宏微3-RPR并聯機構運動學精確求解

許有熊， 顧人杰， 劉曉鋒， 朱松青

(1.南京工程學院自動化學院，江蘇南京 211167；2.國電南京自動化股份有限公司， 江蘇南京 211000)

0 前言

隨著現代科學技術的不斷發展，精密加工與精密測量、航空航天、微電子工程等領域對并聯機構的運動范圍和精度提出了更高的要求[1]。但是，目前并聯機構不能同時滿足大范圍和高精度運動的要求。例如，液壓伺服、電機伺服等驅動的并聯機構能實現大范圍運動，但其重復定位精度一般為微米級，不能實現高精度[2-3]；壓電陶瓷[4]為驅動的并聯微動機構能實現較高的定位精度，但其運動范圍較小[5]。這極大限制了并聯機構在精密工程領域的應用。

因此，國內外學者將宏微混合驅動技術[6-7]應用到并聯機構，研究混合驅動的并聯機構以解決大范圍和高精度之間的矛盾。華南理工大學的余競[8]研究了一種宏微平面3-RRR并聯機構系統，其中，宏動部分采用伺服電機驅動的平面3-RRR并聯機構，并在其動平臺上放置一個由壓電陶瓷驅動的3-RRR平面并聯微動機構，以保證系統的定位精度，但該結構較復雜，且定位精度尚未達到納米級，尚未達到實際應用。結合液壓伺服技術與壓電技術的優點應用到并聯機構中，文獻[9]提出了一種基于電液-壓電混合伺服驅動的3-RPR并聯機構，能有效實現大范圍高精度定位。

另外，從并聯機構的運動學來看，國內外相關學者都進行了研究，并取得了一些成果。比如并聯機構運動學分析的核心問題是建立并求解高維非線性代數方程組，目前其基本方法主要有兩大類，即Sylvester結式消元法、Groebner基法、吳文俊消元法等代數解析法以及優化法，Newton-Rapgson法等數值迭代法，但以上方法求解精度都無法達到納米級。

因此，本文作者在之前研究的基礎上[9]，探索研究宏微3-RPR運動學精確求解，以滿足后續大范圍和高精度定位的控制要求。

1 宏微3-RPR并聯機構工作原理

所提出的宏微混合伺服驅動3-RPR并聯機構原理如圖1所示。

圖1 宏微3-RPR結構原理

其中每個桿由液壓缸和壓電陶瓷驅動器串聯而成，如圖1 (b)所示，并通過控制3個桿伸縮的總長度來控制動平臺的平動和轉動。宏驅動部分采用電液伺服系統以實現大范圍運動，微驅動部分采用壓電陶瓷驅動器以實現高精度精密定位。

圖2 3-RPR的結構參數示意

2 運動學逆解分析

運動學逆解是通過已給定的動平臺位姿(x，y，θ)，求解各桿的運動量(l1，l2，l3)。相對串聯機構而言，并聯機構的運動學逆解較為簡單，可以直接求解。假設初始狀態下每根桿長為均為L，θ=0，則可得出A、B、C各點坐標為

A：(0,0)

當機構運動到一定位置時，設此刻偏轉角度為θ，動平臺中心點坐標為(x，y)可得

點B1坐標為

點B2坐標為

點B3坐標為

由此可得逆解的方程組為

(1)

采用MATLAB編程實現其運動學逆解，其求解程序截圖如圖3所示。

圖3 逆解程序截圖

3 運動學正解分析

(1)數值迭代法的求解分析

運動學正解是已知各桿的運動量(l1，l2，l3)，求解動平臺的位姿量(x，y，θ)。其運動學正解的方程組如式(2)所示：

(2)

其中：x1、x2分別為sinθ、cosθ。

由于并聯機構運動學正解的復雜性，很難求出方程的解析解，通常使用數值迭代法進行求解。其計算過程可簡述為

(1)初選x0；

采用MATLAB編程實現其數值迭代法的求解，主要包含3個部分程序，即原方程組程序、求導程序和迭代程序。其中數值迭代法的迭代程序截圖如圖4所示。

圖4 正解程序截圖

(2)BP神經網絡的求解分析

采用上述數值迭代法求解時，所需的計算時間較長，且在計算過程中對初值選取要求過高，同時在導數為0處會產生奇異現象，其求解精度也無法滿足納米級的計算要求。因此，采用BP神經網絡算法進行宏微3-RPR并聯機構運動學正解。

BP神經網絡是一種由輸入層、隱藏層和輸出層組成的多層前饋神經網絡[10-11]。事先給定輸入數據組和目標數據組，通過神經網絡訓練，得到每次訓練的結果，與目標結果進行誤差比較，并根據誤差反向傳播修改權值和閾值，重復該過程直到獲得能輸出和目標結果一致的模型。

根據所研究宏微3-RPR運動學數據模型，以各桿的運動量(l1，l2，l3)為輸入，動平臺的位姿(x，y，θ)為輸出，建立一個三輸入三輸出的神經網絡架構，為提高精度，隱藏層節點數設為100，如圖5所示。

圖5 BP神經網絡算法結構示意

其過程為：首先，對并聯機構利用式(1)進行運動學逆解，將逆解得到的結果作為訓練樣本的輸入值，逆解的輸入值作為BP網絡的期望輸出值；其次，采用BP算法對樣本進行訓練，求得3-RPR并聯機構運動學正解的神經網絡模型；最后，通過另一組數據驗證神經網絡模型的準確性。神經網絡算法訓練結果如圖6所示。

圖6 BP神經網絡算法訓練

由于輸入輸出量的取值范圍不同，會降低神經網絡的訓練精度和訓練速度，因此在訓練之前需要先對數據庫進行歸一化處理，并在訓練結束后進行反歸一化處理。

(3)遺傳算法優化的神經網絡算法

雖然BP神經網絡得到了廣泛的應用，但因其初始權值和閾值選取的隨機性，難以選取到較合適的值，因此BP神經網絡存在訓練時間較長、計算誤差較大、容易陷入局部最優解等不足。如圖6所示的神經網絡算法在計算次數為2×106次時，耗時79 h。基于上述缺點，采用遺傳算法優化的BP神經網絡算法進行并聯機構運動學正解分析。

遺傳算法是一種通過模擬自然生物進化過程搜索最優解的方法[12]。其基本計算過程為：首先初始化一個種群，計算各個體的適應度；然后根據“優勝劣汰，適者生存”的原理，進行選擇、交叉、變異等操作得到下一代群體，不斷提高其適應度；直至滿足一定條件，將具有最大適應度個體作為最優解輸出。

因此，采用遺傳算法對神經網絡算法的權值選取過程進行優化[13]，既能縮短訓練時間，提高網絡收斂速度，又可以有效避免訓練中陷入局部最優解，其原理如圖7所示。

圖7 遺傳算法簡要原理

基于MATLAB軟件的遺傳算法優化的BP神經網絡算法訓練結果如圖8所示。將BP神經網絡算法和遺傳算法優化的BP神經網絡訓練過程進行對比，如圖9所示。可以看出：在經歷相同次數的訓練后，遺傳算法優化的神經網絡算法精度遠遠高于BP神經網絡。在相同精度下，遺傳算法優化的神經網絡算法耗時會更短。

圖8 遺傳算法優化的神經網絡算法訓練

圖9 2種算法對比

將不同算法得到的逆解進行對比分析，得到表1，其計算誤差如表2所示。可以看出：牛頓迭代法的精度在微米級，BP神經網絡算法的精度在0.1微米級，遺傳算法優化的神經網絡算法的精度在納米級。這說明遺傳算法優化的神經網絡算法精度最高，滿足計算要求。

表1 不同算法計算下的運動學正解值

表2 不同算法下的誤差比較

4 結論

根據先前所研究的宏微混伺服驅動的3-RPR并聯機構納米級控制精度的要求，要求其運動學求解精度也要達到納米級，文中對它進行運動學精確求解研究。

(1)建立了宏微3-RPR運動學模型，并采用MATLAB編程實現其運動學逆解，得到其準確解作為后續運動學正解的訓練樣本數據。

(2)分別采用數值迭代法、神經網絡算法和遺傳算法優化的神經網絡算法進行并聯機構的運動學正解研究。

通過最終的求解精度對比，經遺傳算法優化的神經網絡算法能實現納米級的求解精度且耗時更短。這為后續并聯機構的控制奠定基礎。