改進未知互耦信息下矩陣重構算法的波束形成

謝 宇，黃 鵬，李 震，李良榮*

(1.貴州大學 大數據與信息工程學院，貴州 貴陽 550025；2.北京航空航天大學 電子信息工程學院，北京 100083)

0 引言

波束形成的實質是接收期望信號的同時抑制內部的干擾和噪聲[1-3]。但在實際應用中，總有各種不確定因素影響導致波束形成器的性能下降。如導向矢量存在誤差[4-6]、期望信號來波方向失配等。Gershman等人提出了最差情況性能最優(Worst-Case Performance Optimization，WCPO)算法[7]解決了導向矢量的誤差情況，該算法在不確定集約束的范圍內，讓所有導向矢量的波束響應均大于等于1的前提下，求取滿足目標函數的最優權矢量。針對導向矢量失配問題，Gu等人[8]于2012年提出干擾加噪聲協方差(Inter-ference Plus Noise Covariance，INC)矩陣重構的算法，為了收集干擾信息，首先在不含有期望信號的角度區間上積分，然后通過求解二次約束等問題估計期望信號的方向矢量失配量，能夠有效抑制噪聲。

上述算法雖然在改善波束形成器性能方面能達到較好的效果，但是在面對陣列互耦時卻不能很好地抑制干擾。互耦的存在導致數據矩陣結構改變，使得傳統波束形成器輸出效果變差。因此，陸續有學者提出了改善此問題的辦法。Huang等人[9]提出一種基于迭代思想的最優化二次約束問題來同時估計信號DOA以及互耦矩陣的互耦系數，利用Capon空間功率譜得到針對陣元互耦情況時的波束形成器，能有效校正陣元互耦現象。文獻[10]提出了先估計互耦系數，再重構INC矩陣的抗互耦算法。而未知互耦信息下的波束形成算法不需要預先估計互耦系數，可利用最大化輸出信干噪比準則求出權向量。文獻[11]提出的基于未知互耦信息下矩陣重構的算法，利用協方差矩陣錐化理論(Covariance Matrix Taper，CMT)和空間功率譜采樣重構包含互耦信息的INC矩陣，并對其進行特征分解，經過計算得到最優權矢量。該算法在高信噪比時抗互耦性能較好，但在低信噪比下，不能有效抑制干擾和噪聲，使得波束形成器性能下降。

本文研究一種基于未知互耦信息下矩陣重構的算法(Matrix Reconstruction with Unknown Mutual Coupling Information，MUMC)，并在此算法基礎上進行改進。原算法解決了互耦信息未知的矩陣重構，但是沒有考慮到低信噪比(Signal Noise Ratio,SNR)下導向矢量損耗的情況，導致波束形成輸出不穩定。針對原算法在低輸入信噪比下干擾方向不能準確地形成零陷[12]，且波束形成器不夠穩健的問題，本算法首先通過計算在不含有互耦信息的期望信號導向矢量上適配一個誤差值，以減消低信噪比下矩陣重構和特征分解對導向矢量的損耗，然后設定一個輸入信噪比的門限，針對不同信噪比輸出不同的導向矢量值，目的是將導向矢量準確輸出得到平穩的計算結果。仿真實驗證明不論在高信噪比還是低信噪比下，該波束形成器都能穩健輸出。

1 算法原理

1.1 算法模型

假設陣列形式為M元半波長等間距的均勻直線陣[13-14]，所有信號都是窄帶信號。當存在互耦[15]時，θ方向的導向矢量經過轉換可建模為：

(1)

式中，T[θ]=T1(θ)+T2(θ)為一個M×Q的矩陣[14]。T1(θ)和T2(θ)表示為：

(2)

(3)

則存在互耦時的陣列接收信號矩陣可寫為：

(4)

接收信號的協方差矩陣為:

(5)

(6)

對式(6)進行優化問題的構造求解，即得到存在互耦時的自相關矩陣以及接收信號復包絡的估計值，可估計出存在互耦時的INC矩陣。

(7)

由于干擾的真實數量少于潛在干擾的數量，為了讓潛在信號的功率達到干擾所在的位置，限定一個范圍，對估計功率進行升序排序，使得能到達一定水平的潛在信號的功率篩選通過。因此，潛在信號的功率估計為：

(8)

式中，trace[·]代表矩陣的跡[15]。

(9)

(10)

利用存在陣列互耦信息的接收信號表達式(4)，讓其通過子空間D后，可求得只包含期望信號和噪聲信息的接收信號y(n)：

DZa(θ0)s0(n)+De(n)=a′(θ0)s0(n)+De(n),

(11)

式中，n=1,2,…,N。

因為實際中無法計算真實的接收信號自相關矩陣，則用y(n)的樣本協方差矩陣取代：

(12)

式中，N為樣本數目。

(13)

濾波器輸出為：

(14)

則最優權矢量為：

(15)

通過上述步驟，在存在未知陣元互耦時的信號模型中僅需要估計出接收信號復包絡及其協方差矩陣，再選擇功率較大的角度進行干擾加噪聲協方差矩陣的重構，在對INC矩陣和接收信號自相關矩陣進行特征分解后，經過計算得到最優波束形成。

1.2 原算法仿真

對上述算法的性能進行Matlab仿真實現。仿真環境為：具有互耦存在的16元陣元數的均勻線陣，入射信號有3個，其中兩個是干擾方向信號，入射角度設置為-30°和+30°；另一個是期望信號，角度設置為0°，將輸入信噪比設置成20 dB，干噪比設置成30 dB，信號采樣點數200，互耦門限為5，則互耦向量設定為：[1，0.512 8+0.387 5j,0.355 8+0.278 5j,0.363 6-0.363 6j,0.102 4+0.052 1j],圖1為算法的歸一化波束圖仿真。

圖1 基于未知互耦信息的矩陣重構算法的歸一化波束圖Fig.1 Normalized beam diagram of matrix reconstruction algorithm based on unknown mutual coupling information

從圖1可以看出，該算法能準確地在期望來波方向上形成主波束，并在兩個干擾角度-30°和30°上都形成了零陷，說明該算法具有一定的抗互耦作用。但是兩邊的零陷深度較淺，未超過-55 dB，說明互耦信息的影響較大，當噪聲等干擾信息方向有偏差時,則算法性能將會下降。

2 改進算法

2.1 原算法存在問題

在對如上算法的分析中可以得知，在高信噪比和高干擾輸入功率下，原算法在對抗陣元互耦上不需要預先估計互耦系數，只需利用最大化輸出信干噪比準則對權向量進行求解。無論期望信號功率增強還是減弱都保持了很好的性能。但是當輸入信噪比較低時，原算法對干擾的抑制能力明顯下降，且不能在干擾方向形成準確的零陷，整個算法性能失衡。圖2為原算法在-20 dB信噪比輸入下的波束形成圖。

圖2 低輸入信噪比之下波束形成歸一化方向圖Fig.2 Normalized pattern of beamforming under low input SNR

如圖2所示，原算法實驗一旦進入較低的信噪比環境時其抗干擾能力變差，在兩個干擾角度未形成明顯的零陷，且并沒有減弱因陣元互耦帶來的影響，意味著在低信噪比下該算法的性能仍有需要改進的空間。

2.2 算法改進

陣列間互耦的存在使得干擾零陷抬高、波束形成的主瓣偏移等，這嚴重影響了波束形成器的性能。在經過多次試驗仿真發現，原算法在信噪比大于10 dB時表現良好。因此，只需要設定一個條件在低于此環境時適配精確的導向矢量，使得優化后的矢量不被陣元間的互耦所干擾，能夠抵抗因低輸入信號而帶來的不同程度噪聲的干擾。

已知陣元上的接收信號可表示為：

(16)

因為陣列信號一般都是轉變到基帶再進行處理，所以可將其用矢量形式表示為：

s(t)?[s1(t),s2(t),…,sM(t)]T=

(17)

當確定了波長和陣列的結構時，式(17)中的矢量部分只與到達波的空間角矢量θ有關，稱為方向矢量：

(18)

因為陣列間互耦的存在將不同位置的陣元所處的電磁環境改變，加上輸入信號中攜帶的噪聲過雜，在低信噪比下將會損耗方向矢量，令誤差產生。因此，為了降低噪聲對轉換過程的消耗，經過不斷地實驗計算，最終確定在建立互耦信息前的方向矢量上賦予一個誤差值，可增加互耦之后的導向矢量準確性：

(19)

其導向矢量矩陣為：

(20)

計算時，若是在存在互耦信息的導向矢量上賦予誤差，則互耦與誤差將會產生混淆，導致抗互耦效果變差，因此要在這之前就給導向矢量適配誤差。加入誤差之后，在導向矢量的左側再乘上互耦矩陣，則存在互耦時的導向矢量為：

(21)

對應的導向矢量矩陣為：

(22)

式中，C為反映互耦影響程度的互耦矩陣MCM。因為C為Toeplitz矩陣，則經過推導可以得到：

(23)

(24)

進行到這一步，對導向矢量的誤差適配就基本完成了。接下來，需要對算法當前信噪比環境進行一個門限判斷。如果當前信噪比環境大于或等于10 dB，則算法繼續，如果當前信噪比低于10 dB，說明算法此時處于一個低信噪比環境下，則需要在導向矢量上增加一個誤差值，保證算法能夠穩健輸出。部分算法流程如圖3所示。

圖3 部分算法流程圖Fig.3 Partial algorithm flowchart

另外，設定信噪比門限為了防止在高信噪比時加入的導向矢量誤差影響到算法運算，造成方向圖輸出不準確。因此，在低于10 dB的信噪比下給導向矢量適配誤差，使得算法無論在高信噪比還是低信噪比下都能夠保證算法穩定輸出。

3 仿真實驗

3.1 改進算法仿真

通過仿真驗證改進算法的性能，假設期望信號來波方向為0°，同時加入兩個干擾方向為[-30°,30°]，干噪比設為30 dB，輸入端SNR設為-20 dB，互耦系數設置為[1，0.512 8+0.387 5j,0.355 8+0.278 5j,0.363 6-0.363 6j,0.102 4+0.052 1j]，圖4為改進算法仿真得出的歸一化方向圖。

圖4 低信噪比情況下改進算法的波束歸一化方向圖Fig.4 Beam normalization pattern of the improved algorithm in the case of low SNR

可以看到，圖2的仿真與圖4的仿真區別在于對干擾的抑制能力以及波束輸出的穩健性。圖4仿真的波束圖，其主瓣對準了真實的期望信號來波方向，在干擾方向零陷深度均超過-55 dB，且界限清晰波達方向明確，很好地說明了算法的有效性。

3.2 綜合仿真對比

為了更加清晰地對比改進算法與其他算法的性能，將本算法與其他算法放置在同一環境中進行仿真驗證。

對比的算法：改進前的Yang算法、SMI算法、基于互耦系數估計的抗互耦算法(Mutual Coupling Coefficient Estimate Based，MCCEB)、常規ESB算法。

綜合仿真：設置輸入信噪比為-20 dB，干噪比設為30 dB，期望信號估計來波方向為0°，兩個干擾信號的真實來波方向分別為-30°和30°，快拍數L=200。

由圖5可以看出，在波達方向為0°的情況下，本文算法(記為IMPROVE)假設的來波方向與實際的來波方向完全一致，在所對比算法中對干擾的指向也是最準確的。Yang的算法在低信噪比下波束賦形不穩定。ESB算法對干擾抑制混亂，在其他角度形成了零陷，與設定的仿真環境不符。而SMI算法則是將期望來波信號當成了干擾抑制，出現了信號自消的現象。MCCEB算法是主要針對抗互耦的算法，但是在仿真圖中可以看到，它在未知互耦條件下對干擾的抑制能力尚欠缺。綜合來看，本文算法在低信噪比的環境中表現是很突出的。

圖5 各種算法在互耦情況下的方向圖對比Fig.5 Direction diagram comparison of various algorithms in the case of mutual coupling

4 結束語

本文針對基于未知互耦信息下矩陣重構算法存在的問題，即在低輸入信噪比下，波束形成器輸出結果不理想，抗干擾效果不明顯。對此現象進行分析，并對算法改進，當輸入SNR低于10 dB時，在期望信號的導向矢量上補充一個誤差值，使得后續重構干擾加協方差矩陣以及進行二次特征分解時含有的部分期望信號導向矢量消耗得以補償，當輸入SNR大于10 dB時，則按照原算法計算思路進行未知互耦信息下的波束輸出。通過理論剖析和仿真實驗對比，驗證了該算法提高低信噪比下的抗互耦性能，無論在高信噪比還是低信噪比下都能良好運行，在解決未知互耦信息的耦算法中，該算法具有較強的實用性及穩健性。而對于來波信號靠近時，干擾的進一步準確識別是下一階段需要解決的問題。