受強弱關系理論啟發(fā)的改進人工蜂群算法

摘 要：針對原人工蜂群算法在尋優(yōu)過程中存在收斂精度不高、容易陷入局部最優(yōu)的問題，提出一種改進人工蜂群算法（SWT-ABC）。將社會學中強弱關系模型化并引入多子群矩陣式蜂群結構，定義了強關系個體從三個方向隨機引導搜索，加快算法收斂速度和提高收斂精度；為增強算法跳出局部最優(yōu)的能力，定義了弱關系個體交互以實現(xiàn)子群間信息交流來提升種群多樣性；增加偵查蜂反向學習機制并確定合適的蜜源上限，能有效提升目標函數(shù)評價次數(shù)的利用效率。通過基準測試函數(shù)的數(shù)值實驗并與12種改進算法進行對比，改進后的人工蜂群算法收斂精度更高、全局尋優(yōu)能力更強，并且在高維優(yōu)化問題求解中仍具備良好的收斂性能。

關鍵詞：人工蜂群算法； 多子群矩陣式結構； 改進搜索方程； 信息交互； 反向學習

中圖分類號：TP301.6 文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2023）03-014-0731-07

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2022.08.0400

Improved artificial bee colony algorithm based on strong and weak ties theory

Liu Xiaolong， Dong Jiawei

（School of Business Administration， South China University of Technology， Guangzhou 510641， China）

Abstract：To solve the problems of low convergence accuracy and easy to fall into local optimum in the optimization process of the original artificial bee colony algorithm， this paper proposed an enhanced artificial bee colony algorithm with strong and weak ties theory （SWT-ABC）. Firstly， it defined the strong and weak ties model in a matrix multi-groups structure and stipulated that the strong ties individuals randomly guided the search process from three directions to improve the convergence speed and accuracy. In order to enhance the ability to jump out of the local optimum， SWT-ABC adopted the interaction of weak ties individuals among subgroups to enhance the population diversity. Finally the algorithm added the reverse learning mechanism of scout bees and determined appropriate upper limit of honey source to improve the utilization efficiency of the evaluation times. Through the numerical experiment of benchmark functions and comparisons with 12 improved intelligent optimization algorithms， it shows that the SWT-ABC has high convergence accuracy and good robustness， and also gets good performance in solving high-dimensional optimization problems.

Key words：artificial bee colony; matrix multi-groups structure; improved search equation; information interaction; reverse learning

0 引言

近年來，越來越多的復雜優(yōu)化問題在工程、經(jīng)濟、管理等領域不斷涌現(xiàn)，傳統(tǒng)計算方法難以在有限時間和資源條件下求得精確解。自20世紀50年代，源于生物、物理現(xiàn)象的元啟發(fā)式算法受到廣泛關注與研究，如遺傳算法（genetic algorithm，GA）、差分進化算法（differential evolution，DE）、粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）、人工蜂群算法（ABC）、鯨魚優(yōu)化算法（whale optimization algorithm，WOA）等，這些智能算法所求問題的近似解更能貼合實際需求。相比其他智能優(yōu)化算法， ABC算法具有簡單穩(wěn)定、易于實現(xiàn)、收斂性能較好等優(yōu)點［1］，目前已廣泛應用于柔性車間調度［2］、路徑規(guī)劃［3］、人員排班優(yōu)化［4］、單車調運［5］、醫(yī)學圖像處理［6］、投資組合優(yōu)化［7］、聯(lián)合聚類分析［8］等諸多問題。然而， ABC算法中搜索方程側重于探索能力，蜂群在當前蜜源附近隨機探索新的蜜源，使得算法局部開發(fā)能力不夠。在求解復雜優(yōu)化問題時，ABC算法存在收斂速度較慢、精度不高、無法找到全局最優(yōu)解等問題，如針對單峰函數(shù)quartic、Rosenbrock精度不高（E-01、E+01），Schwefel 2.21求解魯棒性較差（E+01），求解多峰函數(shù)NC Rastrigin、Ackley收斂精度低（E-03、E-05）。

針對ABC算法存在的缺陷與不足，學者們提出了多種改進方案。文獻［9］利用混沌映射進行參數(shù)自適應調整，以改善算法的收斂性能、增強算法跳出局部最優(yōu)的能力，測試結果表明改進算法對于Rosenbrock、Griewangk函數(shù)的尋優(yōu)成功率有一定提升，但尋優(yōu)精度不高、尋優(yōu)穩(wěn)定性不夠；文獻［10］受差分進化算法啟發(fā)，提出在上一次迭代的全局最優(yōu)蜜源附近隨機尋找新蜜源，這種策略使得搜索方程的局部開發(fā)能力得到一定提升，算法收斂速度加快，但是對于sphere、Schwefel等單峰函數(shù)收斂精度不夠高，且Ackley、Penalized 1、Penalized 2等多峰函數(shù)無法找到全局最優(yōu)解；文獻［11］為加快算法收斂，基于上一次蜜源搜索的各維度結果好壞，在搜索方程中加入方向信息，引導當前蜜源搜索的各維度方向，結果顯示該策略能在一定幅度上提升算法的收斂速度和精度；文獻［12］提出一種子群規(guī)模可變的多種群改進算法，使用多策略協(xié)同搜索和新的概率選擇模型，增強了算法的開發(fā)能力；文獻［13］提出五種策略協(xié)同的改進算法，針對具有不同特點的優(yōu)化問題，在迭代過程中選擇并使用一種或多種搜索策略，相較于原ABC算法，在收斂精度和魯棒性方面都有一定提升；文獻［14］提出一種多搜索策略協(xié)同的改進算法，通過比較并選擇五種策略生成的最優(yōu)個體，在不同迭代階段動態(tài)調整算法的搜索維度，能有效提高算法的收斂精度；文獻［15］選擇三種不同搜索策略，并提出進化率反映搜索策略適應性，算法根據(jù)進化率自適應調整搜索策略的選擇，實現(xiàn)多策略協(xié)同搜索；文獻［16］則依據(jù)蜜源適應度排序并作為加權值，構造虛擬的加權中心蜜源與當代最優(yōu)解比較，選擇更好的解進行全維度引導，可加快算法的收斂速度，增強局部開發(fā)能力；文獻［17］為彌補原搜索方程在求解復雜優(yōu)化問題時開發(fā)能力不足的缺陷，利用種群中多精英信息形成精英群組，并基于精英群組引入兩個搜索方程來引導蜜源搜索，在增強開發(fā)能力的同時保持種群多樣性，該策略對于Griewank、Penalized等多峰函數(shù)能找到全局最優(yōu)，但對于單峰函數(shù)的收斂精度仍有較大提升空間；文獻［18］在搜索方程中引入K-鄰域結構，并設置自適應策略來調整鄰域半徑，以此來適應算法迭代過程中探索和開發(fā)能力的需求變化，測試結果顯示該策略對多峰函數(shù)收斂性能有一定提升；文獻［19］在提出改進搜索方程的同時，探討ABC算法中偵查蜂機制的不足，設計了三種不同的偵查蜂生成機制，選擇其中最優(yōu)候選解作為生成的新個體，通過提升算法生成新解質量來提升算法性能；文獻［20］則提出一種采用隨機局部最優(yōu)個體引導的改進鄰域搜索策略，一方面能有效解決原算法搜索方程開發(fā)能力不足的問題，另一方面區(qū)別于文獻［10］中全局最優(yōu)個體引導搜索，可在一定程度上增強算法跳出局部最優(yōu)的能力，但對于sphere、elliptic、Schwefel等單峰函數(shù)收斂精度不夠。

實驗結果表明，上述文獻針對ABC算法的不足進行了不同側重和層面的改進，雖能在一定程度上提升算法的收斂性能，但面對不同的優(yōu)化問題時，算法的全局尋優(yōu)能力和魯棒性則大幅下降。因此，如何更好地平衡全局探索和局部開發(fā)能力，使算法具備更好的問題適用性，仍需更進一步深入研究。

鑒于此，本文在前人研究基礎上受社會學家格蘭諾維特提出的強弱關系理論啟發(fā)［21］，嘗試將社會關系學中強弱關系模型化并引入ABC算法來平衡其探索與開發(fā)能力，結合偵查蜂反向學習機制提出一種新的改進ABC算法。具體工作如下：

首先，區(qū)別于原ABC算法中個體的線性排列，提出一種矩陣式排布的蜂群結構。在每一次迭代中，定義當前個體所在行、列的最優(yōu)個體為其強關系，利用強關系個體的較優(yōu)解隨機從三個方向來引導搜索過程，可加快算法收斂并提升收斂精度，并通過這種隨機性增強生成新解的多樣性。

其次，定義“弱關系”交互模型，在每次迭代中當前個體依一定概率與其弱關系個體進行位置互換，實現(xiàn)矩陣式結構中子群間的信息交互，以此平衡改進算法中強關系的過度引導，防止種群信息重復度迅速升高，增強算法跳出局部最優(yōu)的能力。

再者，于偵查蜂階段引入反向學習機制并確定合適的蜜源上限，一方面可提升生成解的質量，另一方面限制在同一區(qū)域重復搜索次數(shù)，可有效減少目標函數(shù)評價次數(shù)的浪費。

最后，通過基準函數(shù)的數(shù)值實驗并與12種算法對比，所提改進ABC算法能有效求得大部分函數(shù)的全局最優(yōu)解，對于quartic、Rosenbrock、Schwefel、NC Rastrigin、Ackley等函數(shù)在收斂精度上顯著提升且保持良好魯棒性，并在高維函數(shù)優(yōu)化問題中表現(xiàn)出相對較好的適用性。

1 人工蜂群算法

人工蜂群由雇傭蜂、跟隨蜂和偵查蜂三種角色分工組成，在協(xié)作過程中，雇傭蜂負責搜索蜜源并將蜜源信息反饋給跟隨蜂，跟隨蜂則優(yōu)先選擇較好的蜜源進行跟隨并在蜜源附近搜索，當達到開采蜜源上限，而新的蜜源質量沒有得到提升，相應的雇傭蜂將轉變?yōu)閭刹榉洳⒅匦码S機搜索蜜源。在求解優(yōu)化問題時，蜂群個體與蜜源一一對應，其位置為優(yōu)化問題的解，蜜源質量為優(yōu)化問題的適應度值。原ABC算法的流程如圖1所示。

式（1）為原ABC算法的搜索方程：

其中：vi，j為新蜜源的第j維分量；φi，j為［-1，1］均勻分布的隨機數(shù)；xk，j為蜜源k的第j維分量，且滿足k≠i。

式（2）為隨機生成新蜜源公式。

其中：Lbj、Ubj分別為第j維分量的下界和上界。

2 改進人工蜂群算法

2.1 強關系引導的改進搜索方程

美國社會學家格蘭諾維特提出的強弱關系理論開創(chuàng)了社會學中關于關系網(wǎng)絡研究的全新領域。實證研究發(fā)現(xiàn)，相較于關系緊密的人而言，一般的陌生人更能帶來有價值的信息，這一有趣的社會現(xiàn)象也被格蘭諾維特解釋為弱關系的力量 ［21］。在社會關系學中，強關系作為紐帶將群體內各部分相互連接，弱關系則作為群體間信息交流的橋梁，在群體信息重復度較低的情況下，發(fā)揮獲取新資源的重要作用。一方面由于ABC算法中蜂群社會和分工的特殊性，搜尋蜜源時個體間的信息交流是種群協(xié)同的基石，這也形成了強弱關系理論應用的社會基礎。另一方面原ABC算法中搜索方程開發(fā)能力不足，而強關系個體適應度較好，子群內個體搜索受強關系引導可以有效提升算法收斂效率。但為防止快速收斂過程中種群信息趨同，弱關系機制使得個體可以在子群間互換，以實現(xiàn)子群間的信息交流。為便于理解，下文中對蜜源位置與蜜蜂個體位置不加以區(qū)別。在前人研究基礎上，本文提出一種由強關系引導的改進搜索策略。在原線性排列的人工蜂群中，依照給定子群大小m按順序將蜂群劃分為n個子群，將所有蜂群個體按矩陣形式重新排列。對于個體xi定義其所在行、列最優(yōu)個體為其強關系，該個體在搜索蜜源時可隨機從三個方向受其強關系引導，如圖2所示。

通過這樣的改進搜索策略，在確保大致收斂趨勢的情況下，利用三個方向的隨機性可使搜索方程具備一定程度的跳出局部最優(yōu)的能力。改進后搜索方程如式（3）～（5）所示。

其中：rowbesti，j、colbesti，j分別為個體xi所在行、列強關系個體的第j維分量；ω∈{0，0.5，1}為強關系影響系數(shù)，用于控制個體xi受強關系引導的方向，可設置等概率或非等概率選擇；sti，j為個體xi的加權強關系的第j維分量；MCN為最大迭代次數(shù)，iter為當前迭代次數(shù);phij為精度系數(shù)，隨迭代次數(shù)不斷減小。

這種由強關系引導的改進搜索策略，相比原搜索方程在收斂速度和收斂精度上都有很大提升，但蜂群中強關系個體的過度引導，會使得種群內信息重復度升高、種群多樣性減小，可能導致算法陷入局部最優(yōu)。在社會關系網(wǎng)絡中，正如強關系是側重個體之間的聯(lián)系深度，弱關系則是利用不同個體的聯(lián)系廣度，然而往往這種陌生、不同的個體更能成為群體中重要的信息橋梁。對應到改進ABC算法中，強關系策略用于加快算法收斂速度并提高收斂精度，而弱關系機制則可有效增強算法跳出局部最優(yōu)的能力。

2.2 弱關系引導的信息交互機制

在多種群結構的人工蜂群中，假設對于滿足交互概率Pc的個體xi，隨機選取其所在行的另一個體xk，定義xk所在列最差個體xw為其弱關系個體。當蜂群完成搜索后，個體依概率依次與其弱關系位置互換，通過這種由“弱關系”引導的信息交互機制，可一定程度增加種群多樣性，增強算法跳出局部最優(yōu)的能力。具體過程如圖3所示。

改進算法中原有子群內個體xi在受到其強關系引導后，逐步向較好的蜜源位置靠攏，但僅靠這樣的收斂過程，會使得種群內信息重復度快速升高、種群多樣性迅速減少。通過這種由弱關系引導的信息交互機制協(xié)同互補，某一子群內個體xi向其強關系靠攏時，可能發(fā)生與另一較差個體xw的位置互換，這樣的互換使得原個體和較差個體的強關系都發(fā)生改變，相應的其受到的引導方向也會發(fā)生變化，即在收斂的過程中仍保持一定的隨機性，一方面讓個體xi在收斂時出現(xiàn)方向的改變，擴大解空間的搜索范圍，另一方面讓各子群內的個體發(fā)生變化，增加種群的多樣性。

由弱關系信息交互的過程機制可知，其交互概率Pc反映了弱關系在種群中的影響程度。當給定Pc=0時，表示種群中弱關系影響程度為零，對強關系引導的改進搜索策略將不產(chǎn)生影響；而當Pc=1時，即表示種群中弱關系個體將完全發(fā)揮影響作用，相反地可能使得受強關系引導的子群個體難以準確收斂，對算法性能造成一定程度的負面作用。通過重復性實驗，本文算法中選取弱關系交互概率為0.3～0.7時，在確保足夠的收斂效率、精度前提下，算法具備較好的跳出局部最優(yōu)的能力。

在本文提出的改進ABC算法中，通過這樣的強弱關系協(xié)同互補，算法在迭代過程中能較好地平衡搜索的深度和廣度，從而有效提高全局尋優(yōu)效率和精度。

2.3 偵查蜂的反向學習策略

反向學習（opposition-based learning，OBL）作為一種新的智能計算策略在2005年被提出，目前已經(jīng)廣泛應用于基于群體的進化算法中［22～27］。實驗結果表明，對于缺乏先驗知識的一般優(yōu)化問題，反向學習生成的對立解比隨機解達到全局最優(yōu)的概率更高［22］。相對來說，原ABC算法中偵查蜂機制在迭代后期，由式（1）隨機生成的蜜源質量不佳，對應生成新解的函數(shù)適應度較差，且占用大量目標函數(shù)評價次數(shù)。基于此問題，本文引入偵查蜂的反向學習策略，并確定適當?shù)拿墼瓷舷蓿环矫嫫谕岣叩笃陔S機生成解的質量，另一方面避免算法在較差蜜源附近過度搜索，減少評價次數(shù)浪費。反向學習公式如下：

其中：xopi，j為對應xi，j的反向解；R取值為1。

改進ABC算法實現(xiàn)流程如圖4所示。強弱關系機制實現(xiàn)偽代碼如下：

算法1 強弱關系機制實現(xiàn)

輸入：當前種群pop、fitness；種群數(shù)量SN；子群大小、數(shù)量m、n。

輸出：個體對應的強弱關系。

a）for x=1∶n //對每行循環(huán)

取出該行所有個體

選出其中fitness最好的個體作為該行的強關系個體1

將強關系個體1標記在rowbest中

b）for y=1∶m //對每列循環(huán)

取出該列所有個體

選出其中fitness最好的個體作為該列的強關系個體2

選出其中最差個體作為該列的弱關系個體

將強關系個體2標記在colbest中

將弱關系個體標記在colworst中

c）for i=1∶SN //在一次迭代中

//計算當前個體所在矩陣中行數(shù)、列數(shù)

row_index=ceil（i/m）

col_index=i-（row_index-1）m

強關系個體1=rowbest［row_index］

強關系個體2=colbest［col_index］

隨機取colworst中不同于col_index列的個體作為弱關系

…

按照式（5）搜索新蜜源

依概率將當前個體位置、適應度、蜜源上限與其弱關系交換

3 數(shù)值實驗

為測試SWT-ABC性能，選用文獻［19，20，28，29］中20個常用可變維度函數(shù)進行數(shù)值實驗，并與四種改進ABC算法、八種其他改進智能優(yōu)化算法進行跨文獻比較。以下測試均基于MATLAB R2014a平臺，在操作系統(tǒng)為Windows 8.1、處理器為Intel CoreTM i5-4210U、內存為8.00 GB的實驗機器上進行，記錄30次獨立尋優(yōu)結果。測試函數(shù)如表1所示，函數(shù)類型U表示單峰、M表示多峰、S表示可分函數(shù)、N表示不可分函數(shù)，其中單峰函數(shù)一般用于測試算法的開發(fā)能力，而多峰函數(shù)則用于評價算法的探索能力。通過查閱文獻發(fā)現(xiàn)多數(shù)改進算法對于函數(shù)f6和非凸函數(shù)f9收斂精度較低，由于多峰函數(shù)f4、f14、f17存在較多局部最優(yōu)點，許多算法在收斂時容易陷入局部極值，難以平衡探索和開發(fā)能力的不同需求。

3.1 參數(shù)分析

首先，本文算法中種群數(shù)量SN由子群大小m和數(shù)量n決定，在給定評價次數(shù)條件下m、n的不同設置關系算法的最大迭代次數(shù)，進而一定程度上影響算法的性能。另外，蜂群在搜索蜜源時受到強關系引導，即參數(shù)m、n決定強關系影響范圍。又因為本文改進搜索方程未考慮行、列強關系非等權重引導，故設定m=n為較優(yōu)策略。當設定m、n過大時，算法在迭代初期分散程度較大，當評價次數(shù)一定時，算法因迭代次數(shù)不夠可能導致最終收斂精度不高；而當設定參數(shù)m、n過小時，算法因種群多樣性過少且強弱關系機制性能下降而容易陷入局部最優(yōu)。通過重復性測試，當m、n設置為5～7時算法具備較好的綜合收斂性能。

其次，本文算法中對蜜源上限L=β×D×SN的不同設置，一方面會影響偵查蜂反向學習的總數(shù)量，決定了反向解搜索的范圍，另一方面又影響在同一蜜源處重復搜索的次數(shù)。從這兩個角度來看，改進算法中蜜源上限的合理設置，可以控制偵查蜂生成數(shù)量，減少蜂群在較差蜜源附近過度搜索的資源浪費，提高目標函數(shù)評價次數(shù)的利用效率。為便于檢驗蜜源上限的不同取值對算法性能的影響，選取f5、f6、f9三個單峰函數(shù)及f14、f15、f16三個多峰函數(shù)進行測試，設置問題求解維度D=30，目標函數(shù)評價次數(shù)MaxFEs=5 000D，另外設置弱關系交互概率Pc=0.3，均值指標結果如表2所示。

根據(jù)表2結果可知，在給定測試條件下，當蜜源上限設置較大時，偵查蜂生成數(shù)量較少，使得算法在函數(shù)f5、f6、f16測試中收斂穩(wěn)定性不高，導致平均收斂精度較低，故有必要選擇較小的蜜源上限，使偵查蜂反向學習機制得到更好的利用。但另一方面，當蜜源上限過小，則會使得算法在同一蜜源附近搜索次數(shù)不夠，導致函數(shù)f9、f14、f15在測試中平均精度和成功率下降。經(jīng)綜合對比，本文算法中β系數(shù)取值0.1左右較為合適。

3.2 改進策略有效性分析

為驗證三種策略對ABC算法改進的有效性與合理性，以及分析不同策略對于算法的改進影響程度，現(xiàn)定義ABC算法融合反向學習策略為模型1（ABC-1）；ABC算法融合強關系策略為模型2（ABC-2）；由于單獨的弱關系交互機制對算法性能不產(chǎn)生影響，故定義ABC算法融合強弱關系協(xié)同機制為模型3（ABC-3）。將上述三個改進模型同改進算法SWT-ABC進行仿真實驗，設定種群規(guī)模為25，改進算法中選定m=n=5，維度D=30，設定MaxFEs=5 000 D，其中ABC-3與SWT-ABC中弱關系交互概率Pc=0.3，測試均值指標和Friedman檢驗排名如表3所示。

由表3數(shù)據(jù)可知，相比原ABC算法，融合偵查蜂反向學習的ABC-1模型在收斂精度上有小幅提升，這也進一步驗證了合適的蜜源上限設置下偵查蜂反向學習的有效性。另外，融合強關系引導的ABC-2模型在收斂精度上得到大幅提升，其中f4、f7、f12、f14、f15、f17、f18均可收斂至全局最優(yōu)點，但對于f9～f11、f13收斂魯棒性較差，易陷入局部最優(yōu)。對比ABC-2與ABC-3模型結果，當強關系策略與弱關系交互協(xié)同運作時，算法針對sphere函數(shù)收斂精度雖有所下降，但對于其他函數(shù)精度均有一定提升，其中NC Rastrigin收斂至全局最優(yōu)點，Schwefel 2.21、Rosenbrock、Alpine收斂精度分別提升至E-53、E-23、E-180。

圖5給出了上述算法在100次迭代過程中的收斂曲線。為簡化和說明問題，選擇不同復雜度的可分單峰函數(shù)f1、f3和不可分單峰函數(shù)f6、f9，以及典型多峰函數(shù)f14、f15進行測試。通過對比分析可知，一方面ABC-2、ABC-3和SWT-ABC最優(yōu)值均呈指數(shù)級速度下降，其收斂速度和精度要遠優(yōu)于ABC和ABC-1，其中SWT-ABC對函數(shù)f1、f3、f6迭代到100次時精度分別達到E-64、E-59、E-90，這也說明強關系引導的改進搜索方程的優(yōu)越性。另一方面對比ABC-2、ABC-3和SWT-ABC在f9函數(shù)Rosenbrock和多峰函數(shù)f14、f15上的收斂表現(xiàn)，可知對于復雜函數(shù)尋優(yōu)時，弱關系交互發(fā)揮了重要作用，能夠有效降低陷入局部最優(yōu)的概率， SWT-ABC在100次迭代內均收斂到了理論最優(yōu)點。

綜合來看，相比原ABC算法本文SWT-ABC方法在收斂速度和精度上均有大幅提升，其均值指標的Friedman檢驗rank排名為1.43，針對優(yōu)化難度大的Rosenbrock、Schwefel等函數(shù)均能穩(wěn)定收斂至全局最優(yōu)點，這也證明了本文改進策略的有效性與合理性。

3.3 本文算法與其他改進ABC算法的比較

為比較本文WT-ABC方法與其他改進ABC方法的優(yōu)劣，現(xiàn)選取ABCVSS［13］、DFSABC_elite［30］、ABCG［28］和TSaABC［29］四種較新改進ABC方法進行跨文獻對比。設定MaxFEs=5 000D，蜜源上限L=0.1D×SN，考慮到子群大小和數(shù)量對SWT-ABC性能存在一定影響，故設置m=n=5和m=n=7分別在30維和100維下進行測試，上述四種對比算法設置參照文獻［13，29］，結果如表4～6所示。

由表4結果可知，在給定測試條件下SWT-ABC算法對函數(shù)f1～f7、f9-f20均可收斂至全局最優(yōu)，對函數(shù)f8平均收斂精度為E-06等級（最優(yōu)值為接近0的隨機數(shù)），且保持較好的魯棒性，相比于其他四種改進ABC算法具有較為明顯的優(yōu)勢，其Friedman等級排名為1.93。針對優(yōu)化難度較大的f5函數(shù)Schwefel 2.22、f6函數(shù)Schwefel 2.21和f9函數(shù)Rosenbrock，其中綜合性能較好的ABCG和TSaABC收斂精度分別為E-69、E-28、E-03和E-66、E-02、E-02等級，另外對f14函數(shù)Ackley，上述四種算法均會陷入局部最優(yōu)，而本文SWT-ABC均可穩(wěn)定收斂至其理論最優(yōu)點，這是由于強關系引導的搜索方程具有良好的收斂性能，同時弱關系信息交互機制使得算法具備跳出局部最優(yōu)的能力，即在全局收斂過程中利用弱關系機制防止種群信息重復度迅速升高，避免陷入局部最優(yōu)。當問題維度變大至D=100時，如表5所示，上述其他改進ABC算法對函數(shù)f1～f6、f9的收斂精度都存在一定程度降低，而SWT-ABC仍具備良好的收斂性能，僅對函數(shù)f6的收斂精度稍有下降（E-241），但結果仍大幅度優(yōu)于上述其他算法。

綜合表6中Friedman排名以及均值、標準差指標來看，SWT-ABC算法對比上述改進算法，對于單峰函數(shù)收斂精度更高，對于多峰函數(shù)能準確找到全局最優(yōu)解，且具備更好的尋優(yōu)穩(wěn)定性。

3.4 本文算法與其他改進智能優(yōu)化算法的比較

為對比本文改進ABC方法與其他智能優(yōu)化算法的優(yōu)劣，選取文獻［31～34］中改進粒子群算法（autonomous groups particles swarm optimization，AGPSO）、改進正余弦優(yōu)化算法（opposition-based sine cosine algorithm，OBSCA）、改進灰狼優(yōu)化算法（chaotic grey wolf optimization，CGWO）、改進鯨魚優(yōu)化算法（multi-strategy whale optimization algorithm，MSWOA）進行比較，相應算法參數(shù)設置參照文獻。選定文獻［34］中10個代表性測試函數(shù)，設定MaxFEs=3×104，子群大小和數(shù)量m=n=5，其他參數(shù)設置不變，測試結果如表7所示。

通過對比結果可知，在目標函數(shù)評價次數(shù)較少情況下，相比MSWOA算法，本文SWT-ABC算法在單峰函數(shù)f1～f4收斂精度上精度稍低（E-275、E-154、E-196、E-75），但對比AGPSO、OBSCA、CGWO算法在收斂精度上仍具備較大優(yōu)勢，另外當目標函數(shù)評價次數(shù)提升至105次時，SWT-ABC則可以完全收斂至全局最優(yōu)點。對于單峰函數(shù)f6測試中，上述四種改進算法收斂精度分別為E+00、E+00、E-01和E-04，而SWT-ABC算法則可以收斂至最優(yōu)點0；在多峰函數(shù)f12、f13測試中僅SWT-ABC能收斂至全局最優(yōu)點，且保持較好的收斂穩(wěn)定性，而其他四種改進算法均會陷入局部最優(yōu)。

綜合來看，在評價次數(shù)較少的情況下，本文SWT-ABC仍能確保足夠收斂精度，同時具備較強跳出局部最優(yōu)的能力，能夠更好地平衡算法的探索與開發(fā)能力。

3.5 高維優(yōu)化問題求解時算法性能比較

為進一步測試在求解高維優(yōu)化問題時SWT-ABC算法的性能，選取文獻［35～38］中改進粒子群算法（comprehensive learning particle swarm optimizer，CLPSO）、改進差分進化算法（composite differential evolution，CoDE）、改進和聲搜索算法（dynamic dimensionality harmony search algorithm，DIHS）、改進鯨魚優(yōu)化算法（improved whale optimization algorithm，IWOA）進行對比，相應算法參數(shù)設置參照文獻［38］。設定MaxFEs=5×106，子群大小和數(shù)量調整為m=n=7，其他參數(shù)設置不變，在1 000維度下對文獻［38］中高維測試函數(shù)進行數(shù)值實驗對比，結果如表8所示。

需要指出的是，文獻［38］中IWOA對于函數(shù)f12測試均值和標準差指標都為0，但該函數(shù)全局最優(yōu)點為（1，1，…，1）D，其理論最優(yōu)值應為1.349 783 804 395 671 6E-31。從表8測試結果來看，本文SWT-ABC算法在上述函數(shù)測試中結果均不差于其他算法，在上述六個函數(shù)測試中均收斂至全局最優(yōu)點，尤其對于f5函數(shù)Rosenbrock，僅有SWT-ABC算法能穩(wěn)定收斂至最優(yōu)值0。從均值和標準差指標來看，相比CLPSO、CoDE和DIHS三種算法，SWT-ABC算法具有較高收斂精度，同時具備較強的全局尋優(yōu)能力。整體對比表明，本文SWT-ABC方法在高維優(yōu)化問題求解中仍具備相對更好的收斂性能和問題適用性。

4 結束語

為進一步平衡ABC算法的全局探索和局部開發(fā)能力，提高算法規(guī)避局部最優(yōu)和全局精度尋優(yōu)的水平。首先，引入強弱關系模型，提出基于多子群矩陣式蜂群的強關系搜索策略和弱關系信息交互的協(xié)同機制，能較好地平衡算法的搜索深度和廣度，較好地解決了原ABC算法中探索與開發(fā)能力失衡問題；其次，于偵查蜂階段引入反向學習并合理設置蜜源上限，提高迭代過程中新生成的蜜源質量，從而減少評價次數(shù)的浪費；最后，通過與其他12種改進算法的測試對比，足以說明本文SWT-ABC算法具有更高收斂精度和尋優(yōu)穩(wěn)定性，并且在高維優(yōu)化問題求解中仍保持良好的收斂性能。因此，相對來說本文SWT-ABC算法是一種收斂性能優(yōu)且魯棒性好的優(yōu)化方法，具有一定的參考價值。但本文工作中仍存在一些不足之處，如蜜源上限的確定是依靠測試性結果，缺少理論層面的研究與驗證，后續(xù)工作將基于SWT-ABC方法下蜜源上限設置的理論證明和實際離散、約束優(yōu)化問題的求解進行進一步研究。

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收稿日期：2022-08-06；修回日期：2022-10-08 基金項目：國家自然科學基金面上項目（71771091）；國家社會科學基金面上項目（19BJL068）；2019年中央高校科研業(yè)務費重點項目（XYZD201911）

作者簡介：劉小龍（1977-），男（通信作者），湖南永州人，講師，碩導，博士，主要研究方向為仿生優(yōu)化與智能計算、決策技術與信息智能化、大數(shù)據(jù)分析等（xlliu@scut.edu.cn）；董家偉（1996-），男，湖北荊州人，碩士研究生，主要研究方向為智能優(yōu)化算法．