蜂窩板有限元等效建模方法研究*

周俊杰，陳騰飛，蔡海生

（廣東利元亨智能裝備股份有限公司，廣東惠州 516057）

0 引言

蜂窩板源自仿生學，其結構質量小、強度高，受到沖擊載荷時胞壁結構發生彈塑性變形，同時吸收沖擊能量，具有極其優異的力學性能，因而廣泛應用于航空航天、軌道交通等領域，并逐步在工業自動化領域得到更多的應用[1-4]。由于蜂窩板的結構較為復雜，涉及到壁長、壁厚、壁高等不同參數組合，設計階段必須嚴格校核蜂窩板的強度。蜂窩板一般由上下面板和中間的芯層組成，面板與芯層之間采用黏結劑連接[5]，如圖1所示。工業領域的蜂窩板，其面板與芯層的材料通常為鋁合金。

圖1 蜂窩板結構示意圖

等效剛度是蜂窩板研究中的熱點。研究蜂窩板的等效剛度主要可分為兩種方法，即解析法和數值法。解析法的顯著特點是公式清晰直觀，但推導中往往需要引入一定假設，造成一定的精度損失，計算較為復雜，因而適用范圍受限，不太適合工程化應用[6]。解析法相關研究較多，一般采用經典層合板理論對蜂窩板進行簡化計算。數值法包括漸進均勻化方法、代表體元法、變分漸進法和直接平均法等，其中前兩種為常用方法。漸進均勻化方法具備嚴格的數學基礎，需要求解定義于單胞上的偏微分方程組。這種方法的數值實現難度較大。而代表體元法（RVE）是從周期性結構中取出單胞作為研究對象。通過對單胞施加單位位移或力邊界條件，求解應變能并建立等效的均勻材料實體[4,7]。這種方法雖然不是基于嚴格的數學理論，但勝在力學概念清晰，易于操作，因而大量應用于周期性結構材料彈性性質的預測當中。

隨著計算機科學的迅速發展，有限元法也越來越多地參與到蜂窩板研究當中。有限元法主要分為全實體建模法和等效板建模法。前者需要將蜂窩結構按實體進行建模。一旦面對較為復雜的機械結構，往往需要耗費巨大的計算資源和時間，甚至造成求解過程出錯而無法仿真。因而難以推廣全實體建模法。等效建模法則更為實用，其特點是采用解析法或數值法求解，將蜂窩板等效為一塊連續的各項同性的板件[8-10]。得益于計算機運算能力的飛速發展，等效建模法與有限元技術相結合，在蜂窩結構的材料性能計算與預測領域相得益彰。本文采用RVE 法進行蜂窩板結構的有限元等效建模，無需復雜的公式推導，僅基于商業有限元仿真軟件進行插件開發，實現周期性結構的快速等效建模。進而采用實驗設計，針對特定的應用場景，用等效結構實現多組蜂窩板的變形仿真，確定最優組合，科學而高效地完成蜂窩結構的選型設計工作。

1 蜂窩板的等效建模

蜂窩板芯層的單胞如圖2所示，主要參數包括壁長、壁高、壁厚等參數。需要注意的是，單胞是組成周期性結構的最小單位。整體結構可看作由單胞沿著陣列方向復制組成。因此，該單胞包含一個正六邊形壁面、兩個橫向的半壁。壁面結構與相鄰的單胞共享六條邊，因此單胞的六條邊厚度取實際壁厚的一半，而兩個半壁的壁厚為真實蜂窩的壁厚。

圖2 蜂窩芯層單胞結構示意圖

狄利克雷邊界條件有如下假設，即：

式中：ui為目標場（例如位移場、溫度場等）；xj為單胞的坐標；為單胞上的平均局部梯度；為方向向量，從當前單胞的點指向相鄰晶胞的點。

常見的蜂窩板芯層有3 個方向向量，分別對應正六邊形的3組對邊，如圖3所示。從圖中可以發現，任選一個單胞，將其沿著3 個方向向量的方向陣列，即可得到整塊的蜂窩芯層結構。

圖3 蜂窩芯層單胞的方向向量

為了驗證等效結構的可行性，需要完整的有限元模型作為對照。完整蜂窩板的有限元模型如圖4所示。采用實際尺寸1∶1 建模，層板和芯層采用綁定連接。該蜂窩板的上面板需要承載一個較大的載荷，下面板固定在支撐結構上。蜂窩板內部均勻布置了牙套，安裝于牙套中的螺釘將蜂窩板與支撐結構固連起來。蜂窩板下面板上另外均勻布置了氣浮腳，為蜂窩板的遠端提供支撐，減小由于重力和外載荷而產生的變形。

圖4 蜂窩板的完整有限元模型

對單胞施加單位位移邊界條件，令其應變能和一個均勻材料的應變能等效，從而求出等效性質[4]。采用二次開發的周期性結構等效插件，進行等效均勻材料的求解。輸入條件是單胞的結構尺寸參數和材料屬性。原始材料與求解得到的等效材料的屬性對比如表1所示，完整模型的材料為6061鋁合金。

表1 蜂窩板完整模型和等效模型的材料屬性對比

隨后，分別對完整模型和等效模型施加載荷，蜂窩板上面板施加2 000 N的面載荷，下面板安裝螺釘的位置設置Fix 約束，氣浮腳支撐位置設置豎直方向Fix 約束，如圖5所示。分別選用通用靜態分析步和模態分析步進行仿真。兩種模型的靜態位移云圖如圖6所示。兩種模型的前3階模態云圖如圖7所示，詳細數據對比如表2所示。從完整結構的靜態分析結果來看，蜂窩板的最大變形出現在缺乏Fix 支撐的部位。且由于結構對稱，總體的變形呈對稱分布。等效結構的變形分布也呈現出同樣的特點。僅有的區別是，等效結構為均勻材料，變形的連續性更好，缺乏一些細微特征的變形信息。但總體來看，分布趨勢與完整結構保持一致，主要區域的變形量與完整結構極為接近，最大靜態變形的相對誤差僅為2%。兩種結構的前3 階模態振型相似，位移的分布較為一致，而前3 階固有頻率的相對誤差小于1.8%。從工程應用的角度而言，采用等效結構即可滿足大多數場合的精度要求，但帶來的好處是極大降低網格數量，大幅度提高計算效率，降低計算報錯的概率，尤其適用于含蜂窩結構的復雜機械結構的仿真。

圖6 完整結構和等效結構的靜態位移云圖

表2 完整結構和等效結構的仿真結果對比

2 基于蜂窩板等效模型的實驗設計

實驗設計（Design of Experiment）簡寫為DOE，其根本方法是正交設計，是研究與處理多因子實驗的一種科學方法[11]。DOE 的核心目標是合理安排實驗方案，減少實驗次數的同時，確保因子分布均勻、分散，保證計算精度。DOE 廣泛應用于因子的篩選、因子水平搭配及實驗優化等[12-13]。常用的DOE 方法包括部分因子DOE、全因子DOE和響應曲面DOE。部分因子和全因子DOE不考慮因子的交互效應，適合用來做關鍵因子的篩選，尤其是部分因子DOE。而響應曲面DOE 可評估交互效應的影響，且含有平方項。但響應曲面需要的實驗組合很多，實驗成本很高。實際操作中的一般做法是用部分因子DOE 去除不顯著因子，剩下少量關鍵因子，再采用全因子DOE或響應曲面DOE進行第二輪實驗，以得到更準確的實驗結果。采用有限元與DOE 相結合的方式，將實物實驗替換為仿真模擬，降低實驗成本，并大幅度提升多因子結構的設計能力和效率[14]。

上文成功將復雜的蜂窩結構簡化為各項同性的等效材料并驗證了等效結構的可靠性。因此，變更蜂窩材料的參數后，迅速重新計算其等效結構，并以等效結構施加邊界條件和載荷，并快速求解。正是由于等效結構的出現，使得含蜂窩板的復雜結構的仿真DOE 成為可能。經過充分調研和魚骨圖分析，確定3 個因子作為DOE 的輸入[15]。由于因子數不多，故跳過部分因子和全因子實驗設計，直接采用響應曲面設計，因子水平如表3所示。因子水平的設置均考慮到實際工況，易于安裝維護，兼顧強度和質量。

表3 3個因子的水平設置

采用專用軟件生成響應曲面DOE 的實驗方案。每一個因子組合均需要比照圖2建立單胞，以RVE 法計算蜂窩芯層的等效結構。隨后以等效結構代替蜂窩芯層，建立工況有限元模型。施加載荷和邊界條件后進行求解，并輸出目標位置的變形量。響應曲面實驗結果如表4所示。

表4 蜂窩板響應曲面實驗結果

采用專業軟件對實驗結果進行顯著性分析，得到的Pareto 圖如圖8所示。Pareto 圖以t檢驗為基礎，將各效應的t值作為縱坐標，并根據顯著性水平計算臨界t值。絕對值大于臨界值的因子確定為顯著因子。該因子分析中，顯著性水平取0.05，采用后退法進行因子篩選。顯然3個因子對變形量的影響顯著，每個因子的平方項影響也顯著，且壁厚和壁長的交互效應對變形量的影響顯著。

圖8 響應曲面實驗的Pareto圖

根據因子分析的結果，剔除不顯著因子，并計算顯著因子的回歸方程為：

進而采用響應優化器，確定變形量最小的組合為：壁厚0.077 3 mm，壁長2 mm，鋁板厚4 mm 時，蜂窩板取得最小變形量0.018 5 mm。根據回歸方程，也可進行因子高低水平范圍內任意因子組合的結果預測，將三因子的數值代入回歸方程即可計算出變形量。

3 結束語

本文提出了一種蜂窩板有限元等效建模方法。以經典層合板理論為基礎，應用狄利克雷邊界條件，確定單胞方向向量，以有限元仿真為工具，拆分分析步，計算出蜂窩板的等效均勻各項同性模型。比較等效模型與完整模型仿真結果，靜態變形量的相對誤差僅有2%，前3階模態的相對誤差均不到1.8%。基于該建模方法，DOE和有限元仿真相結合，確定特定應用功能場景下蜂窩板結構的最優組合。該方法大幅度降低蜂窩板結構有限元模型的網格數量，大大提高求解效率，可廣泛應用于各種周期性結構的有限元建模，尤其是含有復雜周期性結構的機械系統建模。