概念是怎樣開花的

摘要：概念教學(xué)要從重視概念的生長過程開始，立足學(xué)生的已有認(rèn)知進(jìn)行適切的教學(xué)設(shè)計，結(jié)合課堂的真實(shí)生成逐步引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生在一以貫之的結(jié)構(gòu)主線上觀察、分析、發(fā)現(xiàn)、突破、創(chuàng)造，使概念在教學(xué)活動中自然地生根、發(fā)芽、開花、盛放．

關(guān)鍵詞：概念教學(xué);生長過程;結(jié)構(gòu)主線;整體性;一致性;發(fā)展性

概念是數(shù)學(xué)邏輯的基礎(chǔ)，是學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)的起點(diǎn)．在初中數(shù)學(xué)的課型中，概念教學(xué)往往難度較大．如何突破這個教學(xué)難點(diǎn)呢？卜以樓老師指出，數(shù)學(xué)概念教學(xué)，要重視概念的生長過程，生長過程源于概念產(chǎn)生的事實(shí)背景．所以，教師要選擇適切的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生親歷建立數(shù)學(xué)概念的思維之路，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念形成、生長之魅力[１]．受此啟迪，筆者以蘇科版八年級上冊“一次函數(shù)（第１課時）”為例，進(jìn)行了實(shí)踐和思考．

１定位與設(shè)計

１．１ 教學(xué)內(nèi)容

在初中階段，學(xué)生會學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，這三種函數(shù)都是基于代數(shù)式的結(jié)構(gòu)來定義的．?義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（２０２２年版）?指出“教師應(yīng)把握數(shù)與式的整體性”[２]，這個整體性完全可以延伸到函數(shù)的教學(xué)中．筆者將本節(jié)內(nèi)容設(shè)置為“舉出不同的函數(shù)實(shí)例，根據(jù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)初步認(rèn)識不同種類的函數(shù);初步認(rèn)識一次函數(shù)（正比例函數(shù)）”，引導(dǎo)學(xué)生從宏觀的角度鳥瞰初中階段的函數(shù)全貌．

１．２ 主問題串設(shè)計

（１）你能發(fā)現(xiàn)身邊的函數(shù)嗎？

（２）你能找到結(jié)構(gòu)不同的函數(shù)嗎？

（３）根據(jù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)，將以上函數(shù)分類．

（４）哪些函數(shù)是一次函數(shù)（正比例函數(shù)）？

２ 實(shí)踐與說明

２．１ 身邊的函數(shù)

問題１ 我們班共２９人，有１位同學(xué)缺勤，實(shí)到２８人．這里其實(shí)就蘊(yùn)涵著函數(shù)關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)了嗎？

師生活動：

生１：如果缺勤的同學(xué)有x 人，實(shí)到y(tǒng) 人，那么①y＝２９－x．

師：y 是x 的函數(shù)嗎？ 為什么？

生２：是的，因?yàn)閷 的每個值，y 都有唯一的值與它對應(yīng)．

師：很好！ 另外，該函數(shù)源于實(shí)際，還應(yīng)確定自變量的取值范圍，這里的x 可以取哪些值呢？

生３：x 是一個正整數(shù)，并且１≤x≤２９．

說明：該實(shí)例是貼近學(xué)生實(shí)際的一次函數(shù)，學(xué)生容易理解和接受．一次函數(shù)是函數(shù)的外延，從實(shí)例出發(fā)，感受實(shí)例中函數(shù)的特征是形成概念的必經(jīng)之路．

問題２ 我們的身邊有形形色色的函數(shù)，你能再舉出一個函數(shù)的實(shí)例嗎？

師生活動：學(xué)生舉出函數(shù)的實(shí)例，并說出表達(dá)式，老師板書并引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考．

生４：一個水池原來有水５０m３，如果放水速度是５m３/h，且放水x h后還有y m３．那么②y＝５０－５x．

生５：汽車油箱里有４０L汽油，行駛過程中每小時耗油２L，如果行駛x h后油箱里剩余y L油，那么③y＝４０－２x．

師：請看①～③式，怎么感覺它們非常像？

生６：它們都是一個總量減去x 的倍數(shù)．

師：難怪這么像，結(jié)構(gòu)都一樣！ 那么大家能舉出和它們結(jié)構(gòu)不同的函數(shù)嗎？

說明：教師沒有給出材料而是讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，這樣做是為了真實(shí)呈現(xiàn)學(xué)生的理解水平．看到學(xué)生舉例的辦法是換情境，教師指出以上函數(shù)的“同”，引發(fā)學(xué)生對“不同”的追索．

２．２ 不同的函數(shù)表達(dá)式

問題３ 繼續(xù)舉出函數(shù)的實(shí)例，要求函數(shù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)與以上不同．

師生活動：學(xué)生舉例，老師板書并引導(dǎo)生思考．

生７：一顆小樹高６０cm，假設(shè)它每年長高１０cm，如果x 年后小樹高為y cm，那么④y＝６０＋１０x．

師：哦，有變化了！ 從“減”到“加”了！ 不過它們的結(jié)構(gòu)仍可以看作是相同的，大家試著從代數(shù)式的類型來看一看．

生８：２９－x，５０－２５x，４０－２x，６０＋１０x 都是多項(xiàng)式，并且都是一次二項(xiàng)式．

師：有沒有函數(shù)的表達(dá)式不是一次二項(xiàng)式呢？（課堂陷入了沉默中．）

師：想不出來不著急，我們一起來看個例子．（教師畫出兩個邊長為x 的正方形．）

師：第１個正方形，若y 是它的周長，那么

生：⑤y＝４x．

師：在第２個正方形中，若y 是它的……

生：若y 是它的面積，那么⑥y＝x２．

看到不同的代數(shù)式了嗎？ 再想一想，試一試．

說明：什么是表達(dá)式的結(jié)構(gòu)？ 學(xué)生剛開始的認(rèn)識比較模糊，通過教師指明“代數(shù)式的類型”，學(xué)生對“結(jié)構(gòu)”的認(rèn)識開始明晰．由于生活經(jīng)驗(yàn)不足，學(xué)生很難想到不同的實(shí)例．教師的舉例讓學(xué)生轉(zhuǎn)變視角，從單薄的生活現(xiàn)實(shí)回歸到熟悉的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)中．

師生活動：通過閱讀補(bǔ)充材料，學(xué)生知道正比例函數(shù)的命名來自小學(xué)階段“正比例關(guān)系”．在定義的基礎(chǔ)上，學(xué)生體會兩種函數(shù)的關(guān)系，并舉出一些不同的一次函數(shù)例子．

問題５ 正比例函數(shù)和一次函數(shù)二者之間有什么關(guān)系？ 我們學(xué)習(xí)過類似的關(guān)系嗎？

生１６：正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)．

生１７：像這樣的特殊與一般的關(guān)系還有很多，比如，正方形是特殊的長方形，整數(shù)是特殊的有理數(shù)，有理數(shù)是特殊的實(shí)數(shù)……

問題６ 我們已經(jīng)舉了很多一次函數(shù)的例子，你覺得一次函數(shù)能舉得完嗎？

生１８：舉不完．因?yàn)橄禂?shù)、常數(shù)是無窮無盡的．

師：可以用什么代表無窮無盡、千變?nèi)f化呢？

生：字母！師：對，字母表示數(shù)！ 誰來試試看？

生１９：y＝ax＋b（a，b 為常數(shù)，a≠０）．（括號是在其他學(xué)生提示下加的．）

師：由于正比例函數(shù)中的自變量系數(shù)又叫做比例系數(shù)，常用k 表示．于是約定：定義２ 一般地，形如y ＝kx ＋b（k，b 為常數(shù)，k≠０）的函數(shù)叫做一次函數(shù)，其中x 是自變量，y 是x的函數(shù)．特別地，當(dāng)b＝０時，y＝kx（k 為常數(shù)，k≠０）），y叫做x 的正比例函數(shù)．

例１ 表２中，y 是x 的一次函數(shù)嗎？ 是正比例函數(shù)嗎？ 如果是，指出k 和b 的值;如果不是，指出函數(shù)的類型．

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)要先把一次函數(shù)寫成一般形式后再確定k 和b 的值．

例２ 已知一次函數(shù)y＝－２x＋３．

（１）當(dāng)x 為何值時，y＝０？

（２）當(dāng)x 為何值時，y＞２？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)y 的值確定時，實(shí)際上得到了關(guān)于x 的一元一次方程、一元一次不等式，學(xué)生初步體會方程、不等式、函數(shù)之間是可以互相轉(zhuǎn)化的．

２．５ 結(jié)語

師：今天這節(jié)課拉開了豐富多彩的函數(shù)世界的帷幕，我們會從一次函數(shù)開始踏上認(rèn)識函數(shù)、理解函數(shù)、應(yīng)用函數(shù)的征程．

３ 反思與提煉

數(shù)學(xué)概念不但是數(shù)學(xué)認(rèn)知的基礎(chǔ)，還是積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的載體，為培養(yǎng)學(xué)生“三會”提供了得天獨(dú)厚的思維平臺．概念教學(xué)不僅是教學(xué)任務(wù)，還是教學(xué)機(jī)遇．

３．１ 概念形成需要多元化的實(shí)例———真

概念的形成常始于從實(shí)例抽象，而限于篇幅，教材中往往給出的都是符合概念的完美例子．在概念教學(xué)中，應(yīng)該鼓勵學(xué)生舉出多元化的例子，學(xué)生在對比和沖突中自發(fā)摒棄不完美的例子，從而聚焦于完美例子，是概念形成的最好的模樣．事實(shí)上，這指向了學(xué)生概念學(xué)習(xí)的一個重要要素———“真”．

３．２ 概念形成要回歸到概念體系中去———貫與破

數(shù)學(xué)概念之間有嚴(yán)密、精確的關(guān)聯(lián)，任何一個概念總是概念體系中的一點(diǎn)，它們不是孤立、憑空而生的，新概念的形成往往既有“一以貫之”（合理性），又有“破而后立”（必要性）．“貫”是內(nèi)部和諧，“破”是外部需求，回到概念體系中認(rèn)識貫與破，恰是概念教學(xué)的核心任務(wù)．“貫”是繼承，“破”是創(chuàng)造，其實(shí)哪個概念的形成不是貫與破的共舞呢！

３．３ 概念形成不妨兼顧周邊概念———窮

函數(shù)的外延不止有一次函數(shù)，還有反比例函數(shù)、二次函數(shù)等．在學(xué)習(xí)一次函數(shù)概念時，由于出現(xiàn)了不同類型的實(shí)例，因此完全可以順勢而為，窮盡不同的同級概念．本節(jié)課中，同級概念的提出，不但無損于一次函數(shù)概念的形成，反而通過對比強(qiáng)化了彼此的理解．

在概念形成的過程中，“真”是土壤，“窮”是花園，“貫、破”是陽光雨露，萌發(fā)的是學(xué)生思維之芽，綻放的是學(xué)生思維之花，結(jié)出的是學(xué)生思維之果，而教師在這個生長過程中，只需培土、澆水、維護(hù)，是一個護(hù)花使者．進(jìn)一步看，“真”指向以生為本的人文教育觀念，“貫、破”指向數(shù)學(xué)教學(xué)特有的結(jié)構(gòu)意識，為教學(xué)提供了生長視角，“窮”指向無限可能的生長課堂．概念是這樣開花的，開花的不止是概念，還有學(xué)生思考的心靈．

參考文獻(xiàn)：

[１]卜以樓．生長數(shù)學(xué)：卜以樓初中數(shù)學(xué)教學(xué)主張[M]．西安：陜西師范大學(xué)出版社，２０１８：２２９Ｇ２３８．

[２]中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（２０２２ 年版）[S]．北京：北京師范大學(xué)出版社，２０２２．