基于保角變換的內置式永磁同步電機磁場解析計算*

劉興剛，于慎波，竇汝桐，翟鳳晨

（沈陽工業大學機械工程學院，沈陽 110870）

0 引言

永磁同步電機由于具有結構簡單、運行可靠、功率密度高的特點[1]，因此被廣泛應用于電動汽車、船舶等工業領域。內置式永磁電機與表貼式永磁電機相比優點是：永磁體位于轉子內部，可以對永磁體起到很好的保護作用，其d軸和q軸的電抗不等，產生的磁阻轉矩使永磁電動的輸出能力得到提高[2]。

由于電磁場解析方法能夠較好地揭示物理變化規律，這是其他方法所不能替代的[3]，在電磁場理論發展中具有重要地位。常用的解析法分為等效磁網絡法、基于矢量磁位的精確子域法與保角映射法等。等效磁網絡法能夠考慮氣隙磁場中的各種漏磁磁阻，但模型搭建較為繁瑣，計算量較大[4]。而基于矢量磁位的精確子域法，可以直接考慮定子槽對氣隙磁場的影響，但隨著邊界條件的增加，求解變得較為困難[5]。保角變換是一種將復雜形狀的多邊形區域轉換到規范面域的方法，從而將具有復雜邊界條件的電磁場問題變得簡單化，使用較為方便，故采用此種方法對內置永磁電機磁場進行解析計算。

一字型永磁體結構產生的徑向磁密波形為矩形波[6]，氣隙磁通密度諧波含量較大。因此，本文以一臺8 極48槽永磁同步電機為例，通過對二維磁場的分析計算，采用粒子群優化算法對永磁體參數進行優化，以諧波畸變率為目標函數對電機進行優化，優化后電機齒槽轉矩減小，為以后優化永磁同步電機噪聲提供一定參考價值。

1 解析模型

1.1 內置永磁電機磁場

圖1所示為8 極48 槽內置式永磁同步電機結構示意圖，永磁體充磁方式為平行充磁。為了便于氣隙磁場數值解析計算，需要對電機模型做出以下假設：（1）不考慮飽和效應（磁肋區除外）；（2）定子槽簡化為矩形形狀；（3）氣隙中的磁場分布由永磁鐵產生的磁場與相對磁導率的乘積共同確定的；（4）永磁體產生的磁場是通過定子表面光滑的泊松方程二維解中獲得的，即忽略定子開槽的影響。

圖1 內置永磁同步電機模型

在內置式永磁同步電機模型中，由于磁通通過轉子鐵心，使得磁通沿徑向進入氣隙場，而漏磁存在于磁阻區和磁肋區，如圖2所示。漏磁效應被認為會降低永磁體的剩余磁通密度，磁化面積是恒定的[7]。

圖2 內置永磁同步電機磁阻區域

如圖3所示，考慮邊緣效應和漏磁效應的磁化強度M，由傅里葉級數展開表示如下：

圖3 內置永磁同步電機磁化分布

式中：Br為永磁體剩余磁通密度，假設磁路中的磁通密度完全飽和為Bs，是通過轉子鐵心的B-H 曲線中獲得的，可知等于2.0 T。

等效磁化計算系數由下式給出：

式中：φr=Br?S；φl=Bs?L?y；φr為通過永磁體的磁通量；φl為磁肋區域的漏磁通；S為永磁體面積。

磁場由等效磁化獲得，氣隙中磁通密度的徑向分量由文獻[7-8]中泊松方程獲得。氣隙通量密度分布如下：

1.2 相對磁導率

對于內置永磁電機的磁場分析，應考慮轉子凸極效應。由于內置電機轉子中存在磁通屏障，沿轉子圓周的磁通量會發生變化，因此應根據幾何氣隙函數確定和修改有效氣隙長度（氣隙函數）。為了考慮這種影響，通過引入轉子凸極效應的相對磁導并乘以定子開槽電機的徑向磁通密度計算電機磁場分布。

根據假設，氣隙內的磁通密度分布表示為磁通量密度與相應相對磁導率的乘積。本文提出的分析方法的相對磁導率函數定義如下：

考慮定子開槽和轉子凸極對氣隙磁場的影響分別被定義為λrotor-saliency和λstator-slots，在本文采用保角變換的方法去考慮這倆個系數。保角變化法是將在平面內形狀不規則的幾何圖形通過引入新的函數關系轉換到另一個新的平面，使得轉換后的幾何圖形在新平面上是規則，進而方便計算。如果假設原始電機配置放置在一個復雜的平面Z上，由振幅部分和角度部分組成。這個表達式滿足柯西-黎曼方程，然后通過保形變換函數z=f(w)，將其轉換到新的平面W：

因此，在Z平面上的任意點坐標（x，y）通過公式轉換成在W平面內點（u，v），其直角坐標分別由以下保角變換方程定義：

函數f(z) 在區間范圍內是連續的，所以：

根據這個轉換函數，原來在Z平面中1∕16 的轉子區域被變換為W平面，圖4所示為變換前的映射區域。通過使用對數函數，將原始z平面（圖4）中提到的內置電機轉子區域的1∕16 映射到w平面，如圖5所示。原始區域和映射區域中每個區域的字母相同。

圖4 電機轉子在z平面

圖5 電機轉子在w平面

根據圖4可知，曲線AD(C1)保角變換轉化為直線A＇D＇(L1)，通過以下參數表示：

線段BC(C2)通過參數轉化為曲線B＇C＇(L2)：

按照上述獲得原始直線和曲線的變換曲線的過程，可以擴展作為變換定義域的段線AB、CD、CF、DE和EF，并使用上述映射，變換域的圖像，其邊界包括線段線、半線和曲線，如圖4～5 所示。對于每個區間v軸，u軸方向上曲線的總氣隙長度定義為：

因此，根據上述電機不同內轉子拓撲結構的曲線表示，氣隙函數定義為：

電機的氣隙函數變化被確定并如圖6所示。

圖6 氣隙函數

在這里，新的氣隙相對磁導函數，包括轉子凸極的影響，忽略磁飽和漏磁通，大約等于：

氣隙的相對磁導函數由式（25）計算，如圖7所示。

圖7 轉子凸極相對磁導函數

1.3 定子開槽的影響

當對定子進行開槽時，磁通從氣隙到定子鐵心，氣隙形狀會發生變化，相對應的磁導率也會發生變化，進而對氣隙中的徑向磁通密度分布有很大的影響，并進一步影響了輸出性能。在電機槽口范圍內，氣隙的形狀發生變化進而相對磁導率小于1，而在定子齒中心線附近的一定范圍內，氣隙形狀沒有改變，相對磁導率為1 保持不變。采用保角變換法對定子開槽后的氣隙相對磁導率進行解析。由于此電機模型定子齒槽比較多，只能將定子槽假設為無限深。并根據文獻[9-10]使復平面Z內的氣隙區域圖形轉變成W平面的圖形，緊接著再通過函數變換，得到T平面所示的圖形。即圖8～9 所示，實現定子開槽效應。

圖8 開槽效應的相對磁導率

2 磁場分布及有限元驗證

為了驗證解析方法的正確性，采用有限元軟件對電機模型進行了仿真分析，并將解析計算和有限元仿真的結果進行了對比。以一臺內置永磁同步電機為例，電機主要結構參數如表1所示。

表1 內置電機結構參數

通過解析法與有限元分析法得到的空載氣隙磁通密度徑向分量波形對比如圖10所示，此方法與有限元方法獲得波形幾乎相似。通過對其進行傅里葉分解，對應的諧波頻譜如圖11所示。解析法得出的圖形比有限元方法略高，這是由于在解析過程中忽略了磁飽和效應和磁場邊界條件導致的。

圖9 平面變換

圖10 氣隙磁通密度分布對比

圖11 氣隙磁通密度諧波含量對比

3 粒子群算法尋優

粒子群優化算法源于對鳥群捕食的行為研究，粒子群優化算法（Particle Swarm OPtimization，PSO）是由Kennedy 和Eberhart 博士于1995 提出的優化算法。其實質是一種智能化隨機搜索算法，模擬鳥群覓食過程中的遷徙和群集行為。假設一群鳥在一片區域隨機尋找食物，鳥群中的每只鳥在初始狀態下是處于隨機的位置且各個方向隨機飛行但它們可以通過捕食經驗和同伴發現獲得相應的信息，進而調整飛行位置和搜索策略。即每個粒子通過統計迭代過程中自身的最優值和群體的最優值來不斷修正自己的前進方向和速度大小，從而形成群體尋優的正反饋機制。PSO 同遺傳算法類似，是一種基于迭代的優化算法。系統初始化為一組隨機解，通過迭代搜尋最優值。一經提出粒子群算法在函數優化、信號處理、機器人技術等領域得到了成功應用。粒子群優化算法不僅收斂速度快，且其程序實現簡單需要調整的參數少實現容易[11]。內置式永磁同步電機，由于其結構特性，空載氣隙磁密波形為矩形。為了使永磁電機氣隙磁密波形具有良好的正弦性，采用粒子群優化算法以諧波畸變率為目標函數，并用k表示，對永磁體長度和寬度進行優化分析。因此新的結構尺寸應該是單目標、多變量、有約束的幾何形狀。其優化數學模型為：

式中：B1為氣隙磁密基波幅值；Bn為第n次氣隙磁密諧波幅值。

分別對優化前后的永磁電機進行有限元分析，優化前后參數對比如表2所示，優化前后齒槽轉矩波形對比如圖12所示，優化后齒槽轉矩降低了19.8%。

表2 優化前后參數對比

圖12 優化前后齒槽轉矩對比

4 結束語

永磁同步電機的氣隙磁場解析計算對于電機參數優化具有重要的意義。本文采用保角變換的方法對內置式永磁電機的磁場進行了計算，為了便于解析建模，對電機磁場的邊界條件進行簡化，將解析結果與有限元結果對比可以得出如下結論。

（1）采用保角變換法能夠有效地對內置式永磁同步電機空載氣隙磁場進行解析計算，其計算結果與有限元計算結果吻合很好，為電磁性能優化提供了參考，為接下來永磁同步電機優化提供依據。

（2）對磁場進行傅里葉分解，計算諧波畸變率，采用粒子群優化算法對電機諧波畸變率進行了優化，以永磁體參數作為優化變量，確定了最優永磁體結構尺寸，并通過有限元分析發現，新的結構尺寸可以有效減小永磁電機齒槽轉矩，減少了19.8%。