借“4個問題”，窺發展深度思維的歷程
——以“長方體和正方體的體積計算（2）”為例

范從芹

江蘇省海安市城東鎮西場小學 226600

小學生數學的學習過程是“內外兼修”的過程：說它“外”，是指它要借助于外在的活動因素，說它“內”，是指它同時也要借助于學生內在的思維因素和思考因素。小學生數學學習的成效和他們的數學深度思維有著休戚與共的關系。數學的深度思維呈現個性化、隱性化、穩定化。因此，從小學階段起，作為數學教師就要注意培養學生的深度思維。深度思維的發展不僅有助于提高學生的數學學習能力，還有助于發展學生的數學素養，讓他們的學習真正發生。鑒于此，文章以“長方體和正方體的體積計算（2）”為例，通過“4 個問題”來展示學生深度思維發展的歷程，供大家商榷。

“長方體和正方體的體積計算（2）”是蘇教版小學數學六年級上冊第一單元的內容，它是在“長方體和正方體的體積計算（1）”學習基礎（學生已初步掌握了“長方體”和“正方體”的體積公式）上進行的。教材首先從揭示“底面積”的概念入手，讓學生看圖，并總結出長方體和正方體底面積的計算方法；接著設問“還可以怎么計算長方體和正方體的體積”，最后引導得出結論“長方體（正方體）的體積=底面積×高”。整個認知過程可謂“順風順水”，學生很容易就理解了該知識點。但是，對照數學三維目標的要求，達成知識與技能目標僅僅是達成教學目標的一部分，不能以偏概全。如何在這種淺顯的課中挖掘知識點背后的實際價值，讓問題“驅動”學生的深度思維？筆者在實際教學中從以下幾個問題入手，引導學生步步深入，展現深度思維的發展歷程。

一、用激趣式的問題引出深度思維

良好的開端是成功的一半。孔子說：學習某個知識或某種本領，了解學習的人、喜愛學習的人和以此為樂的人中，最后一種人接受得更快。因此，在本節課中，筆者從創新課堂導入環節入手，創設恰當的情境——“小糊涂日記一則”，讓情境與本課內容相融合，讓情境與學生的思維激發相關聯，讓學生從導入環節的問題情境中激發深度思維的興趣。

“小糊涂日記一則”片段：放學了，小糊涂將自己底面積約100 平方分米的學具盒收進了書包，匆匆跑出占地面積為60 平方厘米的教室。

生1：老師，我發現這兩個單位用錯了，學具盒的底面積不可能是100 平方分米。以前我們量過教室地面一個方塊的面積大約100 平方分米。如果學具盒的底面積這么大的話，肯定放不進書包里了。

老師：請你拿出學具盒給大家演示一下學具盒的底面積，可以嗎？

生1（拿出學具盒，摸下面）：這就是學具盒的底面，我覺得大約是100 平方厘米。

生2：教室占地面積60 平方厘米也不對，60 平方厘米比剛才學具盒的底面積還要小，一只腳都站不下，我覺得這里應該改為60 平方米。

教師：你能給大家說說什么是占地面積嗎？

生2 踩了踩地面，然后比畫了教室的地面，說：“教室就是一個長方體，教室的占地面積就是這個長方體底面的面積。”

可以看出“底面積100 平方分米的學具盒”和“占地面積為60 平方厘米的教室”這兩個數據，既承載了學生的笑點，又能觸摸他們對“底面積”“占地面積”的理解程度。這個導入環節將“底面積”和“興趣”結合在一起。從兩個學生的回答中，我們可以知道，他們對于“底面積”“占地面積” 的概念不是一片空白，而是理解透徹。如果教師還像以前教材上所安排的用“涂色面積”來揭示“底面積”的概念，就完全沒有必要了，學生也會覺得索然無味。筆者設計的“小糊涂日記一則”，立足學生視覺，讓學生能輕松地結合實際找出日記中的單位問題，為接下來的探究活動奠定了心理基礎。

二、用探究式的問題引出深度思維

教育家的理論研究和實踐結論都告訴我們：教師應留給學生充足的時間和空間去探究，引導學生充分經歷探究的過程，提供彰顯思維含金量的探究問題，引領他們拓寬思維的廣度、提升思維的深度，凸顯學生的主體性。

教師：長方體的體積與底面積之間有著怎樣的關系？請大家分組合作探究這個問題。

（學生短暫地組內交流。）

生1：昨天我們才學過長方體的體積=長×寬×高，這個圖中底面積就是用長×寬，所以用長方體的底面積×高就可以算出長方體的體積了。

生2：長方體的體積除以底面積就等于它的高。

生3：還可以說長方體的體積除以高等于它的底面積。

生4：老師，旁邊的正方體的體積還可以用底面積×棱長來計算。

生5：那么不管是長方體的體積，還是正方體的體積，都可以用底面積×高來計算。

……

教材中設置的問題一“底面積的計算方法”，學生其實已經在前幾課時的“長方體和正方體的表面積”中接觸過；教材中設置的問題二“長方體（正方體）的體積還可以怎么計算”，學生已經有了知識的儲備和探究的經驗——長方體的長×寬×高就等于它的體積，正方體的棱長×棱長×棱長就等于它的體積。由此可見，學生已經完全具備探究教材兩個問題的經驗和能力基礎。俗話說“思維是最好的禮物”。筆者拋出問題“長方體的體積與底面積之間有著怎樣的關系”，這個富有探究性的問題給學生插上了發散思維的翅膀。通過小組合作，學生不僅得出結論 “長方體的底面積×高就可以算出長方體的體積”“正方體的體積還可以用底面積×棱長來計算”，還能夠逆向思維“長方體的體積除以底面積就等于它的高”“長方體的體積除以高等于它的底面積”等。實踐告訴我們，探究思維含量高的問題不僅能讓學生的思維更自主，而且能讓他們的思維更全面。

三、用對比式的問題引出深度思維

有人將數學的學習當成吃糖葫蘆；有人將數學的學習當成編織漁網或將數學的學習當作走迷宮……不管哪種比喻都告訴我們一種道理：教師要幫助學生建立起數學知識的網絡，弄清數學知識發生、發展的脈絡，在此過程中，學生的思維會更具深度。

教師：前天我們探究出了長方體和正方體的體積公式，我們剛才又探究出了長方體和正方體的體積都可以用底面積乘高來計算，對比一下，你有什么發現？

生1：我覺得用底面積乘高來計算它們的體積更簡捷。

生2：今天的公式就是把長方體和正方體的體積公式合并成一個。

生3：只要知道底面積和高就可以計算長方體和正方體的體積了。

生4：對的，不一定非得要知道長方體的長和寬分別是多少。

生5：如果知道了長方體的長、寬、高，就可以把這3 種量直接相乘，算體積。

生6：我覺得，不管選用哪一種公式，都要根據題目中提供的具體數據來選擇。

生7：我覺得這兩種公式是一回事，就是將“長乘寬”和“棱長乘棱長”換成了“底面積”。

教師在課堂中，如果能以對比式的問題為導向，把握好教學的契機，關聯兩個相近的知識架構，就能夠讓學生對知識的本質理解得更透徹，思維也會更具廣度和深度。在這個片段中，學生既對“合二為一”的思想有了深刻的理解，也對“辯證地看數學、審視數學”有了深刻的感悟，同時萌發了理性思維，學會從高視角理解公式間的聯系與區別。對比式的問題，不僅有利于學生的主動建構，還有利于讓學生的數學思維更有深度。

四、用發散式的問題引出深度思維

發散式的問題可以培養發散思維。發散思維可以引導學生從不同的角度或者不同的方向去思考問題的解決方法，它是創造性思維的核心。創造性思維需要思維的發散，需要人們去打破常規、改變定式。因此，在小學數學課堂中，教師要善于設計開放性的問題，引導學生從既定的問題中多角度思考問題，鼓勵標新立異。

教師：從“長方體（或正方體）的體積=底面積×高”中，你們還能想到還可以怎么計算長方體（或正方體）的體積？

生1：我覺得把底面翻過來，就是上面，那么長（正）方體的體積就是“上面的面積×高”了。

生2：照這樣說，如果底面變成了前面，那么長（正）方體的體積就是“前面的面積×寬”了；如果底面變成了左面，那么長（正）方體的體積就是“左面的面積×長”了。

生3：我明白了，底面積是長乘寬，再乘高，就是體積；前面的面積就是長乘高，再乘寬，就是體積；左面的面積就是寬乘高，再乘長，就是體積；不管是哪個面的面積乘第三條棱長，實際都是長×寬×高。

生4：剛才生3 的回答又給我啟發，這就是長、寬、高三個數相乘時運用了乘法交換律和結合律，結果仍然不變。

教師：如果已知一根長方體木料橫截面的面積和長度，你會求這根木料的體積嗎？

……

這個片段中教師采用問題“你們還能想到還可以怎么計算長方體（或正方體）的體積”來驅動學生思維的爆發。學生在對話中追尋知識的本源——不管是哪個面的面積（橫截面）乘第三條棱長，都可以求體積。在層層遞進、步步深入中，教師帶領學生逐步邁向知識的本質。在師生、生生對話中，學生的思維更開放、思路也更創新。

綜上所述，在小學數學課堂中，教師用激趣式、探究式、對比式、發散式的問題，可以有效地發展學生的深度思維。