基于后向加邊算法的城市軌道交通網絡彈性優化研究

程馳堯，牟能冶,2,3

（1.西南交通大學，交通運輸與物流學院，成都 611756；2.綜合交通運輸智能化國家地方聯合工程實驗室，成都 611756；3.綜合交通大數據應用技術國家工程實驗室，成都 611756）

0 引 言

軌道交通系統作為城市主要的功能模塊之一，其網絡的風險抵御能力是推進城市安全發展的重要保證[1]。城市軌道交通網絡發生故障，不僅會對城市交通系統造成巨大壓力，還會給居民生活帶來嚴重影響。例如：2021 年3 月，南京地鐵1號線首發站邁皋橋站突發設備故障，導致邁皋橋站至1 號線后續26 個站點上下行運營中斷，全線列車限速，運行發車班次間隔延長；2021年7月，廣州地鐵21 號線中間站神舟路站發生水浸，使得21號線上黃村站至蘇元站這一區間共計6 個站點暫停運營，4號線和6號線換乘也受到影響。因此，建立以提高城市軌道交通網絡彈性、增強網絡風險抵御能力為目標的評估和優化體系至關重要。

1973年，Holling[2]首次使用彈性作為衡量生態系統應對外部沖擊能力的指標，基于生態系統在多起意外事件下的行為變化分析，論證了彈性概念在風險評估方面的可行性，此后，彈性的概念被廣泛應用于多類系統的風險分析，在城市軌道交通安全領域更是受到國內外學者的廣泛關注。Zhang[3]將網絡彈性定義為節點中斷后通過適當的修復措施將連接快速恢復到可接受水平的能力，他提出了一個通用框架，通過定量分析恢復速度的方式來評估大型復雜地鐵網絡的彈性，并以上海地鐵為例進行了方法驗證。鞠艷妮[4]等在分析城市軌道交通網絡拓撲結構的基礎之上，結合網絡無標度特性，以網絡效率為節點連通性指標對網絡彈性進行判斷，并通過彈性評價識別關鍵節點，以此從全局角度提出最優故障恢復策略。Cheng等[5]考慮了乘客出行路徑和網絡結構之間的聯系，提出了基于實際需求的軌道交通彈性績效指標分析網絡中斷下的性能損失，并以成都地鐵網絡為例進行了方法有效性驗證。Li 等[6]分析了北京地鐵近年來的多起中斷事件，基于客流計算了節點的加權度，分析多種中斷情形下北京地鐵網絡的彈性變化情況，形成需重點維持和保護的節點體系，并提出了應對策略。潘守政等[7]從系統彈性的角度出發，采用失效節點比率和運營效率作為評價指標，深入分析環線結構在網絡失效和恢復過程中的影響作用，并以北京地鐵為例，得出越靠近中心的環線會比外圍環線更加重要這一結論。

為了減輕擾動或中斷對于網絡彈性的影響，許多專家和學者提出了一些通過改變網絡拓撲結構來提高網絡彈性的方法和機制。Safaei等[8]提出了一種基于熵的網絡重布線機制，在維持網絡總度值不變的前提下，對節點間的連線進行重新分配，通過均衡各節點度值來提高網絡彈性。Lou等[9]對重布線模式下的度保持策略、底層拓撲保持策略和隨機布線策略進行了比較分析，得出度保持策略在提高網絡彈性和維持網絡功能方面整體最優這一結論。Yang 等[10]設計了一種三步拓撲調整方法，將網絡按照社團結構進行劃分，使每個社團的內部結構表現為洋蔥狀結構，然后通過低重要性的節點將不同的社團連接起來，實現增加網絡延展性、加強網絡彈性的目的。Liu 等[11]提出了一種模因算法，在保持每個社團的度分布和社團內鏈接數量不變的約束條件下，對社團內部、外部節點連接情況進行判斷，分兩階段進行彈性優化，以美國航空網絡為例驗證了算法的有效性。Sebastian等[12]基于離散社區算法，對各社區之間的重要邊進行識別，并采用弱連接的加邊策略，對社區間的連接進行加強，從而實現網絡彈性整體的增強。朱倩[13]在復雜特性和節點連接偏好特性基礎上，采用點強度作為節點連接度的偏好連接機制，構建了一個具有增長和偏好連接機制的網絡模型，對高鐵快遞網絡進行了優化。

既有研究多基于節點判斷，選擇一定數量的節點形成節點集，通過對節點集進行重布線或增邊操作，以實現網絡彈性提升的目的。選擇方式以節點自身屬性或社團地位等靜態指標為主，較少分析網絡在發生全部或部分中斷等動態情形下節點的屬性變化對于選擇的影響，且優化方案缺乏花費成本等現實約束的綜合度量，成果可行性存在一定不足。鑒于此，本文在建立同時考慮網絡運行能力和運作效率的彈性評估體系基礎之上，基于后向加邊算法，聯系社團理論，提出了一種“節點集”的動態選擇方法和體現現實約束的彈性優化模型，并以成都都市圈為例進行分析和驗證，以期為城市軌道交通網絡的安全高效運營提供借鑒。

Mu：Lao Yang，you’d better sign this contract（簽賣身契）.Or，you know，Master will be very angry!

1 研究方法

1.1 城市軌道交通網絡彈性評估體系

在本文的研究中，網絡彈性應包含兩個維度：一是運行能力維度，能夠正確衡量軌道交通網絡面臨全部或部分中斷時，網絡中能夠維持運營的節點和邊的整體情況；二是運行效率維度，能夠精準評判軌道交通網絡面臨全部或部分中斷時，網絡提供正常服務的能力和水平。因此，本文在復雜網絡拓撲指標分析的基礎上，參考Mou等[14]提出的彈性公式，基于運行能力和運作效率的雙重考慮，構建軌道交通網絡彈性評估體系，如下所示：

傍晚，我靠著逐漸暗淡的、最后的陽光指引，走過十八年前的故居。這條街、這個建筑物開始在我的眼前隱藏起來，像在躲避一個久別的舊友。但是它們改變了的面貌于我還是十分親切，我認識它們，就像認識我自己，還是那樣寬的街，寬的房屋。巍峨的門墻代替了太平缸和石獅子，那一對常常做我們坐騎的背脊光滑的雄獅也不知逃進了哪座荒山。然而大門開著，照壁上“長宜子孫”四個字卻是原樣地嵌在那里，似乎連顏色也不曾被風雨剝蝕。我望著那同樣的照壁，被一種奇異的感情抓住了，我仿佛要在這里看出過去的十九個年頭，不，我仿佛要在這里尋找十八年以前的遙遠舊夢。

式中：R(G)表示網絡彈性；GC表示網絡連通度；GE表示全局網絡效率；GD表示網絡密度；FC表示網絡融合中心性。

從各指標的意義來看，GC、GD是網絡運行能力的重要衡量，而GE、FC則是網絡運行效率的重要評判，計算如下：

（1）網絡連通度GC

圖A1中的算法描述了多個地震事件檢測的歸一化質點濾波的概要。 “CONVERGED”（收斂）的判據可由理想條件來取代（例如在估計‖＾θt－10－＾θt－1‖＜δ 時發生變化）。

考慮到當網絡遭受沖擊導致若干節點失效時，一個連通性良好的網絡被波及的節點數量較少，可避免網絡發生大范圍中斷，因此，網絡連通度與彈性成正比：

式中：GC表示網絡最大連通子圖包含節點數量與網絡初始節點數的比值；Np表示網絡最大連通子圖包含節點數量；N為網絡初始節點數。

為精準解決成都都市圈軌道交通網絡的運營安全問題，針對成都都市圈軌道交通網絡可能面臨的中斷情形，本文從中斷來源和影響程度兩個方面對其進行分類：在中斷來源方面，分為帶有目的性的干擾（人為破壞）和隨機突發事件干擾（設備故障、自然災害、公共衛生事件）兩種情況，映射復雜網絡中的蓄意攻擊和隨機攻擊兩種模式；在影響程度方面，設備、人員、環境、管理等因素均可能導致成都都市圈軌道交通系統運營受到影響，影響因素的不同使得軌道交通網絡站點被波及的范圍和受影響的程度有所區別，映射復雜網絡中的累計失效和單點失效兩種情況。本文將基于以上情形對成都都市圈軌道交通網絡彈性變化及內在機理進行分析。

全局網絡效率通常用來反映整個網絡中節點與節點之間連接的難易程度，因此與網絡彈性成正比：

式中：GE反映節點之間連接的難易程度；N表示節點數量；dij為從節點i到節點j的最短路徑上的邊數。

（3）網絡密度GD

如果成都都市圈軌道交通網絡發生局部破壞，如地震、洪澇等，網絡密度越高，受影響的站點和路段就越多，對維持網絡正常運作產生不利影響。因此，網絡的密度與其彈性成反比：

式中：GD表示節點之間連接的稀疏程度[15]；ep表示網絡正常運營連邊數量。

彈性填料密封，采用涂有耐油橡膠的尼龍布袋(也有直接采用丁腈橡膠)作為與罐壁接觸的滑行部件，內部裝有彈性海綿或軟泡沫塑料塊，利用這類彈性填充物來達到與儲罐罐壁密封。這類密封在實際應用中占比最大。

“我國目前已掌握世界上全部鉀肥生產技術，鉀鹽綜合利用率由最初的27%提升至80%以上，鉀鹽自給率由完全依賴進口上升至58%，在提升中國國際鉀肥市場話語權的同時，中國已成為世界鉀肥貿易價格凹地。鹽湖鉀肥、鹽湖循環產業已經成為青海在國家乃至世界的品牌。”青海鹽湖工業股份有限公司總裁謝康民在8月22日召開的“2018鉀鹽鉀肥大會暨格爾木鹽湖論壇”上表示。

融合中心性定義為網絡中所有節點中心性的平均值，反映了網絡中節點的集中程度。軌道交通網絡的集中程度越大，表示站點之間的聯系越緊密，如果一個站點被破壞，越有可能造成大規模的路由影響。因此，較高的融合中心性降低了網絡的彈性，即融合中心性與彈性成反比：

式中：將節點i的度中心性值、緊密中心性值和中介中心性值進行歸一化和標準化處理后分別用CC(i)、CD(i)和CB(i)表示。

Hi計算公式如下：

依照前面論述，節點重要度評估是蓄意攻擊中必不可少的一環。常用的節點重要度評價指標包括：度、介數、節點中心性等，側重于從節點自身鄰接屬性出發進行節點重要性判斷，鮮少有研究從節點聚集特征方面進行度量。事實上，大量的研究表明：軌道交通運營網絡各節點表現出不同的連接傾向性，可聚集為不同的簇，對網絡運作過程造成極大影響[17-19]。因此，本文將基于節點體系的簇劃分，構造基于社區結構的節點重要度評判體系對成都都市圈軌道交通網絡節點的重要性進行度量，公式如下：

式中：BM(i)為節點i的重要度；Hi為節點i的社區密度熵；DeDi為節點i的度值；Bi為節點i的介數值；N為網絡中的節點總數。

二是創設具有“行知教育”氣息的人文環境，發揮環境育人的功效。以生活教育為載體，全心“學陶”“師陶”和“研陶”，以“愛滿天下”的情懷善待學生，逐漸形成了“行知文化”特色：學校把陶行知的塑像請進校園，讓師生瞻仰的同時，也顯示著學校的教育特色。圍繞著“行知教育”，學校建立了樓道閱讀長廊、行知文化宣傳欄等。人文的校園環境，彰顯著學校“行知教育，育人行知”的辦學理念。

軌道交通網絡的中斷事件映射復雜網絡中的節點失效，因此，攻擊方式的確定對于網絡彈性的衡量至關重要。與隨機攻擊下的等概率失效不同，蓄意攻擊的節點刪除程序有同步定向攻擊和順序定向攻擊兩種，前者在初始排序后，按照自頂向下的原則對節點進行逐一刪除，并計算由此產生的擾動對網絡性能的影響；后者則在每一次刪除步驟中，重新計算節點重要性，同時評估移除最重要節點對網絡性能的影響。研究發現，順序定向攻擊比同步定向攻擊更具危害性且與實際情況更為貼合[16]，在后續仿真中，本文將采用順序定向攻擊策略進行研究。

1.2 清理的方法可分為割除清理、火燒清理和用化學藥劑清理。割除清理可以是人工，也可以用機具，如推土機、割灌機、切碎機等機具。清理后歸堆和平鋪，并用火燒方法清除。也可以采用噴灑化學除草劑，殺死灌木和草類植物。整地方式分為全面整地和局部整地。局部整地又分為帶狀整地和塊狀整地。全面整地是翻墾造林地全部土壤，主要用于平坦地區。局部整地是翻墾造林地部分土壤的整地方式。包括帶狀整地和塊狀整地。

1.2 城市軌道交通網絡彈性優化模型

“重布線”和“增邊”是復雜網絡彈性優化最主要的兩種形式，前者通過重新布線的方式對現有格局進行大幅更改，以適應現階段的網絡需求；后者在現有格局的基礎上增加一定數量的連邊，通過在節點集之間創建冗余路徑，以提高自身在中斷情形下維持自身正常運營的能力。考慮到在實際軌道交通路網中，第一種優化方式工程量大且成本極高，現實可行性不佳，本文將采取第二種方式，通過增加連邊的形式來達成軌道交通網絡彈性提升的目的。

從功能定位和服務對象看，服務于成都都市圈的軌道交通包含城際鐵路、市域（郊）鐵路及城市軌道交通快線3 種類型。由于軌道交通車輛具有成對運行等特征，不考慮各路段的方向、運載能力和鐵路線級別，將成都都市圈軌道交通網絡構建為無向無權網絡。考慮到成都都市圈軌道交通網絡體系制式多、規模大，在研究過程中，采用Space-L 模型構建網絡拓撲結構，即基于現實空間結構，在兩個站點間存在一條軌道路段，則視為兩站點間存在連邊，且二者互為鄰居節點。

圖1 網絡彈性優化的后向添加邊算法Fig.1 Posteriorly adding algorithm for network resilience optimization

盡管PA 算法能夠使網絡彈性得到有效提升，但無序的增邊模式在改變網絡結構的同時，也可能造成網絡結構功能和運行效率發生重大改變。由于社團結構決定了網絡功能和拓撲之間的關系，對網絡運作效率影響巨大[21]，因此，為了在提高網絡彈性的同時減少新連接對網絡原有功能的影響，即最大限度地維持網絡社團結構不被增邊所改變。本文將借鑒PA 算法，將其與社團理論相融合，形成一套適用于確定增邊操作的節點集動態選擇流程，如圖2 所示。其中，社區劃分采用了Newman方法，通過求解模塊度矩陣的最大正特征值以及對應的特征向量的方式發現社區結構的層次性[22]，這也是目前性能最好、應用范圍最廣的社團劃分方法之一。而網絡中的核心節點表述為基于自頂向下的次序，采用每一次重新計算網絡節點重要度的方式，連續、動態地刪除每一次攻擊下社團網絡中節點重要度最高的節點，最終找出核心節點和次核心節點。

《詩志》大多數地方屬于純粹文學批評，喜好以后世的詩歌與《詩》相比較，相對其他文學性解經書籍更為鮮明成熟。如牛氏評點《詩經·漢廣》說“漢廣不可泳，江永不可方，言游女有二漢之隔，婷婷獨立，可望而不可即也。正與‘盈盈一水間，脈脈不得語’相似”[19]。評點《詩經·柏舟》說：“憂極不能自遣，算到奮飛一著，真煩騷無聊之至。‘愿為雙黃鵠，奮翅起高飛’，古之憂患人于此躊躇多少。”[19]用后世詩句與《詩》對照闡發，注重的是《詩》作為文學的神理氣味，讀者自行比較不同詩句，則詩歌的妙味不言而自然領悟。這明顯不同于漢人注解《詩經》的方式，以考據訓詁追求字詞確義。

圖2 適宜增邊操作的節點列表動態選擇流程Fig.2 Dynamic selection strategy of node setsuitable for edge adding operation

實際運用中，通過添加節點或邊來提高網絡彈性往往伴隨著資源限制，盡管資源限制在各種應用中有不同的含義，但通常指的是網絡變化所導致的經濟成本。王輝[23]提出了在城市軌道交通線網規劃階段進行投資匡算的一種快速、合理的計算方法，分析得出軌道交通網絡建設的總費用由工程費用、工程建設其他費用、預備費和專項費用四項組成，占比分別約為60%、18%、8%和4%，最終計算得到城市軌道交通建設的單位費用為5.22 億元/km。因此，本文將以網絡彈性作為優化的目標函數，以網絡優化成本作為約束條件，構建成都都市圈軌道交通網絡彈性優化模型，從第一步的節點集中選擇一定數量的節點構建最優邊集來解決網絡最優彈性的問題。模型如下：

社交娛樂方面，絕大多數學生參加各種社交娛樂的時間和頻次正常。學生談戀愛現象比較普遍，問卷表明，大三學生中談戀愛的已占到班級的七成以上。而認為談戀愛對自己產生積極影響、負面影響的，后者略高于前者，約各占三成左右。絕大多數學生在與親友QQ、微信或電話聊天，參加朋友聚會、聚餐，逛街、購物，節假日及假期外出旅游，到歌廳、茶室等公眾娛樂場所玩樂的時間和頻次，均在正常范圍之內。

式中：di(c)為節點i與社區c包含節點之間的連接關系之和；Sc為社區c包含的節點總數；C為社區總數。

目標函數：

式中：cij表示節點vi到節點vj之間是否產生新的連接關系，cij值為1，則節點間產生新的連接關系，反之則無；wij表示節點vi到節點vj之間的路段連接費用；B為成本預算；m表示城市軌道交通建設單位費用，本文取5.22億元/km；tij表示節點vi到節點vj之間的實際空間距離，km。

由于構建的成都都市圈軌道交通網絡彈性優化模型的解空間較大，需要尋求一種較好的算法得到較為理想的最優邊集方案，而模擬退火算法具有通用性、靈活性、高效性，全局搜索能力強，不容易陷入局部最優等優勢。因此，本文擬采用模擬退火算法來求解成都都市圈軌道交通網絡彈性優化模型，算法流程如圖3所示。

圖3 模擬退火算法流程圖Fig.3 Flowchart of the simulated annealing algorithm

2 算例分析

2.1 算例說明

城市群或都市圈的軌道交通建設是“十四五”期間國家和社會經濟發展的重要方向[24]。成都都市圈位于成都平原經濟區內圈，以成都市為中心,與聯系緊密的德陽市、眉山市、資陽市共同組成，是全國經濟發展最活躍、創新能力最強、開放程度最高的區域之一（見圖4）。隨著2021年《成都都市圈發展規劃》的發布，成都都市圈同城化、一體化發展進入全面提速期，軌道交通系統也在不斷集線成網，結構復雜性倍增，網絡中斷事件時有發生。

（4）網絡融合中心性FC

圖4 成都都市圈軌道交通站點空間布局及節點編號Fig.4 Spatial layout and node numbers of rail transit stations in Chengdu metropolitan area

（2）全局網絡效率GE

全球常規與非常規石油可采資源量約為9000億噸，天然氣可采資源量約為3800萬億立方米，按現有水平可消費數百年。石油時代的結束不會因為耗盡石油，而是被比石油更優質的能源取代。

《詩經》是我國最早的一部詩歌總集，它收集和保存了周初至春中葉五百多年間的作品，按照《風》《雅》《頌》的體例編撰而成。《詩經》中的作品，是一部反映周代社會的百科全書，具有深厚而豐富的文化積累，食譜文化也是其中一個組成部分。從其中涉及到的食譜，可以感受到先民們已經有了基本的食物養生、祭祀等觀念，也可以了解到周人們對食文化的重視。下面就從《詩經》中涉及到的食物來研究食譜文化。

對于“增邊”提升網絡彈性的問題，Li等[20]提出了一種后向加邊的算法（Posteriorly Adding Algorithm，PA 算法），即通過一種動態的節點重要度評判準則，按照自頂向下的次序依次刪除網絡中重要度最高的節點，將網絡裂解為數個連通分量，找尋其中維持網絡最大連通分量不完全潰散的核心節點（去掉該節點，連通分量中的連邊數量變為0），以及網絡完全潰散前與核心節點直接相連的次核心節點，將所有次核心節點構成最優節點集，并通過增加最優節點集中節點的連邊關系達成網絡彈性提升的目的，如圖1所示。該方法的有效性在空手道俱樂部網絡、甘肅電網、河南電網等多個現實網絡的彈性優化中均得到了驗證。

為保證研究結果的真實可靠，本文從成都軌道交通集團官方網站（https://www.chengdurail.com/index.html）、《成都市軌道交通線網規劃（2021）》、高鐵網（http://www.gaotie.cn/）等多個數據搜集渠道提取了成都地鐵1～10 號線、17 號線、18 號線、蓉2 號線，成都市域鐵路S1、S5、S10、S11號線和資陽線等多條線路信息，整合處理后得到373個軌道交通站點和500條運營線路。以此為基礎，引入站點地理坐標，在復雜網絡分析軟件Gephi 中生成成都都市圈軌道交通復雜網絡模型，如圖5所示。

圖5 成都都市圈軌道交通網絡拓撲結構Fig.5 Topological structure of rail transit network in Chengdu metropolitan area

2.2 彈性評估

為了分析成都都市圈軌道交通網絡遭遇突發事件后的動態彈性變化，本文采取單點失效、累計-隨機失效、累計-蓄意失效三種攻擊模式，分別模擬軌道交通站點遭受突發事件失效的情況。其中：單點失效通過刪除網絡中單個節點的方式模擬單個站點遭遇突發事件失效的情況；累計-隨機失效、累計-蓄意失效則分別通過隨機連續刪除網絡中節點或基于節點重要度大小蓄意連續刪除網絡中節點的方式模擬多個站點遭遇突發事件失效的情況。

首先是單點失效情況下的網絡彈性變化模擬。為驗證彈性測度指標的有效性，將該指標與網絡連通度、網絡連通效率等網絡安全和運作效能指標進行對比，為了更好地比較三類指標對網絡性能變化的敏感性，對三類指標計算結果進行了歸一化處理，對比結果如圖6所示。

圖6 單點攻擊：網絡彈性變化對比Fig.6 Single point attack:comparison of network resilienceperformance changes

由圖6 分析可知，單點失效模式下，網絡彈性、網絡連通度和全局網絡效率均出現不同程度的變化，其中大部分節點失效對網絡性能的影響較小，僅有少部分節點對網絡整體性能的影響較大，表明這類節點是網絡中的關鍵節點。從圖像變化幅度可以推斷，網絡連通度對于節點失效的敏感度相對較低，只有極少數節點發生改變能引起網絡連通度變化，不能很好地衡量不同節點失效造成的網絡性能變化；網絡彈性與全局網絡效率整體性能變化趨勢較為一致，但網絡彈性變化程度明顯更大，這也說明了網絡彈性指標在綜合評判運行能力和運作效率的同時，對網絡性能變化也較為敏感。根據攻擊結果，確定了成都都市圈軌道交通網絡中影響網絡性能的關鍵節點涵蓋了世紀城、中醫大省醫院、西博城、太平園等成都市域地鐵主要換乘節點和成都西站、成都東站、德陽站、資陽北站、眉山東站等城際鐵路樞紐節點，其中成都西站、成都東站等站點同時具備地鐵樞紐和城際鐵路樞紐雙重屬性，對網絡性能的維持發揮重要作用，在實際運營過程中需要重點關注和保護。

于是，習慣了大手大腳的韓莎，不得不算計著過日子。星巴克沒了，西餐沒了，進口水果也不敢買了，甚至買兩斤排骨，杜飛都要心疼半天。

其次是累計失效情況下的網絡彈性變化模擬。為驗證節點重要度評判指標的有效性，分別選取節點度、節點介數和本文提出的節點重要度指標作為蓄意攻擊模式下的節點刪除依據，并比較結果，三類指標下網絡彈性變化如圖7 所示。

圖7 累計攻擊：網絡彈性變化對比Fig.7 Cumulative attacks:comparison of network resilience changes

由圖7分析可知，相較于隨機攻擊，累計-蓄意攻擊給成都都市圈軌道交通網絡帶來的破壞程度更大，無論在哪種攻擊模式下，失效節點比率超過20%時，網絡彈性均趨近于零，這也反映了軌道交通網絡彈性較低，抵御風險能力較弱的特點。失效節點中，節點重要度指標下的網絡性能下降速率略快于節點介數，顯著快于節點度，由此可得出相較于度和介數，重要度指標對于彈性變化敏感性更強、排名靠前的節點在軌道交通網絡的安全中占據更重要的位置這一結論。對兩個指標和節點重要度的重合程度進行對比之后不難發現，整體上而言，介數指標和重要度指標的失效節點重合程度更高，且重合部分節點也是軌道交通系統中客流量最大、中轉換乘能力最強的一批站點，包括：成都西站、成都東站、中醫大省醫院站等，如圖8所示。

圖8 失效節點重合數目對比Fig.8 Comparison of overlap number of failed nodes

由此表明重要度指標與介數指標具有強相關性，當站點的介數越高，對網絡運輸路徑的影響力也越大，一旦失效對整個網絡的破壞性也越大。度指標和節點重要度指標的失效節點重合程度相對低一些，反映出成都都市圈軌道交通網絡存在節點聚集特性明顯且局部網絡活躍度較高的特性，當度值較高的節點失效之后，局部網絡各自運作，較好地維持網絡彈性。隨著失效節點比例的增多，度、介數指標和重要度指標的節點重合程度差距也在不斷縮小，可見成都都市圈軌道交通網絡節點體系層次較為分明，重要度靠前的節點往往具備較高的度值和介數，各指標之間存在一定相關性。

由表2及圖1可知,前兩組數據擬合程度較好,數據原點附近最小相對誤差為1.1314%；后面幾組擬合較差，其相對誤差超過10%,而且距離原點數據越遠誤差越大,這也正符合灰色預測的特征,即:適用于短期預測,而長期預測誤差較大。

2.3 彈性優化

根據1.2 節中的網絡彈性優化模型，用Matlab2018a 模擬了自頂向下攻擊模式下網絡中社團的節點失效情況。基于Newman方法，網絡被劃分為20 個社團，且各社團內節點與軌道交通各運營線路包含站點具有高度重合性，如圖9所示。

圖9 成都都市圈軌道交通網絡社團劃分示意圖Fig.9 Schematic diagram showing node set of rail transit network in Chengdu metropolitan area

根據成都都市圈軌道交通網絡各個社團包含節點的情況，核心節點和次核心節點連接情況共有兩種：一是三個節點首尾相連，形成中間核心節點和兩個次核心節點；二是兩個節點直接相連，互為核心節點和次核心節點，這使得每個社團生成了兩個次核心節點加入節點集，如表1 所示，表中中轉節點記為1，非中轉節點記為0。分析可知，節點集包含節點大多為非中轉節點，樞紐地位不強，但集點成線將使網絡的延展性和彈性大幅增加，在后續的都市圈軌道交通一體化建設中應重點分析和考慮。

表1 成都都市圈軌道交通網絡“節點集”Tab.1 Node set of rail transit network in Chengdu metropolitan area

受建設成本的影響，在節點集中選擇部分節點進行增邊操作，由于成都都市圈交通網絡規模較大，少數幾條連邊對于網絡整體彈性變化影響不大，本文在多次試驗之后選擇500作為起始約束條件，在此基礎上進行遞增，在不同比例的節點中斷下，模擬不同成本預算下成都都市圈軌道交通網絡在遭受累計-蓄意攻擊下的彈性變化過程，如圖10所示。

圖10 中，不同成本預算下各個優化方案的初始網絡彈性都較原網絡有所提高,網絡潰散點也相對延后，說明在正常運營和節點失效的情形下，優化方案均能夠通過增加網絡中節點的連接從而提升網絡彈性。為了進一步分析不同層級節點失效對網絡效能的影響程度，計算[5002 500]成本區間內的新增邊數（A(e)）、實際成本（Cost）以及初始網絡彈性（IR(G)）和累計-蓄意失效下的網絡彈性（UR(G)），并在此基礎上分別計算兩種情況下的單位成本彈性增量，分別用CR1、CR2表示，考慮到累積-蓄意失效模式下網絡的動態性，網絡彈性值取各失效階段平均值，對比各指標計算結果，制定最優方案，如表2所示。

表2 成本約束下成都都市圈軌道交通網絡屬性分析Tab.2 Attribute analysis of rail transit network in Chengdu metropolitan area under cost constraints

圖10 成本約束下成都都市圈軌道交通網絡彈性變化Fig.10 Changes in resilience of rail transit network in Chengdu metropolitan area under cost constraints

由表2可知，五個方案下，初始-網絡彈性的值分別為1.230 7、1.257 6、1.295 8、1.348 5、1.370 6，表明在無突發事件發生的情況下，增加連線對于提高網絡運行效率能起到一定作用，且連線增加數目越多，網絡運行效率越高，這也意味著本文所提出的彈性優化策略對網絡原有結構和功能影響較小。累計-蓄意失效下的網絡彈性值分別為0.017 88、0.024 58、0.025 41、0.022 48、0.026 08，表明增加連線雖然能提高網絡運行效率，維持網絡安全，但并非增加數目越多，網絡增幅狀況越好。當連線過多時，網絡中斷情況下受影響的站點就越多，對維系網絡正常運作將產生不利影響（如：方案二、四或方案三、四）。而對兩種模式下網絡的單位成本彈性增量進行計算后不難發現，方案一的結果顯著優于其他四項方案（見圖11）。

圖11 不同方案下單位成本彈性增量Fig.11 Network resilience improvement range and actual optimization cost under different schemes

因此，本文選擇方案一作為成都都市圈軌道交通網絡線路優化方案，由天府商務區、金華寺東路、省骨科醫院、雙店路等在內的9 個節點和8 條連邊組成，總花費452.197 億元。相較于原始網絡，初始網絡彈性和累計-蓄意失效下的網絡彈性分別增加23.07%、11.26%，改善了成都都市圈軌道交通的銜接狀況，提高了網絡的運作效率和運作安全性，優化后的網絡如圖12所示。

圖12 成都都市圈軌道交通優化網絡Fig.12 The optimized network of rail transit in Chengdu metropolitan area

3 結束語

本文構建了一個同時考慮運行能力和運作效率的彈性評估體系和基于后向加邊算法與現實約束的彈性優化模型，以成都都市圈的軌道交通網絡為例進行分析驗證。通過仿真研究發現，彈性指標對網絡性能變化敏感性較強，對其影響最大的關鍵節點是軌道交通系統中客流量最大、中轉換乘能力最強的一批站點，它們同時有較高的節點度和介數，一旦失效會對網絡彈性造成巨大破壞，需重點維系和保護。彈性優化中，軌道交通網絡最優節點集所含節點大多非中轉站點，樞紐地位不強，但集點成線將使網絡的延展性和彈性大幅增加，在考慮經濟效益的前提下可適當對這些節點進行增邊設計，實驗結果也證明了所提方法的有效性，這將為未來的軌道交通系統規劃布局提供重要的理論依據。

未來的研究中，考慮結合更多的系統外部因素，在問題模型方面引入更多現實約束條件，如：建設時間、交通限制、居民圈影響等，并設計精度更高、收斂速度更快的算法進行運算。