車載永磁同步電機精確數學模型構建及仿真研究*

包西平，王 毅，張博洋，雷天元，吳繼軍

（徐州工業職業技術學院汽車工程學院，江蘇徐州 221140）

0 引言

由于環境污染的不斷加劇以及能源的日益短缺，新能源汽車已深入人們的視野，它驅動能源是電能，已經變成解決不斷枯竭資源危機和污染環境問題的重要途徑，而驅動電機及其控制技術則是新能源汽車動力系統的核心。從目前新能源汽車驅動電機技術發展趨勢來看，正弦波永磁同步電動機則是新能源汽車中常用的驅動電機。

正弦波永磁同步電機相較于異步電動機有著諸多優點，被大量應用在電機驅動控制系統中[1]，從目前新能源汽車驅動電機技術發展趨勢來看，隨著電力電子技術、大規模集成電路和計算機技術的快速發展，磁同步驅動電機將迎來一個更為快速發展的時期，朝著高功率密度、高轉矩密度、高可控性、高效率、高性能、高價格比等方向發展，以滿足新能源汽車不同應用場合的實際需求。

不同于一般的電力傳動系統，新能源汽車用的永磁同步電動機驅動系統性能要求更高，因此對于車載永磁同步電機控制的研究至關重要。

目前多數研究文獻在構建永磁電機模型時，簡化了分析過程，基本都忽略永磁電機的鐵損的影響，而在實際工況運行時，永磁電機的鐵損是客觀存在的，對電機的各種動靜態性能與整機工作效率有著較大的影響[2]，故用不考慮鐵損的傳統模型來對永磁電機進行研究，會導致結果產生較大的偏差。為了展現永磁電機實際運行的工況，本文構建了一種考慮永磁電機鐵損的永磁同步電機數學模型，可以較為準確地反應車載永磁電機的實際工況。并對此建立了PMSM的仿真模型進行驗證。

1 正弦波永磁同步電動機鐵損機理

永磁電機鐵損[3-5]（iron loss，也稱作core loss）是指因電機的永磁體受到變動磁場的影響，在鐵心中損耗的部分能量，損耗的能量會以熱的方式散失。鐵損可主要分為磁滯損（Hysteresis losses）、渦流損（Eddy-current losses）、異常損耗（Anomalous losses）。

1.1 磁滯損耗

當通過永磁體鐵芯的磁場改變時，永磁體鐵芯材料的磁化強度會變化，因為其磁疇壁的移動，造成其中微小磁疇的膨脹及收縮。不過永磁體磁疇壁在移動時，會受到晶體缺陷的影響而卡住，最后磁疇壁仍會移動，但是會產生熱能量損耗，即為磁滯損耗。磁滯損一般可以由材料的B-H 曲線中看出，B-H 圖為一封閉的曲線，磁場變化一個周期時，單位體積材料的磁滯損即為磁滯圈內的面積，若交流磁場大小不變，每一周期的能量損耗為定值，此時永磁體磁滯損耗和頻率成正比。為了降低磁滯損耗，必須選擇或改善磁性材料。不過，低損耗材料的價格較高。為了減小渦流損耗，應當提高材料的電阻（調整硅鋼片中的硅含量等），或者把電機的鐵心做成薄片層疊結構（層間做電氣絕緣處理），以減小渦流。美國Steinmetz 最先提出了計算鐵磁材料磁滯損耗的數學模型，其計算公式如下：

式中：Ph代表渦流損耗；kh代表磁滯損耗系數；Bm和f分別為磁密幅值與頻率。

式（1）用于計算永磁電機磁滯損耗時，Steinmetz 系數的取值通常為2。

1.2 渦流損耗

永磁體鐵心為一導體，因為電磁感應，磁場的變化會感應出在導體內循環的電流，稱之為渦電流。渦電流和磁場垂直。永磁體渦電流的能量會因為鐵心材料的電阻而發熱耗散，渦流損和電流循環面積的大小成正比，和永磁體的材料的電阻率。若永磁體鐵心是由薄的疊層組成，中間又采用有絕緣的涂層的情況下，可以減少永磁體的渦流損耗。調整永磁體鐵心材料也可以減少渦流損耗，一種是使用導磁但不導電的材料，例如鐵氧體，若使用加硅的電工鋼（矽鋼），鋼的電阻率明顯上升，也可以減少永磁體的渦流損耗。當永磁體處在交變磁場中時，根據電磁場的基本理論，可以求解出經典渦流損耗計算模型，其具體公式為：

式中：Pc為經典的渦流損耗；kc為經典渦流損耗系數；Bm和f分別代表磁密幅值與頻率。

1.3 異常損耗

一般文獻認為當鐵磁材料放置于交變的磁場中時，鐵磁材料放置于不斷變化的磁場中時，鐵磁材料的總損耗應等于磁滯與經典渦流損耗之和。但是大量的實驗卻表明經典渦流損耗與磁滯損耗之和的數值一直比實驗所測得數值小，因此學者便提出了異常渦流損耗的概念。異常損耗包括磁滯損及渦流損以外的損失，也可以描述成磁滯圈因為頻率而加大。異常損耗的物理機制包括移動磁疇壁時局部的渦流損耗，經過分析，當鐵磁材料被磁化時，磁疇會產生跳躍性的曲線運動，會在磁疇壁內生成很微小的渦流，也會造成能量消耗，這便是異常渦流損耗產生的原因。由于異常損耗產生的過程很復雜，難以用電磁學的理論推導出其計算公式，因此，學者從統計學的角度對其進行研究，得出的結論是鐵磁材料異常損耗與磁通密度和磁場變化的頻率呈非線性的關系。當鐵磁材料中磁密為正弦時，可以求解出異常損耗數學模型，其數學表達公式為：

式中：Pe為異常損耗；ke為異常損耗系數；Bm和f分別為實際磁密幅值和實際頻率。

2 考慮到鐵損的永磁同步電動機數學模型

根據鐵損產生的機理，將電機鐵損用一個等效的鐵損電阻來代替，來表征鐵心的磁滯損耗與渦流損耗、異常損耗，即在dq同步旋轉坐標系下，建立一種考慮鐵損的數學模型[6]，本文構建的數學模型考慮到了電機鐵損因素，相較于經典的永磁電機模型，更能如實地反應電機內部的各種物理量，而且可以用于永磁電機系統分析以及設計[7]。

建立數學模型前，首先做以下假設：

（1）不計轉子損耗與電機的雜散損耗；（2）忽略電流與磁通的諧波分量，磁路飽和的影響；（3）在定子中用等效的渦流電流來表征定子鐵損。

考慮鐵損時，dq軸的等效電路模型如圖1所示。其中：Rs為定子每相電阻；ud、uq為dq軸電壓分量；id、iq為dq軸的電流分量；idi、iqi為dq軸的等效鐵損電流分量；idm、iqm為dq軸的有功電流分量；Ri為等效鐵損電阻；ψd、ψq為dq軸的磁鏈分量；ωr為轉子電角速度；Ld、Lq為dq軸同步電感。

圖1 dq軸等效電路模型

由圖1可得電機的動態電壓方程：

兩個節點的電流方程為：

磁鏈方程：

轉子運動方程：

其中，各符號代表意義：Ψf為永磁電機轉子永磁體磁鏈；p為微分算子；F為永磁電機阻尼系數；np為永磁電機的磁極對數；Te為電磁轉矩；Tm為負載轉矩；ω為永磁電機轉子機械角速度；J為永磁電機轉動慣量。

由式（1）可得：

由式（3）、（6）可得：

由式（1）、（2）可得：

由式（8）、（9）可得：

其中k1=RRi∕(R+Ri)Ld；k2=RRi∕(R+Ri)Lq由式（8）、（9）可得：

2.描述芽的發育和根的生長過程（了解）。2013、2014年沒有考查，從2015年開始到2018年，每年均有一個選擇題，分值為1.5分，但考點都在考查“根”的內容，“芽的發育”近幾年都沒有考過。這一考點主要考查根尖，即根冠、分生區、伸長區、成熟區的功能。

3 基于PSIM的模型的構建

美國公司POWERSIM 的PSIM 電力電子及電機專業仿真軟件是目前工業界最快的電力電子仿真器，該軟件其具有在短時間內仿真大型復雜的功率變換器和控制系統的能力。除此之外，PSIM 的仿真引擎非常穩定，不會出現其他仿真軟件如Saber，Simetrix 所遇到的收斂問題。PSIM 將SPIM 引擎和SPICE 引擎集成在同一環境中，同時具備SPICE 器件級別的仿真功能，可以精確地仿真功率開關的瞬變等復雜工作情況。

為了驗證本文所提出的考慮鐵損的永磁電機理論分析和設計模型，在PSIM2021A 中搭建了正弦波永磁同步電動機各模塊的模型，如圖2所示。

圖2 基于PSIM的考慮到磁損的永磁同步電動機仿真模型

3.1 abc_dq變換模塊

該變換模塊完成坐標的變換[8]，將三相靜止坐標系下的電壓ua、ub、uc轉換為兩相旋轉坐標系下電壓ud、uq，坐標變換模塊內部結構如圖3所示，公式為：

圖3 abc_dq變換模塊

其中：θ為q軸軸線與a相軸線的夾角。

3.2 id、iq、id m、iq m計算模塊

計算模塊[9]完成交直軸電流id、iq、idm、iqm的計算，由式（10）～（11）確定，計算模塊內部結構如圖4所示。

圖4 id、iq、idm、iqm模塊內部結構

3.3 dq-abc變換模塊

此變換模塊[10]完成變量由兩相旋轉到三相靜止坐標的變換，將dq交直軸旋轉坐標系下的電流id、iq，變換為三相靜止坐標系下的電流ia、ib、ic，變換模塊內部結構如圖5所示，計算模塊其中用到的公式為：

圖5 dq_abc變換模塊

3.4 電磁計算模塊

電磁計算模塊[11]主要完成轉子角速度、轉子位置角和電磁轉矩的計算，由式（4）、式（5）確定，其內部結構如圖6所示。在此特別注意，為了不失仿真的一般性，設置了Ld-Lq模塊，表貼式與內置式車載正弦波永磁同步電動機均可以使用本文多提出的模型進行仿真分析。

圖6 轉矩計算模塊

4 仿真及結果分析

仿真用的內置式正弦波永磁同步電動機參數如下[12-13]：永磁體磁鏈ψf=0.272 Wb，定子電阻Rs=4.3 Ω，鐵損等效電阻Ri=108.23 Ω，直軸電感Ld=2.7 mH，交軸電感Lq=6.7 mH，額定轉矩TN=5 N·m，轉動慣量J=0.001 79 kg·m2，阻尼系數B=0.000 179 N·m·s。

4.1 三相定子電流波形

仿真時間設定為t=0.8 s 時，鐵損模型與線性模型三相電流波形如圖7所示，從圖中可以看出鐵損模型的三相電流波形正弦度，對稱度較好，相較于線性永磁同步電動機模型，考慮鐵損模型的電流紋波較線性模型較大。諧波含量豐富。

圖7 三相電流對比曲線

4.2 轉矩與轉速波形

轉速給定設置為600 r∕min，負載轉矩Tm=5 N·m，電機的轉速和轉矩響應曲線開始波動較大，但很快穩定在設定值，鐵損模型的轉矩轉速波動較線性模型較大，鐵損模型系統仍能穩定運行，具有較好的靜態和動態特性。轉矩與轉速曲線兩種模型如圖8所示。

圖8 兩種模型的轉矩、轉速響應曲線

5 結束語

在考慮到電機鐵損因素的基礎上，建立了對永磁同步電動機表征更為全面的數學模型，最后建立了基于PSIM的PMSM的仿真模型。

本文構建了三相靜態坐標系到兩相的旋轉坐標系變換的子模塊，兩相旋轉坐標系下電流與等效鐵損電流變換模塊，兩相旋轉到三相靜止變換模塊，轉速計算，轉矩計算，以及轉角計算模塊，構建的模型能夠表征出永磁電機內部的電壓，電流等各種變量的瞬態值，可較為準確地用于車載正弦波永磁同步電動機的動靜態過程的分析與研究，將其與基于線性的永磁同步電機模型的仿真結果進行比較，可以看出鐵損影響著永磁電機的動靜態性，本文構建的模型可以更真實地反應永磁同步電動機運行的實際工況。