例析概念教學(xué)的實施過程

數(shù)學(xué)概念是指客觀事物或現(xiàn)象的數(shù)量關(guān)系或空間形式在人們大腦中的反映．也就是說我們一旦對事物的本質(zhì)屬性產(chǎn)生了認(rèn)識，就會在腦海中形成相應(yīng)的概念．于數(shù)學(xué)學(xué)科而言，概念就是它的基礎(chǔ)或構(gòu)成細(xì)胞，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的關(guān)鍵性因素，學(xué)生只有形成了相應(yīng)的概念，才能進(jìn)行較好的思維．缺乏概念的支撐，不僅無法思維，更無法準(zhǔn)確判斷．

１ 趣味導(dǎo)入，激發(fā)靈感

布魯納曾經(jīng)說過：“學(xué)生若沒有事先從直覺上接觸過概念，貿(mào)然將概念以正規(guī)形式呈現(xiàn)在他們面前，會讓概念的學(xué)習(xí)變得力不從心．”[１]由此可見，概念的導(dǎo)入對概念教學(xué)的成效具有舉足輕重的影響．眾所周知，興趣是學(xué)習(xí)最好的老師．結(jié)合學(xué)生的心理發(fā)展特征，利用學(xué)生感興趣的方式進(jìn)行概念導(dǎo)入能起到事半功倍的效果．

常用的概念導(dǎo)入方法有以下幾種：①分析現(xiàn)實材料，抽象概念．利用貼合學(xué)生生活實際的材料，如實物、模型或圖示等，讓學(xué)生在觀察與分析中抽象出它們的特征形成概念．②結(jié)合內(nèi)在需求引入概念．每個人都有內(nèi)在發(fā)展的需求，而這種需求是推動學(xué)科發(fā)展的主要動力，教師可通過激發(fā)學(xué)生認(rèn)知矛盾的方式，促使學(xué)生產(chǎn)生探究的欲望．③類比分析，明晰概念．類比是一種重要的數(shù)學(xué)思想，我們可將生活中具有共性特征的事物羅列到一起，鼓勵學(xué)生在異同點的類比分析中明晰概念．

案例１ “平行線”的概念教學(xué)

為了激發(fā)學(xué)生對平行線的興趣，教師可讓學(xué)生觀察生活中熟悉的鐵軌、公路分流線（見圖１）等，從中抽象出它們共同的本質(zhì)屬性．

學(xué)生在觀察與交流后一致認(rèn)為它們的共同屬性是都有可以無限延長，卻永不相交的線存在．

師：還有其他補(bǔ)充嗎？

生１：應(yīng)該是在同一個平面內(nèi)，要是不在一個平面就不好說了．

師：非常好！ 這就是我們今天要學(xué)的“平行線”．現(xiàn)在請你們根據(jù)剛才的觀察與分析，完整地說一說平行線的概念．

……

以生活素材作為平行線概念教學(xué)的導(dǎo)入，不僅快速激起了學(xué)生探究的興趣，還讓學(xué)生在觀察與交流中產(chǎn)生靈感，自主抽象出相應(yīng)的概念．學(xué)生通過對生活實例的觀察，體會到平行線的本質(zhì)屬性與生活實際應(yīng)用價值．這種教學(xué)設(shè)計，有效地提升了學(xué)生從生活現(xiàn)象中抽象數(shù)學(xué)知識的能力，為培養(yǎng)學(xué)生的抽象邏輯思維奠定了堅實的基礎(chǔ)．

２ 注重交流，概念形成

概念的形成需經(jīng)歷一個概括的過程．概括就是以一些典型的事物或?qū)嵨镒鳛榉治龅妮d體，通過學(xué)習(xí)者的探究與交流分析出它們的共有屬性．概括的過程就是概念形成的過程，而數(shù)學(xué)教學(xué)本就要求講究背景、思想與應(yīng)用，概念概括則體現(xiàn)了這個過程[２]．學(xué)生的學(xué)習(xí)能力在概念概括中得以體現(xiàn)，因此，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力首先要注重概念概括過程．

一般情況下，概念的形成不可能一步到位，需經(jīng)歷從模糊到清晰、從片面到全面、從特殊到一般的過程．因此，教師在概念教學(xué)時要保持充足的耐心，不要急于求成，可通過循序漸進(jìn)的引導(dǎo)，讓學(xué)生在合作交流、反思中由淺入深地實現(xiàn)概念概括．

案例２ “方差、標(biāo)準(zhǔn)差”的概念教學(xué)

教師提供以下材料，供學(xué)生討論：

如表１，這是江蘇省某市２０２０年３月與２０２１年同期的每天最高氣溫對照情況：

對于這組數(shù)據(jù)，該如何進(jìn)行比較呢？ 學(xué)生嘗試使用學(xué)過的平均數(shù)、中位數(shù)以及眾數(shù)等，經(jīng)統(tǒng)計分析后發(fā)現(xiàn)三個量竟然毫無差異，這樣的結(jié)果讓不少學(xué)生感到驚詫．如此，是不是說明這兩年在同一時間段的氣溫就毫無差異呢？ 有些學(xué)生不禁提出疑問：除了以上幾種比較方式以外，還可以用什么指標(biāo)來分析這種差異？

此時教師提醒學(xué)生可嘗試將數(shù)據(jù)繪制成統(tǒng)計圖，然后再進(jìn)行觀察．學(xué)生的探究欲立刻就被激起，且快速進(jìn)入小組合作學(xué)習(xí)的模式，各組學(xué)生積極地制圖、分析、思考．巡查中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生有如下交流：

生１：從繪制而成的折線圖中來看，這兩組數(shù)據(jù)有著一定的起伏．如果去掉每組的最大與最小值之后，其他數(shù)據(jù)是否存在差異性波動呢？

生２：是不是可以用一個更加敏感的新指標(biāo)來進(jìn)行數(shù)據(jù)分析？

生３：咱們嘗試從每個數(shù)值與平均數(shù)的關(guān)系著手呢？

生４：若將各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差相加試試看呢？

……

隨著學(xué)生之間交流的不斷深入，方差的概念隨著學(xué)生的合作交流自然誕生．雖然有些組還處于不太肯定的探究階段，但都已經(jīng)認(rèn)識到數(shù)據(jù)的個數(shù)對他們所提出的新指標(biāo)有著影響．隨后，各組代表逐一匯報了本組對這張表格的研究結(jié)論，教師在此基礎(chǔ)上及時給予引導(dǎo)與完善．方差與標(biāo)準(zhǔn)差的概念也就在師生共同的交流中概括而成．

學(xué)生通過自主合作交流，從教師提供的材料數(shù)據(jù)中概括、提煉出其中的本質(zhì)特征，雖然提煉過程中有各種障礙與疑問，但這些障礙與疑問很顯然就是思維的腳手架，促進(jìn)學(xué)生在一步步的思考與分析中獲得新知．雖然學(xué)生的概括不一定準(zhǔn)確，用詞也不夠精準(zhǔn)，但他們共同探討、交流的過程就是不斷完善的過程．因此，教師應(yīng)耐心地做好引導(dǎo)工作，傾聽學(xué)生的言論，讓學(xué)生在舒適、和諧的氛圍內(nèi)更好地思考與探索，為創(chuàng)新意識的形成與發(fā)展奠定基礎(chǔ)．

３ 變式拓展，靈活應(yīng)用

概念的學(xué)習(xí)是為了更好地應(yīng)用，應(yīng)用能力體現(xiàn)了學(xué)生對概念的理解程度．因此，適當(dāng)?shù)木毩?xí)是促進(jìn)學(xué)生深入理解概念的有效方法．教學(xué)中，常發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生已經(jīng)掌握了課堂中的一些練習(xí)，但課后題目稍微發(fā)生點變化就又力不從心了．究其原因主要還在于沒有深入掌握概念的內(nèi)涵，從而無法靈活變通．因此，教師在設(shè)計練習(xí)時，可有意識地設(shè)計一些變式訓(xùn)練，讓學(xué)生深切體驗概念的靈活性，獲得舉一反三的能力．

變式在概念教學(xué)中的應(yīng)用，按概念的類型主要分：①不定義型概念．此類概念的變式訓(xùn)練方式以描述或列舉為主．②定義型概念．此類概念的變式拓展可應(yīng)用邏輯關(guān)系編擬變式訓(xùn)練內(nèi)容，如真、假、逆、否命題等．③不理解型概念．有些學(xué)生雖然能一字不落地背誦概念，但對它的理解程度卻只停留在淺表層面．此類概念可從不同角度輔以正反事例進(jìn)行變式設(shè)計．④不易想象型概念．如幾何類的概念，可借助圖形的變化進(jìn)行變式訓(xùn)練，讓學(xué)生在數(shù)形結(jié)合中對概念產(chǎn)生更加直觀形象的認(rèn)識．

弄清概念的內(nèi)涵與外延是概念教學(xué)的首要任務(wù)，它對解決相應(yīng)的問題具有重要影響．變式的應(yīng)用能讓學(xué)生學(xué)會從不同的視角觀察與分析問題，對推進(jìn)教學(xué)活動與完善學(xué)生的思維具有深遠(yuǎn)的影響．

案例３ “一次函數(shù)”的概念教學(xué)

原題 已知關(guān)于x 的一次函數(shù)y＝x（a－３）－３，求a 的值．

變式１ 已知關(guān)于x 的一次函數(shù)y＝（a＋３）x－３，求a 的取值范圍．

變式２ 已知關(guān)于x 的一次函數(shù)y＝（a＋３）xa２－３－３，求a 的值．

變式３ 已知關(guān)于x 的一次函數(shù)y＝（a＋３）x＋４x－３，求a 的取值范圍．

這三個變式的設(shè)計，從學(xué)生對概念理解的基礎(chǔ)上拓展而來，變式問題的提出與學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)相契合．學(xué)生在對問題的探究與思考中逐漸領(lǐng)悟一次函數(shù)概念的內(nèi)涵與外延，同時不少學(xué)生的思維也到“跳一跳，摘到桃”的效果．

總之，概念在數(shù)學(xué)學(xué)科中的地位猶如一座大廈的地基，對學(xué)生后期的學(xué)習(xí)具有決定性的影響．作為教師，不僅要關(guān)注學(xué)生對概念的理解程度，還要注重對學(xué)生概念應(yīng)用能力的培養(yǎng)．讓學(xué)生在概念學(xué)習(xí)過程中獲得良好的數(shù)學(xué)思想與方法，為創(chuàng)造力的形成與發(fā)展奠定基礎(chǔ)．

參考文獻(xiàn)：

[１]施曉丹．本固方可枝茂———關(guān)于強(qiáng)化初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的探索[J]．初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，２０１４（６）：１１Ｇ１３．

[２]周欣．兒童數(shù)概念的早期發(fā)展[M]．上海：華東師范大學(xué)出版社，２００４．