建模思想在初中數學教學中的應用

【摘要】數學建模是數學核心素養的重要方面，它體現了數學與生活的聯系，即以數學模型為橋梁，通過對生活中的實際問題進行抽象與提煉，將實際問題“數學化”，然后將抽象出來的問題代入相應的數學模型之中，最終運用數學概念、公式及定理進行求解與驗證。文章首先對數學建模思想進行概述，然后分析將數學建模思想應用于初中數學教學的必要性與可行性，最后提出數學建模思想在初中數學教學中的應用策略。

【關鍵詞】數學教學；建模思想；應用

【中圖分類號】G633.5【文獻標志碼】A【文章編號】1004—0463（2022）19—0083—04

《義務教育階段數學課程標準（2017年）》要求在課程設計思路中體現模型思想，并特別指出：“在呈現作為知識與技能的數學結果的同時，重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的能力。”初中數學教學中應用數學建模思想，能夠發展學生的數學思維，提高學生的數學應用意識，使其以數學模型的視角來觀察生活，運用數學知識來解決實際問題。因此，開展數學建模思想的應用實踐及探索，既是對新課程理念的積極響應，也是對學生數學核心素養發展的深刻體現。

一、數學建模思想概述

所謂數學建模，是為了解決生活中的實際問題，運用數學概念、公式、定理及法則形成一個數學結構，然后將“數學化”的問題與數學結構對應起來，以實現問題的解決[1]。數學建模思想本質上就是一種數學手段或數學工具，它體現了數學的精準性、簡潔性、概括性的特點。數學建模思想的應用，通常要遵循四個步驟：問題情境化，模型準備階段；問題數學化，模型建立階段；問題得以解決，模型應用階段；問題應用拓展，模型深化階段。

關于數學建模的研究，盡管起步較晚，然而研究成果斐然。二十世紀70年代初期，國內在農業、生物等生產領域出現模型思想，而美、英等國已將數學建模思想與教育教學深度融合，并產生了深刻影響。至80年代，國內高校針對大學生開設專門的課程——數學模型課。隨后，大學生數學建模競賽活動開始舉辦且漸趨豐富，數學建模思想自高等教育向基礎教育領域滲透。但是，有關高中數學建模思想的研究及實踐較多，而初中及小學階段的數學建模成果較少。由于數學建模思想滲透不夠，教師往往局限于“問題解決”本身，學生學起來吃力而低效。因此，教師應將“需求關聯、抽象簡化、建立模型、問題求解、模型檢驗”這一基本的數學建模步驟內化，并將其應用于初中數學教學中。

二、建模思想應用于初中數學教學的必要性與可行性

（一）數學建模思想應用的必要性

1.感受數學學習趣味。數學建模體現了數學的本質，即高度抽象[2]。當學生將實際問題轉化為數學問題，并能夠將數學問題與數學建模形成對應關系時，仿佛找到了解決問題的“金鑰匙”，其科學探究的樂趣也正在于此。如果繼續深入研究，在教師的指導下，學生將數學建模推而廣之，能夠解決某一類型的問題，這樣借助模型學生能夠對數學情境理解得更為透徹，對數學建模建立過程中的條件與假設、轉化與抽象、猜想與論證更加得心應手。

2.培養數學應用意識。數學是一門應用性極強的學科，將問題解決與數學建模結合起來學習，既體現了學科屬性，又賦予數學課堂以豐富的人文內涵[3]。數學建模的目的在于解決實際問題，學生將實際問題數學化或將數學問題生活化，體現在對數學建模的猜想、假設、探索、求證與應用之中，這將會培養學生的應用意識，提高學生的探究能力。從當前的初中數學教學實踐來看，數學建模思想的滲透與應用較少，且多以教師的個人經驗總結為主，對學生主體的關注度不足，這就導致學生害怕應用題。但必須指出的是，應用題是初中數學的重頭戲，學生看不懂數學應用題，又難以在實際問題與數學知識之間建立有效聯系，其背后的原因是數學建模意識不足。因此，教師在課堂上要重視數學建模思想的滲透及數學建模素養的培養，真正讓學生通過數學建模思想實現“以學促用，以用導學”的學習效果，進而提高學生的數學核心素養。

3.發展學生思維品質。數學建模本質上是以數理邏輯來重構實際問題，當學生對問題情境進行簡化與抽象時，其思維更趨于縝密，其思路更加趨于嚴謹，他們會對模型進行初步的假設或猜想，也會對特例進行驗證或推導，這本身就是思維的發展與訓練過程。學生在運用概念、公式、定理等進行假設與推理的過程中，思維更為靈活，更為高效。建模思想在小學數學教學中的應用，能夠培養學生的抽象、概括、轉化、推理等思維。學生在運用公式、定理等抽象化的數學模型解決數學問題時，對信息進行提取、加工與建構，能夠培養自身的概括與抽象、類比與歸納、猜想與推理能力。可以說，數學建模思想將學生從單個的問題解決推向數學結構的思考，學生將實際問題數學化的過程，也是思維不斷優化的過程，而從識記簡單的數學公式或數學符號，到理解數學建模的結構、表征和變式，體現了從低階思維到高階思維的發展。

（二）數學建模思想應用的可行性

1.數學教學方式在不斷創新。隨著新課程理念的不斷深入與持續推進，數學教學改革的力度也逐漸加大，教學方式不斷創新。當前，在初中數學教學中，教師將實際問題與數學教學有機結合，將數學建模思想引入課堂，讓學生“在問題中探究模型，在模型中解決問題”，既開闊了學生的數學視野，豐富了課堂學習氣氛，又使數學建模思想的應用具有可能性。初中數學知識體量大，數學公式較為復雜，問題情境所涉及的條件隱蔽，學生理解起來吃力，應用數學建模思想，可以讓學生借助數學模型達到“以簡馭繁”的效果，并讓學生體驗到學習數學的信心。

2.學生思維能力在逐步提高。初中生正處于思維發展的黃金階段，而數學能夠讓學生在抽象與概括、聚合與發散、逆向與順向的過程中獲得思維的訓練。生活中的實際問題層出不窮，數學問題情境復雜多變，而數學建模則是從變中發現不變，即讓學生有規律可循。萬變不離其宗，“宗”即是特有的、核心的、結構化的數學模型，在初中數學教學中應用數學建模思想，讓學生將實際問題轉化為數學建模并正確求解，即是“以不變應萬變”的原理。

三、數學建模思想的具體應用策略

（一）深入教材內容，構建數學模型

部編版初中數學教材蘊含了豐富的數學建模思想。從方程到函數，從圖形面積到向量問題，無論是數學符號的抽象表征、數學圖形的直觀呈現，還是數學公式的推理，無論是數量關系的表達，還是空間形式的描述，都指向一種抽象化、概括化、精確化的數學結構，即數學模型[4]。然而，教材中所涉及的數學問題，多是以問題情境方式呈現，它能夠激活學生的生活體驗，激發學生的探究意識，使學生樹立“根植生活學習數學”的思想，但對數學模型的呈現較為模糊。這就要求教師能夠將生活問題數學化，將數學問題類型化，以數學建模的方式在“問題”與“求解”之間構建新的橋梁。初中生已具備基本的數學抽象、數理邏輯能力，教師在學生剛開始學習某個公式或某一定理時，可以滲透模型意識，或讓學生自主推導公式，對數學問題進行抽象與概括，或讓學生對定理“變形”，提煉已知條件與未知條件，形成對教材知識的重構。這樣，教師通過深入教材內容，提煉基本的數學模型，并將其內化為學生問題解決中的“數學結構”，使學生在“問題—模型”之間自由切換，靈活轉化，那么學生將形成數學建模素養，其數學思維也獲得相應的發展與訓練。

（二）創設問題情境，滲透建模意識

數學模型與解決問題之間是相互依存，相互聯系的[5]。因問題情境而建立數學模型，因建立數學模型而解決問題。在初中數學教學中，教師創設問題情境，滲透建模意識，就是讓學生從數學模型的角度來抽象與簡化、理解與分析、求證與檢驗問題。在講授新知識時，教師可以通過“情境+問題鏈”的方式，讓學生步步追問，層層深入，在探究的過程中培養數學建模意識。在習題聯系時，教師可以通過“情境+問題變式”的方式，讓學生熟知已知條件與未知條件，對問題能夠舉一反三，在思維發散的同時內化數學建模思想。比如，在“一次函數”教學中，教師可以創設問題情境：已知某小車所行駛的路程為y，在一定的范圍內是其行駛時間x的一次函數，假設該小車為勻速運動，速度為k，現已測得小車的時速為110千米/小時，行駛時間為2.5小時，求小車行駛路程為多少千米？假設小車從甲地到乙地去，二者相距300千米，在從甲地駛出40千米后，再以90千米/小時的速度計時，那么小車需要繼續行駛多少小時才能到乙地？從上述問題中不難發現，無論是求行駛路程，還是求行駛時間，都能夠將實際問題轉化為數學模型問題，即題目中所說的“一次函數”模型。由于題目中已經給出數學模型，因此數學建模過程可以省略，直接將條件代入一次函數解析式，即y=kx+b這一數學模型，正確求解即可。

（三）變式練習遷移，促進模型應用

分析近年來的中考數學試題，注重數學模型的考查，尤其是由兩種或兩種以上數學模型構建的復合模型，因為涉及知識面廣，模型理解難度大，往往成為學生拉開分數差距的難題。因此，設計變式訓練、變換模型的條件，讓學生多角度、多情境、多層次理解與應用數學模型，內化數學結構，從而能夠正確解決問題。眾所周知，數學習題的訓練，是為了找出其中的規律，并能夠讓學生將這種規律應用于同類型的問題解決之中，“熟能生巧”的道理即是如此。因此，對問題進行專項訓練、分類歸納、遷移拓展，是數學建模思想應用的重要途徑。因此，教師應精選習題，以典型性、趣味性、實用性的問題來激發學生的學習興趣，通過對問題的“變形”或“變式”，讓學生從原有問題到變式問題進行數學模型的有效遷移。這樣，學生在分析變式問題的過程中，能夠對數學模型了然于胸，進而達到熟練運用的地步。比如，在“一次函數”教學中，教師為了鼓勵學生好好學習，可以對y=kx+b這一數學模型稍加變形，假設y是一個學生的綜合得分，k是它的方向及方法，而x是努力程度，b是學生的起點。那么用一次函數圖像的形式直觀呈現，就可以看出這個學生得分是處于上升趨勢還是下降趨勢，將不同學生得分情況反映在圖像上，就能進行直觀比較與評價。這樣，教師以變式訓練的方式，不但加深學生對數學模型的理解程度，也對學生進行了情感激勵教育，讓學生從中感受到學習數學的價值與信心。

（四）及時總結反思，內化模型思想

“知”與“用”屬于兩個不同的學習層次，對數學模型的理解認知與熟練應用，體現了學生的思維品質發展程度，也是實際問題解決能力的重要體現[6]。不少學生從小學到初中，用功程度絲毫不減，學習態度依舊端正，然而數學成績卻一落千丈。究其原因，就是初中知識體量增大，學習難度加大，而簡單沿襲小學的題海戰術，采用機械記憶或套用公式的方法來應對，就會捉襟見肘。在初中數學課堂中，學生若不能及時總結反思，無法將生活問題數學化，那么學生學起來就會力不從心。比如，在“一次函數”教學時，教師可以布置開放性作業：讓學生回家用卷尺量一下家人的鞋子長度（精確到0.1厘米），將鞋長記錄下來，然后分別對應各自的尺碼，對鞋長與尺碼之間的關系進行數學猜想，嘗試用一次函數的相關知識來建立數學模型。

探究數學建模思想在初中數學教學中的應用，需要教師引導學生在“解決問題”與“數學模型”之間建立有效關聯，然后放手讓學生自主探索，正確運用數學概念、公式或定理進行相應的求解。這就需要教師轉變數學教學觀念，提升自身數學建模素養，將數學建模思想應用于數學課堂教學中。當學生接觸新知識時，教師應引導學生聯系舊知識，聚焦數學概念、公式或定理，探究其中的“數學結構”，以滲透數學建模意識；當學生完成數學習題時，教師應鼓勵他們“一題多解”或“多題一解”，嘗試從中找規律，找聯系點，以建立數學模型；當學生總結復習時，教師應貫通學生的生活與數學的聯系，將實際問題轉化數學問題，將數學問題抽象為數學模型，從而達到對數學模型“得之于心，應之于手”的熟練程度。

參考文獻

[1]孫凱.初中數學建模活動的內容設計與組織原則[J].教學與管理，2021（22）：46-48.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育階段數學課程標準（2017）[M].北京：北京師范大學出版社，2017.

[3]蔡美玉.初中數學教學中數學建模思想的滲透[J].西部素質教育，2019（24）：72-73.

[4]李靜.初中數學教學中學生數學建模素養的培養策略[J].華夏教師，2019（17）：09-10.

[5]孫凱.從問題類屬談初中生數學建模能力培養[J].數學通報，2020（12）：30-33.

[6]劉海燕.初中數學建模思想初探[J].現代教育科學，2011（04）：126-128.

編輯：張昀