基于XFEM的預應力混凝土梁裂紋擴展研究

胡 筱 ， 龐 明 亮， 王 雨

(中國電建集團成都勘測設計研究院有限公司，四川 成都 610072)

0 引 言

自20世紀以來，混凝土在土木工程領域得到大量應用，已經成為當前使用量最大的工程材料。工程中，混凝土具有較明顯的脆性特征，同時也具有強烈的非均勻性，其內部有宏觀的缺陷，如裂紋、夾渣、氣泡及孔穴等，在外荷載或者溫度荷載作用下，易發生開裂破壞[1]。由于混凝土材料的特性，在各種應力條件下，受拉狀態是混凝土相對最不利受力狀態。工程中常見的混凝土開裂問題大多是由于拉應力超過混凝土材料抗拉性能引起的，典型現象如隧道襯砌變形開裂、早期大體積混凝土在溫度應力作用下的膨脹開裂等，而這些現象的細觀本質則是材料內部在荷載作用下裂隙、骨料膠結界面、孔洞等缺陷發生裂紋，繼而擴展、貫通的斷裂力學過程[2]。因此，研究混凝土斷裂過程有利于認識混凝土開裂破壞的內在因素，進而為優化混凝土材料性能及預測混凝土開裂問題提供力學依據。

隨著力學、數學理論的發展和計算機性能的提升，數值模擬逐漸成為研究材料斷裂問題的一個有效手段，常見模擬材料斷裂行為的數值模擬方法包括離散元法、有限元法、邊界元法、數值流形元法等，其中應用最廣的方法當屬離散元法和有限元法。離散元法將材料離散為大量顆粒，顆粒間通過法向和切向不同的接觸行為模擬真實材料的膠結狀態，粒間件處理通過力-位移法則計算，而顆粒運動則通過牛頓運動定律描述；當荷載引起的應力超過接觸強度準則時，粒間接觸失效，宏觀上即可模擬裂紋的萌生和擴展行為[3]。

離散元法抓住了材料細觀離散的本質，在固體材料斷裂力學行為的模擬及細觀機理研究方面具有獨特優勢，但顆粒化的模型結構給離散元法模擬尺度帶來了巨大局限。工程中，壩體、襯砌、梁柱等結構均屬于較大～超大尺寸結構，在這樣大尺度條件下模擬材料顆粒集合的力學行為，在當前計算機技術水平條件下，費時費財，難度頗大。有限元法將宏觀材料視為連續均勻介質，通過網格劃分將研究對象離散為計算單元，通過定義單元材料的應力應變本構關系，描述材料力學性質，并通過節點位移的連續協調實現模型的整體計算。傳統有限元的計算理論決定了模型計算結果是連續的，對斷裂問題的模擬一般通過網格重劃分來實現，這種方式不僅工作量大，還存在新舊網格狀態變量映射的問題[4]。20世紀90年代末，Belytschko教授團隊[5-7]基于單位分解的思想首先提出了擴展有限元法(XFEM)，該方法通過引入不連續位移模式，使不連續位移場的描述獨立于有限元網格劃分，克服了傳統有限元模擬斷裂問題需要反復重新劃分網格的局限性。20余年來，國內外學者開展了大量研究工作，使擴展有限元理論和應用水平得到了很大發展[8-11]。

1 ANSYS擴展有限元的基本原理

擴展有限元技術由于其不依賴網格劃分、不需要預知裂紋擴展路徑，在模擬固體材料斷裂行為的研究中具有良好的應用前景。

1.1 單位分解思想

常規有限元方法用多項式作為形函數，精度依賴于多項式局部逼近特性，對于很多問題，這種單純的多項式逼近效果并不夠理想。1996年，Melenk 和Babuska[12]以及Duarte 和Oden[13]先后提出單位分解法。該方法的基本思想是將任意函數用其域內一組局部函數Ni(x)φ(x)表示，即：

(1)

式中Ni(x)為有限元形函數，其形式不限于普通多項式，且有：

(2)

1.2 擴展有限元法的基本方程

擴展有限元法基于單位分解思想，在計算時引入虛擬的節點附加自由度，將裂紋擴展引發的不連續位移進行分解，即分解為有限元模型節點的位移分量和裂紋擴展引起的界面不連續位移分量，可表示為下列顯式函數[14]：

(3)

當考慮裂紋尖端應力集中引起的奇異性，則任意一點的位移向量還應增加一項反映裂紋尖端奇異性的位移分量，則總位移向量表示為：

(4)

(5)

1.3 水平集方法

由于擴展有限單元法允許裂紋穿過單元，即網格與間斷面相互獨立，因此，需要對間斷面進行幾何描述，常用方法為水平集方法(level sets method)[15]。另一方面，在XFEM中構造擴充形函數時往往也需要借助水平集函數。水平集方法是一種分析、計算并追蹤界面運動的數值方法，用與空間、時間有關的水平集函數f(x(t),t)來描述與網格無關的間斷。因為增加了時間變量，所以水平集函數要比間斷的維數高出一維。在計算過程中，間斷上的點始終滿足f(x(t),t)=0的條件。

(6)

2 基于ANSYS XFEM的混凝土梁裂紋擴展模型

本文基于ANSYS XFEM，在二維條件下對比模擬預制裂紋的簡支混凝土梁在集中荷載作用下，有無預應力情況下的裂紋擴展行為。帶預制裂紋的簡支混凝土梁受跨中集中荷載示意見圖1。

圖1 帶預制裂紋的簡支混凝土梁受跨中集中荷載示意圖

為此，建立ANSYS有限元模型，簡支混凝土梁及裂紋有限元模型見圖2，模型共計3 131個節點，3 000個單元，單元類型采用PLANE182二維單元；模型底面左右側節點處施加y方向法向位移約束，跨中頂部沿-y方向從0開始逐漸施加3 000 kN的集中荷載，并約束跨中頂部x方向位移。

(a) 無預應力混凝土梁

(b)預應力混凝土梁圖2 簡支混凝土梁及裂紋有限元模型

混凝土及預應力筋力學參數見表1；混凝土裂紋擴展準則采用最大周向應力準則，啟裂最大周向應力值設定為1.78 MPa；預應力筋的模擬采用溫降法實現，張拉力為1 333 kN，為消除鋼筋彈性模量、泊松比對于裂紋擴展的影響，故取鋼筋彈性模量、泊松比與混凝土相同，僅保留預應力效果。在跨中荷載作用下，裂紋擴展計算過程最大子步數100步，每子步0.01 s，總時長1 s。

表1 混凝土及預應力筋力學參數表

3 裂紋擴展結果分析

通過建立擴展有限元模型并進行計算，并對混凝土梁應力變形、裂紋擴展特征進行監測。

混凝土是一種抗壓不抗拉材料，混凝土簡支梁的底部裂紋擴展是否劇烈與梁的跨中豎向位移有著密切的聯系。圖3為有、無預應力條件下，混凝土梁頂部荷載-頂部位移圖，圖4為有、無預應力條件下，混凝土梁頂部荷載—最大裂紋寬度圖。

圖3 混凝土梁頂部荷載-頂部位移圖

圖4 混凝土梁頂部荷載-最大裂紋寬度圖

在表示混凝土梁頂部荷載-頂部位移的圖3中，由于預應力的作用，混凝土梁產生反彎現象，預應力梁跨中頂部豎向位移初值略大于0；在F=1 400 kN之前，有、無預應力梁的跨中頂部豎向位移均呈現直線下降趨勢，且兩直線段的斜率基本一致，這說明在這段區域，混凝土梁產生穩定的形變且未發生裂紋擴展，這一結論也由混凝土梁頂部荷載-最大裂紋寬度的圖4中F=1 400 kN前裂紋張開寬度基本為0所驗證。在圖3中，無預應力梁的跨中頂部豎向位移于F=1 400 kN發生突變，有預應力梁的跨中頂部豎向位移于F=2 250 kN發生突變，結合圖4的裂紋寬度突變點分析，跨中頂部豎向位移突變為底部裂紋發生擴展所導致，這說明混凝土裂紋的擴展均需達到某個臨界點才會發生。圖3、圖4中均可見預應力梁的穩定段更長，突變段更短，突變之后還有穩定段；而無預應力梁一旦進入突變段，突變速度將越來越大；可見，預應力可以有效地增加裂紋起裂的臨界荷載，且有效控制裂紋起裂后的擴展速度。

圖5為無預應力條件下，混凝土梁的裂紋擴展過程von mises應力云圖，從圖5(b)可見，當F=1 500 kN時，無預應力混凝土梁只有輕微的起裂現象，而在裂紋起裂以后，隨著荷載的增加和混凝土完整性的降低，裂紋開始迅速擴展，當F=3 000 kN時，裂紋長度已達2.095 m。

(a)F=750 kN

(b)F=1 500 kN

(c)F=2 250 kN

(d)F=3 000 kN圖5 無預應力混凝土裂紋擴展過程von mises應力云圖

圖6為預應力條件下，混凝土梁的裂紋擴展過程von mises應力云圖，從圖6(a)可見，當F=2 250 kN時，預應力混凝土梁還未起裂；從圖6(b)可見，當F=2 310 kN時，相比F=2 250 kN僅增加60 kN，但裂紋長度已達到0.286 m，相比無預應力條件下圖5(a)擴展到圖5(b)所增加的750 kN，有預應力條件下的裂紋擴展更加突然和劇烈；由圖6(c)、6(d)，在裂紋長度擴展至0.381 m后，集中荷載F由2 370 kN增加630～3 000 kN，裂紋長度并未繼續擴展，也說明了在預應力的作用下，裂紋擴展比無預應力條件下更加突然；

(a)F=2 250 kN

(b)F=2 310 kN

(c)F=2 370 kN

(d)F=3 000 kN圖6 有預應力混凝土裂紋擴展過程von mises應力云圖

而在裂紋突然擴展后，預應力混凝土梁不會發生如無預應力混凝土中的裂紋連續擴展，而是隨著荷載的增加發生逐段的突變擴展。綜合圖5和圖6，可以看出預應力可以明顯提升混凝土的抗裂性能，可以有效控制裂紋的擴展長度及張開寬度。

4 結 論

混凝土開裂多是由于混凝土材料中拉應力超過抗拉極限引起的，在工程中常用預應力來增強混凝土整體的抗拉性能。通過對有、無預應力的預制裂紋混凝土梁在ANSYS中進行逐級加載的擴展有限元分析，比較其變形特征及裂紋擴展特征，可得到以下結論：

(1)混凝土裂紋的擴展需達到臨界荷載才會發生，預應力的施加可以有效提高混凝土開裂的臨界荷載；

(2)混凝土的裂紋開裂是突然的，而預應力的施加會加劇這種開裂的突然性，預應力混凝土的裂紋開裂會更加劇烈；

(3)無預應力混凝土梁的預制裂紋一旦開裂，裂紋將隨著荷載的增加而連續擴展，且擴展速度越來越快，而預應力的施加會改變裂紋擴展模式，使得裂紋隨著荷載的增加發生逐段的突變擴展；

(4)在相同荷載作用下，相比無預應力混凝土，預應力的施加顯著降低了底部裂紋的擴展長度及裂紋最大張開寬度，有效的控制了裂紋擴展。