融合信息反饋共享與蜉蝣搜索機制的樽海鞘群算法

摘 要：針對樽海鞘群算法（SSA）收斂速度慢和易陷入局部最優的問題，提出了一種融合信息反饋共享與蜉蝣搜索機制的改進樽海鞘群算法。使用Piecewise映射的方法進行種群初始化，使初始樽海鞘種群更均勻的覆蓋可行域空間；采用信息共享機制，提出輔助領導者策略，改進領導者位置更新公式，增強全局搜索能力；利用進化學說以及正負反饋調節的思想，通過變異操作和自然選擇原則選取更優領導者，從而提高搜索精度；最后，提出蜉蝣搜索機制，選取蜉蝣算法的交配公式，優化追隨者位置迭代公式，使算法在后期更快收斂。通過在12個基準測試函數的多個維度以及17個CEC測試函數的實驗，證明了改進樽海鞘群算法的綜合性能，并通過消融實驗驗證了改進策略的有效性，實驗結果表明，改進算法在收斂速度以及搜索精度上具有明顯的優勢。

關鍵詞：樽海鞘群算法； 群智能優化算法； 混沌映射； 反饋機制； 蜉蝣算法

中圖分類號：TP301 文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2023）03-009-0696-08

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2022.07.0363

Salp swarm algorithm combining information feedback sharing and mayfly search mechanism

Li Kewen， Geng Wenliang， Zhang Min， Wang Xiaohui， Ke Cuihong

（College of Computer Science amp; Technology， China University of Petroleum（East China）， Qingdao Shandong 266580， China）

Abstract：Aiming at the problems of slow convergence speed and easy to fall into local optimum of SSA ， this paper proposed an improved salp swarm algorithm combing information feedback sharing and mayfly search mechanism. Firstly， it used piecewise chaos to initialize the population to make the initial salps more evenly cover the feasible space. It adopted the information sharing mechanism to propose an auxiliary leader strategy， in order to improve the leader position update formula， and enhance the global search ability. It used the evolutionary theory and the idea of positive and negative feedback regulation， selecting better leaders through mutation operation and natural selection， so as to improve the search ability precision. Finally， it put forward the mayfly search mechanism， selected the mating formula of the mayfly algorithm to optimize the iterative formula of the follower position and make the algorithm converge faster in the later stage. Experiments on 12 benchmark functions and 17 CEC test functions prove the comprehensive performance of the improved salp population algorithm， and the ablation experiments verifiy the effectiveness of the improved strategy. The experimental results show that the improved algorithm has obvious advantages in convergence speed and search accuracy.

Key words：salp swarm algorithm（SSA）; swarm intelligence algorithm; chaotic maps; feedback mechanism; mayfly algorithm

0 引言

樽海鞘是一種海洋膠質脊索生物，具有透明筒狀的身體以及類似于水母的組織，通過噴出海水的反作用力進行移動。樽海鞘存在群聚行為，通過形成樽海鞘鏈的形式實現群體快速協調變化進行移動和覓食。Mirjalili等人［1］于2017年根據寒冷海域中樽海鞘的生活習性提出了樽海鞘群算法（SSA）。樽海鞘群算法在工程優化問題中具有明顯的優點，因此，國內外許多專家學者對其進行了改進與優化，提出許多具有實際應用場景的改進樽海鞘群算法。Singh等人［2］基于正余弦函數提出信息共享策略，避免過早收斂并且快速將搜索引向可能的搜索空間；Ren等人［3］在領導者位置更新公式中引入隨機替換策略，使用雙重自適應權重優化追隨者位置更新，在保持可行解多樣性的同時，優化了迭代速度與精度；Sayed等人［4］將混沌理論應用于SSA，使用10種不同的混沌映射來提高收斂速度與精度，可以顯著提高SSA的性能；Wang等人［5］使用Lévy飛行機制提高全局搜索能力，并使用正弦余弦公式提高局部搜索能力，顯著提高了優化精度與收斂速度；Abd等人［6］將SSA中融入差分進化思想，優化了算法在多目標函數上的性能；俞家珊等人［7］采用兩種類別的領導者與追隨者分工尋優，兼顧了全局搜索和局部開發兩種功能；楊興等人［8］將天牛須搜索算法［9］的公式和Lorentz函數優化位置迭代公式，提高了算法的局部搜索能力，具有更佳的魯棒性；Faris等人［10］提出了二元化的改進算法，提升了一些機器學習算法的性能；Aljarah等人［11］通過劃分子鏈的方式設置新的領導結構，并使用不同策略自適應更新子鏈的位置，從而優化尋優速度與精度；Fan等人［12］采用折射對抗的學習策略和自適應參數進行了改進，使算法可以成功地應用于結構參數識別模型的構建。SSA在許多工程領域也有很好的應用，例如：醫學圖像增強［13］、特征選擇［14，15］、無線傳感器網絡節點定位［16］、資源調度［17］、全局優化［18～20］、頻率控制［21］等問題。

上述改進策略對標準樽海鞘群算法的性能有一定程度上的提升，然而當搜索維度較高時，兼顧求解精度與收斂速度較為困難，因此本文提出一種融合信息反饋共享與蜉蝣搜索機制的改進樽海鞘群算法，并通過實驗驗證改進算法的穩定性與準確性。

樽海鞘群算法的尋優過程高度依賴于樽海鞘鏈的移動方式，本文針對傳統的樽海鞘群算法往往會出現收斂速度較慢、易陷入局部最優的問題，進行了相關研究，提出一種融合多種改進策略的樽海鞘群算法，主要包括混沌映射機制、信息共享機制、反饋調節機制以及蜉蝣搜索機制。混沌映射機制使用piecewise映射的方法進行種群初始化，使初始樽海鞘分布更均勻；信息共享機制采用輔助領導者的信息共享機制干預領導者更新，增強算法的全局搜索能力；反饋調節機制可以通過變異操作和自然原則選取更優領導者；蜉蝣搜索機制選取蜉蝣算法（mayfly algorithm，MA） ［22］的交配公式，優化追隨者位置迭代公式，使算法在迭代后期更快收斂。

1 樽海鞘群算法

樽海鞘是一種生活在寒冷海域的群居生物，樽海鞘鏈存在兩種不同類型的樽海鞘個體，一種類型個體位于樽海鞘鏈的前端，對整體的移動進行領導，其他個體跟隨前端個體進行移動，整體協作進行移動和捕食。種群通過領導者樽海鞘位置更新對食物資源進行全局搜索，追隨者跟隨領導者進行位置更新進行局部尋優，通過樽海鞘群整體不斷移動逐步靠近食物資源的位置，最終尋得食物。樽海鞘算法的計算流程如下：

a）種群初始化。令N維空間中種群個體的位置向量為Xn=［Xn1，Xn2，…，Xnd］，通過式（1）對樽海鞘種群初始化：

其中：rand（N，d）為隨機數；Ub為搜索空間范圍上限；Lb為搜索空間范圍下限。初始化得到N×d維的樽海鞘種群位置向量矩陣：

食物源位置F=［F1，F2，…，Fn］是樽海鞘群算法最終的尋優目標位置。

b）領導者位置更新。領導者帶領樽海鞘鏈向食物源移動，根據式（3）對領導者的位置進行更新迭代：

其中：x1j表示領導者（第1個）樽海鞘在第j維的位置;Fj表示食物源（尋優目標）在第j維的位置;ubj表示第j維搜索空間的上限;lbj表示第j維搜索空間的上限;c1、c2和c3為隨機數。

c1為收斂因子，定義如下：

其中：t為當前迭代次數;T為最大迭代次數。c2和c3是取值為［0，1］的隨機數。

c）追隨者位置更新。根據領導者的位置，追隨者按照式（5）（牛頓運動定律）進行位置更新：

其中：i≥2，xij表示第i個樽海鞘個體第j個維度的位置;v0是初速度;t是時間;a是加速度，并且a=vfinal/v0，v=（x-x0）/t。由于在迭代求解過程中，t即為兩次迭代中的時間差，即可視為t=1，且v0=0，所以，式（5）即為

其中：xij、xi-1j分別為第i、i-1個樽海鞘個體在j維的位置。

2 融合信息反饋共享與蜉蝣搜索機制的樽海鞘群算法

樽海鞘群算法在處理一些較為簡單的最優化問題方面具有顯著的效果，然而當所處理的問題較為復雜時，往往會出現算法收斂速度較慢、陷入局部最優等問題，而日常需要解決的問題往往都是較為復雜的實際問題。針對目前算法的不足之處，本文提出了以下解決方案：使用piecewise映射的方法進行種群初始化，使初始樽海鞘更均勻地覆蓋可行域空間；通過引入輔助領導者的方式干預種群領導者的更新策略，改進領導者位置更新公式，從而提高算法的全局搜索能力；利用進化學說以及正負反饋調節的思想，通過變異操作和自然選擇原則對當前領導者位置進行一定的擾動，增加領導者個體的多樣性，從而提高搜索精度，防止陷入局部最優；提出蜉蝣搜索機制，選取蜉蝣算法的交配公式，優化追隨者位置迭代公式，使算法在后期更快收斂，以提高算法的綜合性能。本文根據上述問題以及改進策略，提出一種融合信息反饋共享與蜉蝣搜索機制的改進樽海鞘群算法（salp swarm algorithm combing information feedback sharing and mayfly search mechanism，IFSMASSA）。

2.1 基于piecewise映射的種群初始化策略

大多數的群智能優化算法的種群初始化都是隨機生成的，其過程大多使用概率分布或高斯分布，樽海鞘群算法也通過這種方式實現，然而，由于隨機生成的種群位置存在不確定性，會導致算法收斂速度以及收斂精度存在一定的誤差。相比于隨機生成的方式，采用混沌序列映射的方式可以使初始種群在可行域中均勻分布，增加種群位置的多樣性。本文采用piecewise映射在［0，1］生成混沌序列，再將其映射到算法對應的可行域空間，從而使初始種群分布更加均勻，算法收斂更迅速。

其中：l為常數且l=0.4；i為種群數量；s為混沌變量序號且s=1，2，…，d。將混沌序列映射到可行域空間：

其中：ubi為搜索空間上界；lbi為搜索空間下界。

piecewise映射生成的散點如圖1所示，由圖可知，生成的初始種群分布均勻，可使算法盡快完成對可行域空間的探索，以減少陷入局部最優的概率。

2.2 基于信息共享機制的輔助領導者策略

樽海鞘群算法僅通過領導者向最優解不斷靠近的方式進行移動，且樽海鞘鏈對領導者具有很強的依賴性，因此若當前食物源位置相對較差，僅靠單一的領導者指導種群鏈移動容錯性不高，限制了樽海鞘鏈的搜索范圍與全局搜索能力。本文受自然界中群居生物的信息共享機制的啟發，設置輔助領導者個體，通過其信息共享行為干預領導者的移動過程，共同指導種群移動，減少單一領導者指導移動的局限性，從而增強樽海鞘鏈的全局尋優能力。設置兩個輔助領導者個體xis（i=1，2）當作輔助領導者，輔助領導者位置更新由食物源位置與當前領導者共同決定，圖2為信息共享機制的示意圖，輔助領導者的具體定義為

其中：xihistory為上一次輔助領導者的位置；a1、a2為［0，1］的隨機數；β為信息共享傳遞系數；t為當前迭代次數。

因此，領導者通過輔助領導者的輔助信息傳遞的方式進行位置更新，具體如下：

x1j=Fj+c1（（ubj-lbj）c2+lbj）+τ（x1scosθ1+x2ssinθ2） c3≥0.5Fj-c1（（ubj-lbj）c2+lbj）+τ（x1scosθ1+x2ssinθ2）c3＜0.5（11）

其中：xis為輔助領導者，τ為信息吸引力系數：

由式（11）（12）可知，信息吸引力系數τ從4（e-1）到0遞減，可使種群在迭代前期增加對可行域的探索，加強全局搜索能力；在迭代后期τ的值逐漸減小，令輔助領導者的干預變小，從而使算法快速收斂，以提高算法的綜合性能。

2.3 基于反饋調節機制的領導者更新策略

樽海鞘群算法中由領導者指導樽海鞘鏈的整體移動，所以每次迭代的領導者位置至關重要。如果領導者的位置陷入局部最優，則會導致樽海鞘群尋優結果的精度缺失。針對以上問題，本文參考生態系統中的進化學說以及正負反饋調節機制，以變異操作和自然選擇原則調整領導者的位置更新迭代過程，即在每次迭代過程中通過自適應反饋調節因子判斷是否需要進行變異操作隨機生成新領導者位置，公式如下：

其中：x1j為下一次正常迭代的領導者位置，通過式（11）更新;x1j為隨機生成的領導者位置;ε為［0，1］的隨機數;ω為自適應反饋調節因子：

由式（14）（15）可知，反饋調節因子ω在0.5到1上線性遞增，所以在迭代前期，增加領導者變異的概率，防止陷入局部最優；在迭代后期隨著ω的增加，減小領導者變異的概率，算法以局部搜索為主，從而平衡全局搜索與局部尋優的能力。

new x1j為新領導者位置生成，該過程引入柯西變異策略對其位置進行擾動，標準柯西分布函數公式如下：

其中：cauchy（0，1）為柯西算子，即中心為0，尺度參數為1的服從柯西分布的隨機數。

2.4 基于蜉蝣搜索機制的追隨者更新策略

樽海鞘群算法中第i個追隨者樽海鞘的位置更新是由第i和i-1個樽海鞘的位置坐標決定的，這種位置更新規則僅僅由樽海鞘鏈中前一個個體和當前個體的位置決定，因此更新后的樽海鞘個體都前一次更新的領導者個體具有很強的依賴性，容易限制算法的全局搜索能力與局部搜索的速度。本文受蜉蝣算法的啟發，引入蜉蝣算法中蜉蝣交配過程的公式指導樽海鞘局部搜索過程的位置更新，提出一種基于自適應蜉蝣搜索機制的追隨者位置更新策略，并根據兩個個體的適應度值將更新位置偏向適應度較好的一方，故追隨者位置更新公式如下：

其中：t為當前迭代次數。由式（18）（19）可知，在搜索前期追隨者可以快速向較優個體靠近，加快局部搜索的速度。因此，蜉蝣算法交配公式的使用，可以很好地保留最優信息在種群中的傳遞。

2.5 IFSMASSA算法

根據提出的算法改進策略，提出了IFSMASSA算法，算法流程如圖3所示。

算法具體實現步驟如下：a）設置種群大小N，搜索維度dim，最大迭代次數T，搜索空間范圍［lb，ub］，并根據式（7）（8）使用piecewise映射進行種群初始化;b）計算每個初始樽海鞘個體的適應度值，將適應度最好的個體作為食物源位置，確定領導者位置，并通過式（9）計算輔助領導者位置；c）通過式（11）對樽海鞘群的領導者進行位置更新，通過自適應反饋調節因子判斷是否對領導者進行變異，若符合條件，由式（14）進行對領導者位置進行擾動，否則保留領導者位置；d）根據式（18）使用自適應蜉蝣機制指導追隨者個體進行位置更新；e）計算新種群適應度值，更新領導者位置以及輔助領導者位置；f）重復步驟c）～e），不斷迭代直到達到求解精度或最大迭代次數，程序終止，得到最優解。

3 仿真實驗與結果分析

3.1 實驗設計

為驗證本文IFSMASSA算法的尋優效果，將IFSMASSA算法與樽海鞘群算法（SSA）、粒子群算法（PSO）［23］、遺傳算法（GA）［24］、灰狼優化算法（GWO）［25］、基于Lévy飛行的樽海鞘群算法（LECUSSA）［26］、基于自適應權值和無標度追隨者的樽海鞘群算法（ESSA）［27］、基于隨機對抗學習和模擬退火算法的樽海鞘群算法（ISSA）［28］進行對比分析，并設計三部分實驗：a）標準測試函數尋優實驗；b）消融實驗；c）CEC測試函數尋優實驗。本次實驗均在相同實驗環境（Intel CoreTM i7-4720HQ CPU @2.60 GHz）上采用Python進行。IFSMASSA算法參數設置按本文所述，PSO、GA、GWO、LECUSSA、ESSA、ISSA算法的參數設定參考文獻［23～28］。

3.2 標準測試函數尋優實驗

本文選取了12個標準測試函數集評估算法的實際效果，包括6個單峰測試函數（f1～f6）和6個多峰測試函數（f7～f12），如表1、2所示。為了對比不同維度下IFSMASSA算法的尋優效果，分別測試30維、60維和90維中算法在f1～f12函數的優化效果。

3.2.1 搜索精度分析

表3、4分別列出了IFSMASSA、LECUSSA、ESSA、ISSA、SSA、GWO、PSO和GA算法的實驗結果。實驗獨立運行30次，每次迭代次數為500次，統計在f1～f6上6個單峰值標準測試函數和f7～f12上6個多峰值標準測試函數的實驗結果。實驗結果分別統計了最優值（best）、均值（mean）和標準差（std）。在求解最小值問題時，mean越小，說明算法尋優精度越高；std越小，表明算法越穩定。本文選用mean和std來評估算法的性能和穩定性。

由表3可知，在6個單峰測試函數f1～f6上，IFSMASSA的效果都明顯優于其他智能優化算法。其中，與SSA相比，在LECUSSA、ESSA與ISSA算法的尋優精度有一定程度上的提升，但是IFSMASSA算法精度的提升幅度更為顯著；PSO與GA算法在多個測試函數上均未找到函數的最優值；GWO算法雖然均找到最優值，但是求解精度相對較低；而IFSMASSA算法在此次測試中的實驗結果相較于其他算法均為最優的。同時，該算法的尋優精度與穩定性都得到了明顯的提高，以求解30維的f1與f3函數為例，相比于標準SSA，尋優精度分別提高了10×1082與10×1086的量級。隨著測試函數維度設定的提高，算法求解的難度也會指數倍增加，通過實驗結果可知，隨著函數的求解維度從30維增加到90維，GWO、PSO、GA、LECUSSA、ESSA、ISSA、SSA算法的求解精度明顯降低，然而IFSMASSA算法在30、60、90維的求解精度相差不大，這充分體現了改進算法的穩定性與魯棒性得到了顯著提高。

由表4可知，在6個多峰測試函數f7～f12上，IFSMASSA算法在尋優精度與穩定性上也具有明顯的優越性。在f7、f9函數上，IFSMASSA算法得到了理論最優解，在f8、f10、f11、f12函數的尋優結果相較于GWO、PSO、GA、LECUSSA、ESSA、ISSA、SSA算法都達到最佳值。其中，PSO與GA算法在多個測試函數上的尋優結果與理論值相差較大；LECUSSA、ESSA和ISSA算法僅在f7、f8、f10三個函數上的改進效果相對明顯，在其余函數的搜索精度相比標準SSA提升不大；GWO與標準SSA尋優效果類似。進一步體現了本文提出的改進策略對算法尋優精度和收斂能力提高的有效性，也說明了算法具有對高維度函數求解的優勢。

3.2.2 收斂速度分析

為了更加形象直觀地比較IFSMASSA、LECUSSA、ESSA、ISSA、SSA、GWO、PSO和GA在收斂速度與尋優精度的性能，本文針對表1、2中的12個標準測試函數，以30維測試函數為例，繪制算法的收斂曲線如圖4所示。在12個標準測試函數中，相比于對比測試的算法，IFSMASSA的收斂速度更快。以單峰測試函數f5為例，IFSMASSA算法迭代到100代精度已很高，LECUSSA、ESSA、ISSA在迭代后期也達到較高的精度，其他算法效果均不明顯，IFSMASSA算法能在快速收斂的同時得到更優解；以多峰測試函數f12為例，IFSMASSA算法在200代接近最優解，其中ESSA算法雖然在迭代前期尋優速度類似IFSMASSA，但是在尋優精度上明顯低于IFSMASSA算法，其他算法在迭代后期均未達到IFSMASSA的尋優效果。這表明IFSMASSA在收斂速度上相比于LECUSSA、ESSA、ISSA等優化算法都有所加強，在解決復雜的優化問題時更有優勢。并且，從圖4中12個測試函數的收斂曲線可知，IFSMASSA在收斂速度與尋優精度都具有明顯的優勢，可更快更準確地對函數進行求解。這表明了本文提出的信息共享和反饋調節機制提高了搜索精度與算法的全局搜索能力；蜉蝣搜索機制提升了算法后期的收斂速度與局部尋優能力，提高了算法的整體性能。

3.3 消融實驗結果及分析

為驗證本文提出改進策略的效果，本文設置SSA1算法不含piecewise映射機制、SSA2算法不含信息共享機制、SSA3算法不含反饋調節機制、SSA4算法不含蜉蝣搜索機制。對30維的12個標準測試函數進行尋優，其他參數與3.2節相同，實驗結果如表5所示。

由表5可知，本文提出的piecewise序列映射機制、信息共享機制、反饋調節機制和蜉蝣搜索機制都對標準SSA的性能有一定的提升。其中，piecewise序列映射機制對算法的優化效果最為明顯，體現出初始種群在可行域區間均勻分布對算法尋優精度的提高有重大意義；在單峰函數f1～f6中，SSA2與SSA3算法的優化效果相比于SSA4更為明顯，表明采用蜉蝣搜索機制的追隨者位置更新公式提升了算法后期的收斂速度與局部尋優能力；在多峰函數f6～f12中，SSA4算法效果較SSA2、SSA3算法更為明顯，表明了信息共享機制和反饋調節機制提升了算法的全局尋優能力。同時，本文提出的綜合四種改進策略的IFSMASSA算法比不含某一改進策略的算法均具有更優的精度和更穩定的效果，也表明了本文策略的有效性和魯棒性。

3.4 CEC測試函數尋優實驗

為了評估IFSMASSA算法的適用性與有效性，本文選取CEC2021和部分CEC2014基準函數進行實驗，進一步驗證IFSMASSA算法的綜合性能。由于CEC基準測試函數涵蓋的種類繁多，所以在不同類別的函數中分別選取部分旋轉位移變換的單峰（unimodal function，UF）、多峰（multimodal function，MF）函數以及混合（hybrid function，HF）、復合（composition function，CF）函數進行實驗，所選函數如表6、7所示。

表8、9展示了算法在平均值和標準偏差上獲得的最佳解情況，由表8中CEC2014基準函數上的實驗結果可知，IFSMASSA算法的效果在大多數測試中具有更優的效果與穩定性。其中，SSA與GWO算法在多數測試結果中效果并不理想，PSO與GA算法在部分測試結果接近最優解，也體現了這兩種算法的有效性。而IFSMASSA算法在多峰函數CEC2014-04，混合函數CEC2014-18以及復合函數CEC2014-23、CEC2014-24、CEC2014-25、CEC2014-30中均得到相對最優解以及標準差，也表明了改進策略提高了處理復雜函數問題的能力，體現了改進算法具有很好的魯棒性與適用性。

由表9中CEC2021基準測試函數上的實驗結果可知，GWO和SSA算法在大部分測試函數中效果并不明顯，而PSO與GA算法在CEC2021-05、CEC2021-06和CEC2021-09等部分測試函數中優化效果相對較好，表明兩種算法的具有一定的穩定性。而本文IFSMASSA算法在七個測試函數中均得到相對最優的平均值和標準偏差，這也表明了算法在處理復雜函數問題中所具有的穩定性和魯棒性，也體現了算法處理復雜問題的有效性。

4 結束語

為增強SSA的收斂速度、搜索精度以及跳出局部最優的能力，提出了基于信息反饋共享與蜉蝣搜索機制的改進樽海鞘群算法。該算法使用piecewise映射的機制進行種群初始化，使初始樽海鞘更均勻的覆蓋可行域空間，此方法對復合函數的效果尤為明顯；采用輔助領導者幫助領導者進行決策，改進領導者位置更新公式，利用進化學說以及正負反饋調節的思想，以變異操作和自然選擇原則選取領導者個體，從而提高搜索精度；提出蜉蝣搜索機制，選取蜉蝣算法的交配公式，優化追隨者位置迭代公式，使算法在后期更快收斂。進一步提升算法的優化效果。實驗結果表明，本文IFSMASSA算法具有良好的收斂能力與尋優精度。未來將研究樽海鞘群優化算法在多目標優化方面的問題，并且應用于解決實際生活中更為復雜的工程優化問題。

參考文獻：

［1］Mirjalili S， Gandomi H， Mirjalili Z，et al.Salp swarm algorithm： a bio-inspired optimizer for engineering design problems［J］. Advances in Engineering Software，2017，114：163-191.

［2］Singh N， Son L H， Chiclana F， et al. A new fusion of salp swarm with sine cosine for optimization of non-linear functions［J］. Engineering with Computers， 2020，36（1）：185-212.

［3］Ren Hao， Li Jun， Chen Huiling， et al. Stability of salp swarm algorithm with random replacement and double adaptive weighting［J］. Applied Mathematical Modelling， 2021，95：503-523.

［4］Sayed I， Khoriba G， Haggag H. A novel chaotic salp swarm algorithm for global optimization and feature selection［J］. Applied Intelligence，2018，48（10）：3462-3481.

［5］Wang Chao， Xu Renqian， Ma Lei， et al. An efficient salp swarm algorithm based on scale-free informed followers with self-adaption weight［J］.Applied Intelligence，2023，53（2）：159-1791.

［6］Abd E M， Li Lin， Jayasena K P N， et al. Multiobjective big data optimization based on a hybrid salp swarm algorithm and differential evolution［J］. Applied Mathematical Modelling， 2020，80（C）：929-943.

［7］俞家珊， 吳雷. 雙領導者樽海鞘群算法［J］. 計算機科學， 2021，48（4）：254-260. （Yu Jiashan， Wu Lei. Two types of leaders salp swarm algorithm［J］. Computer Science， 2021，48（4）：254-260.）

［8］楊興， 郭明昊， 方霞， 等. 基于天牛須搜索自適應的樽海鞘算法［J］. 計算機技術與發展， 2021，31（6）：1-6. （Yang Xing， Guo Minghao， Fang Xia， et al. Salp swarm algorithm based on beetle antennae search and adaptive［J］. Computer Technology and Deve-lopment， 2021，31（6）：1-6.）

［9］Jiang Xiangyuan， Li Shuai. BAS： beetle antennae search algorithm for optimization problems （2017）［EB/OL］.（2017-10-31）. https：//arxiv.org/abs/1710. 10724.

［10］Faris H， Mafarja M M， Heidari A A， et al. An efficient binary salp swarm algorithm with crossover scheme for feature selection problems［J］. Knowledge-Based Systems， 2018，154：43-67.

［11］Aljarah I， Mafarja M， Heidari A A， et al. Asynchronous accelerating multi-leader salp chains for feature selection［J］. Applied Soft Computing， 2018，71： 964-979.

［12］Fan Qian， Chen Zhenjian， Li Zhao， et al. An efficient refracted salp swarm algorithm and its application in structural parameter identification［J］. Engineering with Computers，2020，38（1）：1-15.

［13］Saha D K， Dhabal S. Medical image enhancement using salp swarm algorithm［C］//Proc of the 1st IEEE International Conference for Convergence in Engineering. Piscataway，NJ：IEEE Press， 2020： 366-370.

［14］Chen Hongwei， Liu Fangrui， Chang Pengyang， et al. An improved salp swarm algorithm based on spark for feature selection［C］//Proc of the 15th International Conference on Computer Science amp; Education. Piscataway，NJ：IEEE Press， 2020： 424-429.

［15］Hegazy A E， Makhlouf M A， El-Tawel G S. Improved salp swarm algorithm for feature selection［J］. Journal of King Saud University-Computer and Information Sciences， 2020，32（3）：335-344.

［16］Shi Xiaoxiao， Su Jun， Ye Zhiwei， et al. A wireless sensor network node location method based on salp swarm algorithm［C］//Proc of the 10th IEEE International Conference on Intelligent Data Acquisition and Advanced Computing Systems： Technology and Applications. Piscataway，NJ：IEEE Press， 2019： 357-361.

［17］Ewees A A， Al-qaness M A A， Abd E M. Enhanced salp swarm algorithm based on firefly algorithm for unrelated parallel machine scheduling with setup times［J］. Applied Mathematical Modelling， 2021，94：285-305.

［18］Nautiyal B， Prakash R， Vimal V， et al. Improved salp swarm algorithm with mutation schemes for solving global optimization and engineering problems［J］. Engineering with Computers， 2022，38（55）：3927-3949.

［19］Cui Zhihua， Zhang Maoqing， Wang Hui， et al. Hybrid many-objective cuckoo search algorithm with Lévy and exponential distributions［J］. Memetic Computing， 2020，12（3）：251-265.

［20］Salgotra R， Singh U， Singh S， et al. Self-adaptive salp swarm algorithm for engineering optimization problems［J］. Applied Mathema-tical Modelling，2021，89：188-207.

［21］Singh A， Sharma V. Salp swarm algorithm-based model predictive controller for frequency regulation of solar integrated power system［J］. Neural Computing and Applications，2019，31（12）：8859-8870.

［22］Zervoudakis K， Tsafarakis S. A mayfly optimization algorithm［J］. Computers amp; Industrial Engineering， 2020，145：106559.

［23］Bratton D， Kennedy J. Defining a standard for particle swarm optimization［C］//Proc of IEEE Swarm Intelligence Symposium. Pisca-taway，NJ：IEEE Press， 2007： 120-127.

［24］Sivanandam S N， Deepa S N. Introduction to genetic algorithms[M]. Berlin： Springer， 2008： 15-37.

［25］Mirjalili S， Mirjalili S M， Lewis A. Grey wolf optimizer［J］. Advances in Engineering Software，2014，69：46-61.

［26］張嚴， 秦亮曦. 基于Levy飛行策略的改進樽海鞘群算法［J］. 計算機科學， 2020，47（7）：154-160. （Zhang Yan， Qin Liangxi. Improved salp swarm algorithm based on Levy flight strategy［J］. Computer Science，2020，47（7）：154-160.）

［27］Wang Chao， Xu Renqian， Ma Lei， et al. An efficient salp swarm algorithm based on scale-free informed followers with self-adaption weight［J］.Applied Intelligence，2023，53：1759-1791.

［28］Bairathi D， Gopalani D. An improved salp swarm algorithm for complex multi-modal problems［J］. Soft Computing， 2021，25（15）：10441-10465.

收稿日期：2022-07-15；修回日期：2022-09-04 基金項目：國家自然科學基金重大項目（51991365）；山東省自然科學基金資助項目（ZR2021MF082）

作者簡介：李克文（1969-），男，黑龍江齊齊哈爾人，教授，博導，博士，主要研究方向為人工智能、數據挖掘與機器學習；耿文亮（1998-），男（通信作者），山東東營人，碩士研究生，主要研究方向為智能算法、機器學習（gwliop@163.com）；張敏（1999-），女，安徽安慶人，碩士研究生，主要研究方向為智能算法、機器學習；王曉暉（1998-），男，山東濰坊人，碩士研究生，主要研究方向為智能算法、機器學習；柯翠虹（1998-），女，福建南平人，碩士研究生，主要研究方向為智能算法、機器學習．