信息技術助力 豐富概念教學
——以“5.2函數(1)”為例

?浙江省象山縣大目灣實驗學校 王 偉

1 問題的提出

有些數學概念是抽象邏輯思維的產物，沒有客觀實在與之對應，往往由于教學手段的限制而令學生“望而卻步”.《義務教育數學課程標準(2022年版)》(以下簡稱《課標》)指出：利用信息技術豐富教學場景，利用數學軟件開展數學實驗，從而改進教學方式，促進學生學習方式轉變[1].如何將信息技術融入教學，改善學生的學習方式，促進學生對數學概念和數學問題的理解，提升學生的核心素養？筆者對此進行了積極的探索.下面以浙教版八年級上冊“5.2函數(1)”為例，談談筆者的實踐與思考.

2 教學過程

2.1 情境創設，經歷概念的產生過程

上節課我們學習了常量和變量，知道可以取不同數值的量叫做變量.那么，現實生活中的這些變量在變化過程中有什么關系呢？下面來探究一些實例.

實例1小慧的姐姐是一名大學生，暑假去某餐飲店打工，報酬是15元/h，設小慧的姐姐這個月工作的間為th，應得報酬為m元，填寫表1：

表1 報酬與工作時間關系

(1)在這個變化過程中，有幾個變量？分別是什么？誰隨著誰的變化而變化？

(2)給定一個t的值，我們可以得到幾個對應的m的值？t與m的數量關系是什么？

(1)在這個變化過程中，有幾個變量？分別是什么？誰隨著誰的變化而變化？

(2)給定一個v的值，可以算出幾個相應的s的值？

實例3按照如圖1的數值轉換器，試任意輸入一個x的值，根據y與x的數量關系求出相應y的值.

教師出示VB編程的數值轉換器,如圖2.

圖1

圖2

(1)在這個變化過程中，有幾個變量？分別是什么？誰隨著誰的變化而變化？

(2)任給一個x的值，可以得出幾個相應的y的值？

總結歸納：當變量t，v，x確定時，m，s，y分別隨之唯一確定.

設計意圖：函數本質屬性的揭示，應建立在大量的函數原型分析的基礎上.此環節創設了三個圍繞函數概念構成因素的代表性問題情境.學生通過觀察、識別、比較等認知行為提取出與概念相關的關鍵信息，再進行計算、分析、比較等思考后確定抽象的對象是變量之間的關系，對函數的本質屬性有了初步理解.信息技術亮點是在VB編程的數值轉換器的計算活動中，使學生直觀地感知到函數的本質屬性，激發學生的學習興趣和探究欲望.教師適時給出VB編程的數值轉換器的代碼，并揭示其本質是關系式y=2x-1，讓學生接觸到信息的核心內容“編程語言”，以培養學生對信息技術的興趣，反過來學生也會體會到信息技術的發展離不開數學知識.

2.2 問題引導，經歷概念的抽象過程

根據上述分析，進行歸納概括.

問題1拋開實際背景，上述三個情境中的變量和變量關系都有哪些共同特征？

問題2這些特征是否適用于一般的同類型的變量關系？

教師在聆聽學生觀點的基礎上對它們的共同特征進行總結性講解：每組關系都涉及兩個變量；對于其中一個變量的每一個確定的值，另一個變量都有唯一確定的值與之對應.這樣的變量關系在數學上稱為函數(揭示課題).

問題3嘗試用文字語言給函數下定義.

定義精致化后得到：一般地，在某個變化過程中，設有兩個變量x，y，如果對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與之對應，那么y就是x的函數，x叫做自變量.

設計意圖：在明確研究的對象是變量關系時，學生通過比較、歸納、概括等復雜思考提取共性(變量的規律及變量之間的關系)后建立清晰的函數概念表象，感受到了更高層次的數學抽象，積累了抽象概括的活動經驗.在用數學語言對函數概念加以表征時，八年級的學生還缺乏相關的經驗和能力，此時需教師加以引導.

2.3 交流辨析，內化理解概念

活動1：下列關系式中，y是不是x的函數？為什么？①y=x；②y=x2；③y2=x.

活動2：再舉一個函數的實例.(小組合作)

教師舉例：如圖3所示是某城市12個月平均最高氣溫變化圖.

圖3

(1)T是關于m的函數嗎？為什么？

(2)該城市4月的平均最高氣溫大約是多少？12月呢？

圖4

設計意圖：活動1借助希沃白板的課堂活動分組競爭的比賽(如圖4)，學生完成了對關系式是不是函數的辨別.用游戲的方式調動了學生學習的興趣和參與的主動性.①②是正例，③是反例，讓學生明確概念的外延.追問為什么，進一步加深學生對函數的理解.活動2則是通過學生舉例，體會函數是刻畫現實世界中變量關系的重要的工具，促進學生對概念外延的進一步理解.教師舉例，某城市12個月平均最高氣溫變化圖讓學生產生認知沖突(學生之前一般只具有表格、等式表示函數的經驗)，進一步拓展了概念的外延，并為學生了解圖象法做好鋪墊.

2.4 合作探究，感悟概念的衍生過程

問題探究：觀察前面的例子，你認為函數可以用哪些形式來表示？

歸納總結得到：列表法、解析法、圖象法.

我們把自變量x取一個確定的值，對應的y的值稱為函數值.從上面的分析，你能告訴大家，對于用不同方法表示的函數，如何求函數值？

歸納總結得到：查表、代入、作圖.

設計意圖：回顧實例，學生在探究活動中感悟到歸納思想，提煉出函數的三種表示方法，即列表法、解析法、圖象法.學生參與從一般的函數值定義到三種不同表示方法的函數值求法的活動，再次體會函數自變量與因變量“單值對應”的關系，突出函數的本質屬性.

2.5 典例分析，掌握概念的應用方法

研究函數中兩個變量之間的關系，掌握它們的變化規律，有利于人們解決日常生活中的實際問題.

例1國內投遞快遞需收取快遞費，快遞費價格包括首重價格和續重價格，其中續重價格和質量關系如表2.

表2 快遞續重價格與質量關系

(1)y是x的函數嗎？為什么？

(2)分別求當x=400，1 200，1 500，2 300時相應的函數值.

(3)若續重價格為4元，能確定此快遞續重質量嗎？

例2如圖5所示是小明放學回家的折線圖，其中t表示時間(單位：min)，s表示離開學校的路程(單位：m).請根據圖象回答下面的問題：

(1)這個函數反映了哪兩個變量之間的關系？

(2)求當t=2時的函數值，并說明它的實際意義.

(3)小明回家途中有沒有停留？停留了多長時間？

圖5

圖6

設計意圖：學生在快遞運費、路程兩個具有代表性問題的解決中，經歷概念的“具體—一般—具體”的過程，形成利用函數的觀點認識現實世界的意識，體會蘊含在應用過程中的函數思想和方法.快遞運費問題改編自課本平信郵資問題，更符合學生的生活經驗.信息技術的亮點是借助希沃白板的功能，手機拍攝學生解題過程并將其迅速上傳到屏幕，便于學生觀看、互評，起到及時反饋的作用.計時器(圖6)提高學生的注意力，培養學生時間管理能力，增強解題效果.

2.6 梳理提煉，歸納概念的學習套路

本節課大家學到了函數的哪些知識？

師生交流后梳理出本節課的知識框圖(圖7).

圖7

設計意圖：在教師的引導下，學生通過梳理、交流，重組相關知識點，厘清函數的來龍去脈，將函數扎實地納入已有的認知結構中，完善了知識體系.知識框圖揭示了概念學習的基本套路，即概念抽象、概念辨析、概念應用、下位概念.掌握概念學習的基本套路，有助于學生進行自主學習和研究，提高學生的數學素養.

3 教學思考

3.1 遵循規律，形成函數概念

概念教學的一般思路：問題引入—抽象概念—概念辨析—概念應用—概念梳理[2].從教學過程看，筆者緊緊圍繞函數概念展開建構，從變量關系的視角出發探究實例，注重啟發學生歸納提煉其中蘊含的共同特征，再逐步抽象出概念，形成初步的抽象能力；通過正反例、學生舉例、教師舉例進行概念辨析；通過概念衍生，獲得函數的三種表示方式及函數值的意義；通過概念應用，初步形成模型觀念；通過概念梳理，形成結構化的數學知識體系；學生在學習過程中自然積累概念學習的經驗.

3.2 技術助力，改善學習方式

《課標》指出：注重信息技術與教學的融合，改進教學方式，促進學生學習方式轉變[1].在教學活動中，創設多個融入信息技術的學習活動.如數值轉換器問題，學生通過程序，直觀地感受到任意輸入一個數，由關系式得到一個對應的數；借助希沃白板的拖動功能得到函數的完整定義；以游戲PK賽的形式完成關系式是不是函數的辨別；學生在操作中理解函數的定義.在知識應用環節，借助手機拍照，將學生解題過程迅速上傳到屏幕，為學生自主學習提供更快捷的平臺.上述活動，使學生感受到多媒體技術的創新，調動了學生學習的興趣，提高了學生參與的主動性，最終為數學學習形式帶來新的氣象和新的內涵.

3.3 設置問題鏈，培養抽象思維

史寧中教授認為抽象有兩個層次，一是從感性具體到理性具體，二是符號化，這既要求學生能將現實的問題數學化，又要求學生能從提取到的數學要素中發現數學關系、概念、命題等.筆者首先創設了三個圍繞函數概念構成因素的代表性問題情境并設置類似的問題鏈，(1)在這個變化的過程中，有幾個變量？分別是什么？誰隨著誰的變化而變化？(2)給定一個變量的值，我們可以得到幾個對應的變量的值？(3)一個變量確定，另一變量是否隨之唯一確定？接著在此基礎上再提問，(4)拋開實際背景，上述三個情境中的變量和變量關系都有哪些共同特征？這些特征是否適用于一般的同類的變量關系？問題(1)從實際問題中抽象出數學問題“變量及變量之間的變化規律”.問題(2)和問題(3)通過對變量的分析建立了兩個變量之間的依賴關系.問題(4)通過對不同背景之間的變量關系進行比較、抽象出函數概念的本質屬性.在這一過程中學生經歷了函數概念螺旋式上升的抽象過程，不僅促進其思維由直覺思維向抽象思維轉變，而且提升了其數學抽象思維的層次.