平面狀態對疲勞裂紋數值擴展的影響研究

徐康賓，楊亞莉

（201620 上海市 上海工程技術大學 機械與汽車工程學院）

0 引言

工程構件在生產、安裝、使用過程中難免會受到擠壓、劃傷等，造成表面損傷，在循環荷載作用下，這些表面損傷將演變為表面裂紋，最終引發斷裂，從而導致構件失效。因此，研究表面裂紋的擴展機理具有很大的經濟價值和現實意義[1-4]。

在表面裂紋擴展研究中，數值方法由于低成本、高精度受到廣泛應用。Newman[5]、Song[6]和Liu[7]提出了裂紋前緣形狀為橢圓、表面點和深度點獨立擴展的假設。Lin 和Smith[8]提出了一種沿裂紋前沿9 個點預測形狀變化的技術。Toribio[9-10]等認為裂紋前沿為橢圓，將橢圓分為14 個部分，采用最小二乘法確定裂紋前沿的形狀。

上述學者對疲勞裂紋數值擴展的研究中都把擴展點狀態統一看作平面應變狀態，沒有考慮到最外側的擴展點其實是應力狀態的情況。

因此，本文首先基于平面內任意位置的平面狀態是平面應力狀態與平面應變狀態的組合狀態的假設，用權重系數來表示平面應變狀態在該位置所占的比重，并將權重系數用于平面內任意位置的應力強度因子表達式；提出了相對深度系數的概念，并假設了3 種權重系數與相對深度系數的關系；最后，基于這3 種關系進行疲勞裂紋數值擴展，利用數值結果處理方法得到3 種關系下的數值結果精度，并與其他文獻進行了對比。

1 J 積分計算

首先在ABAQUS 軟件中計算出所有積分點的J積分，步驟如下：

（1）在Part 模塊中建立圓柱體模型，圓柱體直徑為12，長度為90；

（2）在Property 模塊中賦予部件材料屬性，彈性模量為206 000，泊松比為0.33；

（3）在Assembly 模塊中建立裝配體，裝配方式選擇獨立裝配；

（4）在Step 模塊中建立分析步，類型為靜態通用類型；

（5）在Part 模塊中進行圓柱體分割并在分割面上繪制裂紋線。利用圓柱體中截面將圓柱體一分為二，根據相應的參數完成在中截面上繪制橢圓弧；

（6）在Interaction 模塊中創建裂紋。先在中截面上指派裂紋區域，然后再創建裂紋，創建裂紋類型為環線積分；

（7）在Step 模塊中修改歷史輸出。在歷史輸出中選擇裂紋，輸出類型為J 積分，積分次數為10；

（8）在Load 模塊中施加載荷與約束。在圓柱體一端施加全固定約束，另一端施加100 MPa 拉力；

（9）在Mesh 模塊中進行網格劃分，設置裂紋線上的種子數為80，從而可在裂紋上得到81 個積分點，然后調整其它部分的種子數，以便完全產生六面體網格；

（10）在Job 模塊提交計算，計算完成后在工作目錄里會有dat 和inp 文件。

用記事本打開inp 文件，可查找到81 個積分點的節點編號和坐標，用記事本打開dat 文件進行查找，可得81 個積分點的J 積分。

對于某一個擴展點，首先找出與其最接近的2 個積分點p1和p2，然后計算擴展點到積分點的距離L1和L2。

式中：xp，yp——擴展點p 的坐標；xp1，yp1——積分點p1的坐標，xp2，yp2——積分點p2的坐標。

最后，根據距離求出擴展點p 的J 積分值Jp。

式中：Jp1——積分點p1的J 積分值；Jp2——積分點p2的J 積分值。

3 應力強度因子的計算

當得到某到擴展點對應的J 積分后，即可求出該擴展點的應力強度因子，計算公式為：

考慮到擴展面上的任意一個擴展點大都不是完全的平面應力狀態或平面應變狀態，而是兩種平面狀態的混合體，不同的是2 種狀態所占的比重不同，基于這個假設，本文提出了一個新的應力強度因子計算公式，其表達式為：

式中：μ——平面應變狀態所占的權重系數。

另外，對于每一個擴展點，其坐標 假設為（x0，y0），提出了一個擴展點相對深度λ的概念，λ的意義為到圓柱體表面的相對距離，λ越大表明擴展點距離圓柱體表面越遠。其定義公式為：

式中：Xc，Yc——圓心的橫坐標與縱坐標；D——圓柱體直徑。

顯然，當λ=0 時，擴展點位于圓柱體表面，則k 應當為kstress，也即說權重系數μ應當為0。當λ=1 時，擴展點位于圓柱體中心，則k 應當為kstrain，也即說權重系數μ應當為1。

基于上述關系，不妨假設μ與λ存在以下幾種關系：

又由于當λ分別為0 和1 時，μ也分別為0 和1，因此可以求解出μ與λ的具體關系式：

聯立式（4）、式（5）、式（8），可以得到應力強度因子的表達式為：

3 裂紋擴展方法

首先確定第i 條裂紋擴展到第i+1條裂紋的步驟。

（1）給出第i 條裂紋的坐標方程，如式（10）所示。其中和都是已知的。

（2）確定在第i 條裂紋上的5 個擴展點（x（i，j），y（i，j））。

（3）給出第i+1 條裂紋的坐標方程，如式（11）所示。其中給定，為任意值。

（4）在2 條裂紋之間創建擴展圓。由于這些圓與前后2 條裂紋相切，且切點為擴展點，從而可以確定第i+1 條裂紋上的擴展點（x（i+1，j），y（i+1，j））。

（5）依據公式（12）計算每個擴展點對應的等效應力強度因子Δkej。

式中：k（i，j）——第i+1 條裂紋上第j 擴展點的應力強度因子；k（i+1，j）——第i+1 條裂紋上第j 個擴展點的應力強度因子；j——擴展點編號，j=1，2，…，5。

（6）給定第1 個擴展點的擴展量，從而根據式（13）確定其他擴展點的擴展量。

式中：ΔL1——第1 個擴展點的擴展量；Δke1——第1 個擴展點對應的等效應力強度因子。

（7）根據擴展點沿著垂直于第i 條裂紋前進ΔLj/2 可得擴展圓心的坐標（x（c,j），y（c,j））。

（8）根據式（14）計算擴展圓心與第i+1 條裂紋上的擴展點的距離：

（9）根據式（15）計算當前參數下第i+1 條裂紋的誤差：

當i=1 時，裂紋為初始裂紋，是已知的，從而可以得到第2 條裂紋，以此類推，可得到所有裂紋。

4 數值結果處理

由于有3 組裂紋擴展的數值結果，因此需要計算每一組數值結果的預測精度。方法是先將每一組數值結果與實驗結果的誤差進行量化，之后取其倒數作為每組數值結果的預測精度。其中，實驗結果來源于文獻[11]。

4.1 實驗結果的處理

圖1 是用Origin 軟件擬合實驗數據后的結果圖，圖1 中的擬合結果如表1 所示。則實驗數據擬合曲線的方程為

圖1 實驗結果擬合圖Fig.1 Fitting diagram of experimental results

表1 實驗數據擬合結果Tab.1 Experimental data fitting results

4.2 仿真結果與實驗結果的誤差計算

將實驗數據擬合后，實驗結果可以用一條曲線代替。而數值結果也能用一條曲線表示，因此可以將數值結果與實驗結果的誤差用兩條曲線的誤差代替，示意圖如圖2 所示，具體步驟如下：

圖2 曲線誤差示意圖Fig.2 Schematic diagram of curve error

（1）將數值結果中的n 個數據點連接起來。

（2）在實驗擬合曲線中取出n 個數據點，保證兩條曲線中的n 個數據點的相對裂紋深度相同。

（3）計算兩條曲線中n 個數據點的相對裂紋弦長差Δyi。

（4）計算兩條曲線的誤差。

5 結果與討論

表2、表3 和表4 分別是3 種關系下的裂紋擴展數值結果。表5 是Yang 等[12]基于擴展點為平面應變狀態得到的數值擴展結果。將上述4 組數值結果處理后可得到相應的數值結果誤差，如表6 所示。

表2 線性關系下的裂紋擴展數值結果Tab.2 Numerical results of crack propagation under linear relationship

表3 指數關系下的裂紋擴展數值結果Tab.3 Numerical results of crack growth under exponential relationship

表4 二次函數關系下的裂紋擴展數值結果Tab.4 Numerical results of crack propagation under quadratic function relation

表5 Yang 等人的裂紋擴展數值誤差Tab.5 Numerical error of crack propagation by Yang,et al

表6 各組數值結果精度Tab.6 Precision of numerical results for each group

從表6 可以看出，基于本文提出的3 種關系而得到的數值結果精度明顯高于Yang 等人的數值結果精度。在本文的3 組數值結果精度中，基于二次函數關系而得到的數值結果精度最高，基于指數函數關系而得到的數值結果次之，基于指數函數關系而得到的數值結果最低。

結果表明，相對于把擴展點的平面狀態看作是平面應變狀態，把它看作是平面應變狀態與平面應力狀態的組合狀態更能提高數值擴展的精度。而在3 種關系對應的組合狀態中，二次函數關系是最能提高數值擴展精度的關系。

6 結論

本文研究了平面狀態對疲勞裂紋數值擴展的影響。具體的結論如下：

（1）利用ABAQUS 軟件求解了所有積分點的J 積分，并根據擴展點到積分點的距離求出擴展點的J 積分值；

（2）基于平面狀態是平面應力狀態和平面應變狀態的組合狀態的假設，利用權重系數代表平面應變狀態所占的比重，并將其用于應力強度因子的表達式，然后，提出了相對深度系數的概念，并假設，權重系數與相對深度系數分別呈線性、指數和二次函數關系；

（3）基于權重函數與相對裂紋深度的3 種關系，通過裂紋擴展方法進行數值擴展，得到3 種關系下的疲勞裂紋數值結果。利用本文中提出的數值結果處理方法得到3 種關系下的數值結果精度；

（4）通過對數值結果的分析表明，將平面狀態看作是平面應力狀態與平面應變狀態有助于提高數值擴展的精度，并且當權重系數與相對深度系數的關系為二次函數時數值擴展精度最高。