的影響

圖4 控制增益kp和kv對‖ TX0(s)‖∞的影響

為進行周期控制結(jié)構(gòu)分析，首先在‖TD(s)‖∞值為1的附近取對應的kp、kv增益值，表1給出了5種不同的取值組合及對應的‖TD(s)‖∞值。為研究周期型控制結(jié)構(gòu)增益的變化對隊列干擾抑制特性的影響，首先將其中一組增益固定為kp1=1.7，kv1=1.4，這里將其標記為K1，再從表1中取另外一個kp、kv組合（標記為K2）與之構(gòu)成周期型控制結(jié)構(gòu)。不同組合下靈敏度函數(shù)矩陣TD(s)的最大奇異值變化如圖5所示。圖中K1K2表示由K1、K2這兩種增益組成的周期型控制結(jié)構(gòu)。可以看出，與單一控制增益相比，在合理的增益組合下周期型控制結(jié)構(gòu)可以降低(TD(jω))的峰值，即可以減小間距誤差對外界干擾的最大靈敏度，提升對外界干擾的抑制能力，如圖5（a）和圖5（d）所示。但當組成周期型控制結(jié)構(gòu)的兩組增益相差較小時，周期型控制結(jié)構(gòu)與單一增益控制的情況相比優(yōu)勢不太明顯，如圖5（b）和圖5（c）所示。

表1 kp和kv取值組合

圖5 不同增益組合的周期控制結(jié)構(gòu)對(TD(jω))的影響

為避免結(jié)果的偶然性，分別在‖TD(s)‖∞值為2和3的附近另取對應的kp、kv增益組合，組成周期型控制結(jié)構(gòu)，與單一控制增益相比對σˉ(TD(jω))的影響如圖6所示。其中，圖6（a）是在‖TD(s)‖∞值為2的附近選取對應的kp、kv增益組合，兩組增益分別為K1：kp1=0.7，kv1=1.4；K2：kp2=2.1，kv2=0.5。圖6（b）是在‖TD(s)‖∞值為3的附近選取的增益組合，兩組增 益 分 別 為K1：kp1=0.7，kv1=1.0；K2：kp2=2.3，kv2=0.2。可以看出，與單一的增益控制相比，組成周期型控制結(jié)構(gòu)可以顯著降低σˉ(TD(jω))的峰值，從而可以顯著降低跟馳間距誤差對外界干擾的最大靈敏度，且對比圖5和圖6還可以發(fā)現(xiàn)，‖TD(s)‖∞值越大對應的kp、kv增益組合形成的周期型控制結(jié)構(gòu)優(yōu)勢越明顯。

圖6 ‖ TD(s)‖∞值在2和3附近的增益組成周期型控制結(jié)構(gòu)對(TD(jω))的影響

從干擾到跟馳誤差傳遞方程式（23）可知，汽車隊列的間距跟馳誤差不僅受行駛工況不確定性等外界干擾Dˉ(s)的影響，且與隊列領航車的運動擾動X0(s)密切相關，因此下面繼續(xù)考察周期型控制結(jié)構(gòu)對領航車運動擾動靈敏度(TX0(jω))的影響。仍在‖TD(s)‖∞值為2和3的附近分別取兩組對應的kp、kv增益組合，其中在‖TD(s)‖∞值為2附近取增益K1：kp1=0.7，kv1=1.4；K2：kp2=2.1，kv2=0.5。組成的周期型控制結(jié)構(gòu)對領航車運動擾動靈敏度σˉ(TX0(jω))的影響如圖7（a）所示；在‖TD(s)‖∞值為3附 近 取 增 益K1：kp1=0.7，kv1=1.0；K2：kp2=2.3，kv2=0.2。組成的周期型控制結(jié)構(gòu)對靈敏度(TX0(jω))的影響如圖7（b）所示。總體來看，在單一控制增益的情況下，不同的控制增益對靈敏度(TX0(jω))的影響差別很大，如圖7中K1與K2的影響對比；而組成周期型控制結(jié)構(gòu)后，雖然在‖TD(s)‖∞值較小時（如圖7（a）‖TD(s)‖∞=2）不能完全優(yōu)于所有的單一控制增益的情況，但基本上都可以保持較小的靈敏度值，特別是在‖TD(s)‖∞值較大時（如圖7（b）‖TD(s)‖∞=3），周期型控制結(jié)構(gòu)對降低靈敏度(TX0(jω))優(yōu)勢相對更明顯。

圖7 ‖ TD(s)‖∞值在2和3附近的增益組成周期型控制結(jié)構(gòu)對(TX0(jω))的影響

3.2 隊列規(guī)模與干擾抑制分析

一般來說，汽車隊列的規(guī)模越大控制越困難，對隊列后方的車輛而言，既要承受外界干擾對自身的影響，又要受到前方各車輛運動擾動的影響，往往會產(chǎn)生更大的跟馳誤差，隊列的規(guī)模越大受到的影響越大。這里繼續(xù)考察周期型控制結(jié)構(gòu)對不同規(guī)模隊列干擾抑制特性的影響。圖8給出了‖TD(s)‖∞值在2附近對應的kp、kv增益組合形成的周期型控制結(jié)構(gòu)對不同隊列規(guī)模下(TD(jω))的影響，增益組合K1、K2與圖7（a）的相同；圖9給出了‖TD(s)‖∞值在3附近對應的kp、kv增益組合形成的周期型控制結(jié)構(gòu)對不同隊列規(guī)模下(TD(jω))的影響，增益組合K1、K2與圖7（b）的相同。

圖8 ‖ TD(s)‖∞值在2附近的增益形成的周期型控制結(jié)構(gòu)對不同隊列規(guī)模下(TD(jω))的影響

綜合圖8和圖9可以看出，在相同隊列規(guī)模下單一控制增益組合成周期型控制結(jié)構(gòu)后，(TD(jω))的峰值都要顯著小于原單一控制增益的情況；采用單一控制增益時，隨著隊列規(guī)模的增加，(TD(jω))峰值增加的幅度越來越大，即隊列的可擴展性較差，而將增益組合成周期型控制結(jié)構(gòu)后隨隊列規(guī)模的增加(TD(jω))峰值增加的幅度越來越小，體現(xiàn)出較好的隊列可擴展性。

圖9 ‖ TD(s)‖∞值在3附近的增益形成的周期型控制結(jié)構(gòu)對不同隊列規(guī)模下(TD(jω))的影響

3.3 異質(zhì)隊列的干擾抑制性分析

實際的汽車隊列都是異質(zhì)的，下面繼續(xù)考察周期型控制結(jié)構(gòu)對異質(zhì)汽車隊列的影響。考慮到車輛異質(zhì)的復雜性，這里將車輛的異質(zhì)性集中用車輛響應延遲時間常數(shù)τ來體現(xiàn)。考慮如圖10所示的異質(zhì)車輛隊列，由3種不同時間常數(shù)的車輛組成，并假設τ1=0.1 s/rad，τ2=0.2 s/rad，τ3=0.3 s/rad。 在‖TD(s)‖∞值為2的附近取兩組增益K1：kp1=1.0，kv1=1.2；K2：kp2=3.0，kv2=0.4。在‖TD(s)‖∞值為3的附近 取 兩 組，即K1：kp1=1.0，kv1=0.9；K2：kp2=2.4，kv2=0.4。

圖10 異質(zhì)周期型控制結(jié)構(gòu)隊列示意圖

周期型控制結(jié)構(gòu)對異質(zhì)車輛隊列外界干擾靈敏度(TD(jω))的影響如圖11所示。可以看出，與同質(zhì)車輛隊列的情況類似，周期型控制結(jié)構(gòu)可顯著減小間距跟馳誤差對外界干擾靈敏度(TD(jω))的峰值，且‖TD(s)‖∞的值越大采用周期型控制結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢越明顯。周期型控制結(jié)構(gòu)對異質(zhì)車輛隊列領航車擾動靈敏度(TX0(jω))的影響如圖12所示。可以看出，與同質(zhì)車輛隊列的情況類似，在單一控制增益情況下，不同增益對靈敏度(TX0(jω))的影響差別很大；組成周期型控制結(jié)構(gòu)后基本上都可以保持較小的靈敏度值。

圖11 周期型控制結(jié)構(gòu)對異質(zhì)車輛隊列(TD(jω))的影響

圖12 周期型控制結(jié)構(gòu)對異質(zhì)車輛隊列(TX0(jω))的影響

3.4 時域響應分析

基于Matlab/Simulink搭建由100輛車組成的同質(zhì)車輛隊列仿真模型，采用周期型控制結(jié)構(gòu)和定時距跟馳控制策略。假設隊列的初速度為20 m/s，初始加速度為0，靜態(tài)車間距δd=10 m，車頭時距hw=0.6 s，執(zhí)行器延遲時間常數(shù)τ=0.1 s/rad，構(gòu)成周期型控制結(jié)構(gòu)的兩組增益分別為K1：kp1=1.0，kv1=2.2；K2：kp2=2.9，kv2=0.6。仿真中在相應的車輛上施加加速度干擾，通過考察各車輛的間距跟馳誤差來評價周期型控制結(jié)構(gòu)的干擾抑制性能。

考察兩種加速度干擾。第一種情況是在t=0時刻，在前10輛車上同時施加持續(xù)時間為4 s、峰值為0.5 m/s2的加速度干擾，如圖13（a）所示。第二種情況，是在第10、20、30、40、50輛車上先后施加峰值為0.5 m/s2、持續(xù)時間為8 s的加速度干擾，干擾信號如圖13（b）所示，其中在t=0時刻施加在第10輛車上，仿真30 s后即在t=30 s時刻在第20輛車上施加該干擾，持續(xù)時間仍為8 s，以此類推，在t為60、90、120 s時刻分別在第30、40、50輛車上依次施加該干擾。

圖13 加速度施加干擾信號

在兩種干擾情況下仿真的第50、100、150 s時刻各車輛的間距跟馳誤差響應分別如圖14和圖15所示。顯然，采用周期型控制結(jié)構(gòu)的汽車隊列中各車輛都始終可以保持較小的間距跟馳誤差，最大跟馳誤差均小于5 m，且隨著時間的推移，間距跟馳誤差逐漸趨于零，隊列趨于穩(wěn)定，而采用單一控制增益的車輛隊列在某些時刻相應車輛會出現(xiàn)相對較大的間距跟馳誤差，最大誤差達30 m，隊列調(diào)整控制困難，難以趨于穩(wěn)定。

圖14 前10輛車施加干擾的間距跟馳誤差響應

圖15 第10、20、30、40、50輛車施加干擾的間距跟馳誤差響應

4 結(jié)論

受周期性結(jié)構(gòu)抑制振動的啟發(fā)，針對汽車隊列控制提出了周期型隊列控制結(jié)構(gòu)。推導了周期型控制結(jié)構(gòu)汽車隊列的干擾到間距跟馳誤差的傳遞關系，通過間距誤差傳遞函數(shù)矩陣分析了周期型控制結(jié)構(gòu)汽車隊列的干擾抑制特性，得到以下結(jié)論。

（1）周期型控制結(jié)構(gòu)通過合理設計，可有效降低干擾到間距誤差傳遞函數(shù)矩陣最大奇異值的峰值，即可有效降低干擾引起的最大間距跟馳誤差，提升汽車隊列的干擾抑制能力，且組成周期型控制結(jié)構(gòu)的兩組增益相差越大，對干擾的抑制能力越強，周期型控制結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢越明顯。

（2）隨著隊列規(guī)模的增加，在單一增益控制間距跟馳誤差增長幅度越來越大的情況下，組成周期型控制結(jié)構(gòu)后間距誤差的增長幅度逐漸衰減，體現(xiàn)出較好的隊列可擴展性。

（3）考察了周期型控制結(jié)構(gòu)對異質(zhì)車輛隊列的影響，通過執(zhí)行器延遲時間常數(shù)來集中體現(xiàn)車輛的異質(zhì)性。結(jié)果表明，周期型控制結(jié)構(gòu)對異質(zhì)車輛隊列仍有較好的干擾抑制特性，總體影響與同質(zhì)隊列的情況類似。

周期型控制結(jié)構(gòu)的形式并不是唯一的，作為初步研究本文主要考慮“…-K1-K2-K1-K2-K1-…”型增益大小周期變化的周期型控制結(jié)構(gòu)，在后續(xù)的研究中還將繼續(xù)探討控制器結(jié)構(gòu)及信息流拓撲結(jié)構(gòu)周期變化等類型的周期型控制結(jié)構(gòu)車輛隊列，并深入研究各周期型控制結(jié)構(gòu)車輛隊列的干擾抑制機制等問題。