基于K-shell位置和兩階鄰居的復雜網絡節點重要性評估方法

摘 要：K-shell分解法能快速識別復雜網絡中的關鍵節點，但是無法辨別同殼層內節點重要性的差異，并且低估了處于網絡邊緣位置的高度值節點的重要性。針對這兩個問題，提出一種基于K-shell位置和兩階鄰居的節點重要性評估方法。該方法根據K-shell分解過程中節點移除的順序細化節點的全局位置信息，然后綜合考慮節點的局部拓撲結構信息和全局位置信息，利用兩步長內鄰居節點的K-shell位置信息度量節點的重要性。在八個真實網絡上用傳染病模型進行仿真實驗，結果表明，所提方法與其他五種相關方法相比能更準確有效地評估并區分節點的重要性。

關鍵詞：復雜網絡； 關鍵節點； K-shell分解法； 兩階鄰居； 傳染病模型

中圖分類號：TP393 文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2023）03-015-0738-05

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2022.08.0402

Evaluation method of node importance in complex networks based on K-shell

position and neighborhood within two steps

Xiong Caiquan， Gu Xiaohui， Wu Xinyun

（School of Computer Science， Hubei University of Technology， Wuhan 430068， China）

Abstract：K-shell method can quickly identify influential nodes in complex networks. However， it is hard to distinguish the differences in the importance of these nodes. In addition， it underestimates the importance of high degree nodes at the edge of the network. Aiming at these two shortcomings of the K-shell method， this paper proposed an approach based on the K-shell position and neighborhood within two steps to identify influential nodes in complex networks. It refined the global position of the node according to the removal order during K-shell decomposition. Considering the local topology and global position of nodes， the proposed method identified the influential nodes based on the K-shell position of the neighborhood within two steps. To simulate the propagation process with epidemic model on eight real networks， the experiment results show that the proposed method can identify and rank the influential nodes compared with other five relative methods with better accuracy and efficiency.

Key words：complex network; influential nodes; K-shell method; neighborhood within two steps; epidemic model

0 引言

近年來，識別復雜網絡中重要節點的研究引起廣泛的關注。所謂重要節點，就是相較于網絡中其他節點而言，能夠在更大程度上影響網絡結構與功能的特殊節點［1］。例如，交通網絡中少數路段的擁堵導致整個城市的交通堵塞，電力網絡中關鍵變電站故障可能引發大規模停電，病毒傳播網絡中的超級傳播者會大幅加速病毒的傳播，社交網絡中名人的言論傳播速度更快、范圍更廣。因此，探究有效節點重要性評估方法來識別網絡中具有影響力的關鍵節點有重要的理論意義和應用價值。

經典的節點重要性評估方法多從節點近鄰、全局路徑、特征向量和網絡位置四個角度挖掘節點的重要程度。基于節點近鄰的重要性評估方法有度中心性［2］、半局部中心性［3］和H指數中心性［4］等，度中心性只考慮節點的直接鄰居、而半局部中心性則擴大考查范圍至4階鄰居，H指數中心表示節點有h個度值不小于h的鄰居，兼顧了鄰居節點的數目和度值。基于節點近鄰的評估方法簡單直接，但考慮的節點信息有限，因此評估的結果往往并不準確。基于路徑的節點重要性評估方法有介數中心性［5］、接近中心性［6］和Katz中心性［7］等，介數中心性和接近中心分別以節點間的最短路徑數目和平均距離來刻畫節點的重要程度，Katz中心性則認為除最短路徑外的其他可達路徑同樣值得考慮，根據步長對路徑進行加權，路徑越短權重越大。基于路徑的方法時間復雜度過高，不適用于大型網絡。基于特征向量的評估方法有特征向量中心性［2］、PageRank算法［8］和LeaderRank算法［9］等，特征向量中心性通過計算網絡鄰接矩陣的特征向量得到節點的重要性分值，PageRank和LeaderRank算法通過模擬用戶瀏覽網頁的過程，使節點的重要性分值隨著訪問路徑增加。基于特征向量的評估方法既考慮了鄰居節點的數量，也考慮了鄰居節點的質量，但是這

類方法鄰間的重要性會相互增強，導致局部聚集程度高的節點的重要性容易出現虛高的現象。基于網絡位置的評估方法最常見的是K-shell分解法［10］及其改進方法［11～14］，通過判斷節點是否處在網絡的中心位置來評估節點的重要性，簡單并且高效。

一般認為，節點越靠近網絡中心位置，其影響力就越大。基于這一思想，Kitsak等人［10］開創性地提出K-shell分解法，通過遞歸剝離度小于等于K的節點將網絡逐層劃分，因其具有較低的時間復雜度而被廣泛地研究和應用，但區分度過于粗粒化，導致節點的重要性評估不夠精準。目前，許多研究工作都是以提高K-shell分解法的區分度為目的展開的。Zeng等人［11］提出了一種同時考慮剩余鄰居節點和被移除鄰居節點的混合度分解方法（MDD）。Wang等人［12］用K-shell分解時遞歸剝離的迭代次數來區分同一殼層內的節點。Bae等人［13］在改進K-shell算法時利用第二層鄰居節點的K-shell值之和作為鄰域核心度來評估節點的重要性。Wang等人［14］引入節點信息熵反映節點的影響力，依次移除每個K-shell層中信息熵最高的節點，同時兼顧核心位置和邊緣位置的高影響力節點。李懂等人［15］從多屬性融合的角度提出一種融合度和K核迭代次數的方法，綜合考慮了節點的局部和全局屬性。Yang等人［16］基于K-shell分解提出一種改進的重力模型來識別網絡中的關鍵節點。Giridhar［17］利用節點的度和K-shell值來給邊加權，將節點的全局位置信息和局部影響力相結合來體現節點的重要程度。游倩婧等人［18］提出一種基于重疊盒覆蓋的節點重要性評估方法，綜合考慮了節點自身屬性以及整個網絡的拓撲結構。現有的基于K-shell分解法的改進方法忽略了節點更確切的全局位置信息，并且沒有充分考慮鄰居節點對節點影響力貢獻的差異。

本文提出了一種基于K-shell位置和兩階鄰居的節點重要性評估方法（method based on K-shell position and neighborhood within two steps，KPN）。利用K-shell分解時節點的剝離順序細化節點的全局拓撲位置信息，在一定程度上克服了K-shell分解時同層節點無法區分的缺點。用兩層鄰居的全局位置信息量化鄰居節點對節點影響力的貢獻，這種貢獻逐層衰減。本文方法綜合了節點的全局位置與局部拓撲結構信息，對節點重要性的評估更合理。

1 理論基礎

1.1 K-shell方法

K-shell分解法［10］是一種粗粒度化的節點重要性分類方法，根據節點位置信息由邊緣到核心逐層劃分網絡。K-shell值反映了節點在網絡中的全局位置，K-shell值越大，節點的位置越核心，節點也就越重要。K-shell分解法的步驟如下：a）計算網絡中所有節點的度數，取最小的度值記為K；b）刪除網絡中所有度為K的節點，更新網絡并重新計算度值，遞歸刪除度小于等于K的節點直到網絡中的節點度都大于K，將刪除的節點都標記為K-shell；c）重復步驟a）b），直到網絡中所有節點都被剝離，并標記了K-shell值。

1.2 SIR模型

經典傳染病模型有SI［19］、SIR［20］和SIS［21］，常用于信息傳播過程仿真，其中應用最為廣泛的就是SIR模型。本文采用SIR模型對節點的影響力擴散過程進行仿真實驗，將實驗結果作為節點的真實影響力，并以此為目標值評價節點重要性評估方法的有效性。在SIR模型中，每個節點都有一個狀態：易感染（susceptible state）、感染態（infected state）、恢復態（recovered state）。初始時，除一個節點是感染態以外，所有節點都為易感染態，在每一個時間間隔內，感染態的節點都以概率β去感染它易感染狀態的鄰居，以概率γ轉為恢復狀態，一旦恢復就會免疫不再被感染。這個過程重復執行直到網絡中沒有感染態的節點。傳播停止時恢復節點的數目作為初始感染節點的傳播能力，即影響力。不失一般性，本文設定傳播閾值βth =〈k〉/〈k2〉，感染率β在傳播閾值附近取值，恢復概率γ為1。執行傳播過程100次取平均值作為節點的真實影響力。

1.3 SI模型

SI模型是最簡單的傳染病模型，本文采用SI模型模擬節點影響力擴散的過程，根據網絡中節點狀態變化的快慢評價各節點重要性評估方法的優劣。在SI模型中，網絡中的節點可能的狀態只有易感染（susceptible state）和感染態（infected state）兩種。在每一個時間間隔內，感染態的節點都以概率β去感染它易感染狀態的鄰居，節點一旦被感染則永遠無法恢復，并且還具備感染其他易感染態節點的能力，直到網絡中所有節點都處于感染態，傳播過程結束。感染率β在傳播閾值βth附近取值，為減小隨機誤差，實驗結果取100次實驗的平均值。

2 基于K-shell位置和兩階鄰居節點重要性評估法

2.1 同K-shell值節點的重要性區分方法

用K-shell值代表節點的重要性過于粗略，大量結構和功能存在明顯差異的節點具有相同的K-shell值。遞歸移除過程中的移除順序隱含了同一K-shell層內節點之間的相對位置信息，遞歸層次越深，節點越晚被移除，節點的位置也越靠近下一殼層。因此，可以用節點的移除順序確定節點在同層殼內的位置信息。標記節點移除順序R-order的過程如下：a）計算網絡中所有節點的度，取最小的度值記為K，并且將所有節點的R-order值初始化為1；b）刪除網絡中所有度為K的節點，將這些節點的移除順序標記為R-order，更新網絡并重新計算度值，遞歸刪除度小于等于K的節點并標記相應的R-order，直到網絡中的節點度都大于K，在每一次遞歸的過程中，R-order值遞增1；c）重復步驟a）b），直到網絡中所有節點都被剝離，并標記了R-order。

如圖1所示，根據R-order在K-shell層內繼續分層，具有相同K-shell值的節點之間的差異更加明顯了，節點在網絡中的位置也更精準。考慮遞歸移除順序的K-shell位置信息KPi為

其中：ks為節點vi的K-shell值；ks|next為下一殼層的K-shell值;Ri為節點vi的移除順序R-order的值;Rmax為節點vi這一K-shell節點移除順序的最大值。另外，當節點處于K-shell值最大的殼層時，ks|next=ks+1。圖1中所有節點的KP值計算結果如表1所示。不難看出，KP值比K-shell值能更進一步區分節點的重要性，KP值反映的節點在網絡中的位置信息也更加詳細。

2.2 兩階鄰居對影響力的貢獻

詳細的K-shell位置信息KP在一定程度上識別了同殼層內節點的重要性差異，但基于網絡全局屬性的度量不可避免地忽略了節點的鄰域結構信息，而節點影響力的傳播往往發生在有限的范圍內［22］，因此，節點的局部傳播能力更能反映節點的影響力。一般認為，節點的影響會擴散到有效范圍內的鄰居節點，反之，節點的影響力是有效范圍內鄰居節點共同影響的結果。考慮到影響力的傳播具有有效范圍有限和逐級衰減的特性，所以僅考慮兩步長內的鄰居節點，并且直接鄰居對節點的影響大于間接鄰居。另外，具有不同影響力的鄰居對節點的影響力的貢獻必然不同，將詳細的K-shell位置作為鄰居節點對節點影響力的貢獻值，既體現了這種貢獻的差異，還兼顧了節點的全局位置信息。因此，對兩步長內鄰居節點的KP值加權求和來度量節點的影響力。基于以上分析，計算節點影響力的公式為

其中：0≤β≤α≤1，α + β = 1。為不失一般性，本文實驗中， α=0.7，β=0.3，j∈Γ（i）為vi的一階鄰居節點集，k∈Γ（j）為vj的二階鄰居節點集。

2.3 實例分析

圖1中網絡在KPN方法及其對比方法下的排序結果如表2所示。由表2可知，DC方法［2］、KS方法［10］和MDD方法［11］對節點重要性的區分能力明顯低于另外三種方法。KSIF方法［12］中節點c的排名比節點a靠前，節點e的排名比節點f靠前，但是節點a與c的網絡位置相同，鄰居卻比節點c多，并且刪除節點a后網絡將不是一個連通圖，顯然節點a比節點c更重要，節點e與f同理。IKS方法［14］中節點k比節點e靠前，其他五種方法則相反，雖然節點k的鄰居數量比節點e多，但節點e鄰居的質量要更好，并且節點e比節點k更靠近網絡核心，綜合來看節點e的排名應該優于節點k，因此KPN方法的排序結果最優。

2.4 時間復雜度分析

本節將對KPN算法進行時間復雜度分析，其具體計算步驟如算法1所示。首先，標記每個節點的K-shell內移除順序Ri，其時間復雜度為O（m + n）。根據ks值和移除順序Ri遍歷圖中的每個節點求其詳細的K-shell位置KP，其時間復雜度為O（n）。其次，根據兩階鄰居的KP值計算節點的KPN 值，需要遍歷節點的一階、二階鄰居，每階平均訪問〈k〉個節點，所以時間復雜度為O（n ×〈k〉2）。由此可以看出，KPN算法的時間復雜度取決于KPN值的計算，時間復雜度為O（n ×〈k〉2），其中，n為網絡的節點數，〈k〉為網絡的平均度。

算法1 KPN算法

輸入：復雜網絡數據集圖G（V，E）。

輸出：每個節點的重要性得分值KPN。

for i=1 to n

KP［i］←ksi+Rimax（Ri）+1（ksnext-ksi）

end for

for i=1 to n

KPN［i］←KP［i］

for 節點j為節點i的鄰居

KPN［i］←KPN［i］+α×KP［j］

for 節點k為節點j的鄰居

if k = i //節點的二階鄰居為自身

continue

end if

KPN［i］←KPN［i］+β×KP［k］

end for

end for

end for

表3列出了六種不同評估方法的時間復雜度，這六種評估方法所包含的網絡信息有局部、全局和兩者混合三種類型。其中n為節點總數，m為連邊總數，一般的n＜m，〈k〉為網絡的平均度。

3 實驗數據與結果分析

3.1 實驗數據

為了評價算法排序結果的準確性，本文選取了八個真實網絡數據集，如表3所示，實驗過程中將這些真實網絡均視為無權無向圖。這八個真實網絡分別是：a）Jazz［23］，爵士音樂家合作網絡；b）USAir［24］，1997年美國航班路線網絡；c）Email［25］，西班牙Rovira大學電子郵件網絡；d）PowerGrid［26］，美國電力網絡；e）Hamsterster，名為Hamsterster的網站上用戶之間的親友關系網絡；f）Hepth［27］，高能理論科學家合作網絡；g）PGP［28］，隱私保護算法的用戶網絡；h）Enron［29］，電子郵件交流網絡。網絡的統計特征如表4所示，其中n為節點數，m為邊數，〈k〉為網絡平均度，c為聚類系數，〈d〉為平均最短路徑，βth為SIR模型傳播閾值，β為實際傳播率取值。

3.2 評價標準

3.2.1 相關性指標

為了評價節點重要性排序算法的有效性，需要求算法得出的排序結果與真實影響力排序序列的相關性。利用肯德爾系數［30］來測量兩個排序列表的相關性，一個排序列表為節點重要性排序算法得出的排序結果，另一個是應用SIR模型獲得的節點真實影響力排序列表。肯德爾相關系數的值越大，說明該節點重要性評估算法的效果越好。假設存在兩個包含n個節點的序列X和Y，從排序列表X和Y中隨機選擇一對觀察組（xi ，yi） （xj，yj），如果xi＞xj ， yi＞yj（或者xi＜xj，yi＜yj）則說明觀察組是相關的（concordant），若xi＞ xj，yi＜yj（或者xi＜xj ， yi＞yj）則說明是不相關的（discordant）。對于序列X與Y，肯德爾相關系數τ的定義如下：

τ（X，Y）=nc-nd（nt-nt1）（nt-nt2）（3）其中：nc是相關觀察組的數量；nd是不相關觀察組的數量；nt=n（n-1）/2，n是排序向量里元素個數；nt1=∑iti（ti-1）/2;nt2=∑jtj（tj-1）/2。將X中的相同元素組成小集合，ti表示第i個集合所包含的元素數。

3.2.2 單調性指標

單調性指標［13］反映了重要性排序結果的單調程度，單調性指標值越大，具有相同重要性的節點數目越少，算法的效果就越好。單調性指標的定義如下：

其中：R為節點重要性排序算法得到的重要性排序向量;N為網絡的節點個數；Nr為重要性相同的節點數量。M（R）∈［0，1］，當M（R）=1時，排序向量R完全單調，表示網絡中所有節點的重要性都不同；當M（R）=0時，則表示網絡中所有節點的重要性都相同。

3.3 實驗結果分析

本文選取度中心性（DC）［2］、K-shell分解法（KS）［10］、混合度分解法（MDD）［11］、K-shell分解迭代特征法（KSIF）［12］、改進的K-shell分解法（IKS）［14］作為對比方法，并記錄了不同的節點重要性評估方法在八個真實網絡數據集中的實驗結果，從有效性、單調性兩個方面比較不同節點重要性評估方法的表現。

3.3.1 有效性分析

為了驗證KPN算法的有效性，對比各節點重要性評估方法的排序結果與在不同傳播概率下SIR模型得到節點影響力排序結果之間的肯德爾相關系數。如圖2所示，傳播率β在βth附近取值，垂直虛線的橫坐標取值為βth。

在PowerGrid 和Hepth數據集中，各評估方法的相關系數隨著傳播率的升高反而降低，DC、K-shell和MDD三種方法下降尤為明顯。因為在傳播率較小時SIR傳播的范圍局限于節點的鄰域，當傳播率過大時，感染態的節點會快速影響到整個網絡，從而無法有效識別出關鍵節點。節點的度或全局位置等單一網絡信息不能全面地反映節點的真實影響力，這種缺陷在稀疏網絡中表現尤為明顯。而在Jazz、Email、Hamsterster、PGP和Enron數據集中，當傳播率β接近或大于βth時，KPN算法與節點真實影響力的相關性顯著高于其他算法，說明KPN算法得出的節點重要性排序結果更接近節點真實影響力排序結果，尤其在聚類系數較低的網絡中。總體上，KPN算法的相關系數表現優于其他方法，與IKS方法在一些數據集上結果較為接近。

為了進一步評估KPN算法的有效性，即能否準確識別復雜網絡中的關鍵節點，在SI模型上再進行傳播仿真實驗，選取各評估方法得分前十的節點作為初始感染節點，記錄網絡中感染態節點數目F（t）隨時間步長t的變化情況。如圖3所示，在Jazz和USAir網絡中，以KPN算法評估的重要性排名前十的節點作為初始感染節點時，網絡中感染節點數目上升的速度是最快的，說明KPN算法識別出的網絡關鍵節點能在網絡中更快速地傳遞信息，影響力最大。而在Email和PGP網絡中，傳播初期，KPN算法的效果略差于IKS算法，是因為網絡較為稀疏，信息不容易擴散；但在當傳播進行一段時間后，感染節點數目加速上升，KPN算法得分前十的初始感染節點率先感染了網絡中的所有節點。整體來看，KPN算法更能準確地識別網絡中最具影響力的節點。

3.3.2 單調性分析

為了比較不同節點重要性排序算法對節點重要性的區分能力，采用單調性指標M（R）來量化這一能力。不同評估方法在八個真實網絡數據集中得出的節點重要性排序的單調性指標如表5所示。

KPN算法在八個數據集中都有優異表現，在Jazz、USAir、Email、Hamsterster、PowerGrid、Hepth、PGP七個數據集中的排序結果的單調性指標高于其他方法，而且數值接近為1。在Enron數據集中排序結果的單調性指標僅次于最高值。因此，KPN算法相較其他五種方法能夠更好地區分節點的重要性。

4 KPN方法的最優α值分析

不同網絡中節點的一、二階鄰居對節點重要性的貢獻程度可能不同， 因此KPN方法的最優參數α值會隨網絡結構的變化而變化。為了分析參數α對KPN方法性能的影響，計算不同α值對應的KPN方法生成的節點重要性排序序列與不同傳播率下SIR生成的節點影響力序列的肯德爾系數的平均值為

〈τα〉=1n∑βmaxβminτ（KPNα，SIRβ）（5）

其中：β表示傳播率；βmin和βmax表示傳播率的最大和最小取值；n表示傳播率取值的個數；KPNα表示參數α取值時KPN方法生成的節點重要性序列；SIRβ表示傳播率為β時SIR生成的節點真實影響力序列。由于式（2）中α≥β且α + β =1，所以α取值為0.5～1，間隔為0.02，此外，將傳播區間設置為［βth-7%，βth+7%］。實驗結果如圖4所示，Jazz、USAir、Email、PowerGrid、Hepth、PGP和Enron數據集對應的最佳α值分別為1.0、1.0、0.76、0.82、0.70、0.74、0.72、0.70。由此可見，對于聚類系數較高的網絡，如Jazz、USAir和Hepth等，可適當調高α值，從而保證KPN方法可以獲得最佳性能。對于一般的網絡，KPN方法的最佳α值在0.7～0.8。

5 結束語

本文提出一種KPN方法，能有效評估節點的重要性并對其排序。KPN方法綜合了節點的全局位置信息和鄰域傳播力，既通過K-shell分解時節點移除的順序細化全局位置信息，改進了K-shell方法區分粗粒度的缺點，又利用節點的鄰域結構充分反映節點的局部傳播能力。最后，在八個真實網絡數據集上實驗驗證的結果表明，與其他節點重要性評估方法相比，KPN方法能夠更加有效地區分節點的重要性，并能準確評估節點的重要程度。本文方法雖然改進了K-shell分解法并取得了較好的表現，但仍可從以下方面繼續優化改進。例如，網絡中所有的邊的重要程度都被視為相等的。實際上，不同的邊對網絡結構和功能的影響不同，甚至與同一個節點相連的不同邊對節點重要程度的影響也不同。探究連邊對節點重要性刻畫的作用，尋求有效的邊加權方法將是后續研究工作的重點。

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收稿日期：2022-08-06；修回日期：2022-10-10 基金項目：國家自然科學基金資助項目（61902116）；湖北省科技計劃資助項目（2021BLB171）；湖北工業大學綠色工業科技引領計劃資助項目（CPYF2017008）

作者簡介：熊才權（1966-），男，湖北鄂州人，教授，博士，主要研究方向為辯論模型和復雜網絡；古小惠（1998-），女（通信作者），湖北紅安人，碩士研究生，主要研究方向為復雜網絡節點重要性（1227815677@qq.com）；吳歆韻（1987-），男，江蘇丹陽人，副教授，博士，主要研究方向為圖與組合優化算法．