初中生數字特征理解水平:現狀、問題、對策

摘要：運用數字特征分析數據是初中“統計”的重要內容．以山西省某中學的八年級學生為研究對象進行測試，發現學生對數字特征的理解處于中等水平，主要存在運算過程出錯、概念理解不透、樣本總體混淆和應用能力不足等問題，可以通過強化運算對象解析、增潤統計教學情境、捋清樣本總體關系和強化問題解決意識，提升學生的數字特征理解水平．

關鍵詞：分析數據;數字特征;問題成因;教學對策

１ 問題提出

大數據時代要求每一位公民具備從大量的數據中提取信息進行分析處理、推斷決策并解決問題的能力，義務教育階段正是培養數據分析素養的關鍵時期．初中教材中將中位數、眾數、平均數、極差、方差等統稱為數字特征，數字特征是利用樣本算出的一系列反映樣本特征的數，用以刻畫同一事物不同方面的性質，以達到認識全局的目的，是數據素養發展的核心內容．?義務教育數學課程標準（２０２２年版）?學業要求中指出，學生將通過樣本數據推斷總體特征的方法形成，發展數據觀念[１]．由此可見，運用數字特征分析數據就成為發展學生數據分析素養的關鍵．

目前研究者對數字特征的研究主要體現在兩個方面．一是對學生的某些數字特征理解水平進行單獨研究[２];二是將數字特征融入數據分析觀念系統之中進行分析和研究[３]．事實上，作為數據觀念以及數據分析素養的形成，一個核心的問題就是要明晰學生數字特征理解的水平現狀，探析學生在情境中計算、理解和應用數字特征中存在的問題及成因，尋找應對的策略，為更進一步發展數據分析素養奠定基礎．

２ 研究設計

２．１ 研究對象

研究對象選自山西省太原市某中學的八年級學生，采取整群抽樣的方式，共選取４個班１７０名學生，按期中學業質量等級情況將班級劃分成優、良２個層次，其中優班２個、良班２個．最終回收有效試卷１５５份，占總數的９１．１８％，其中男生６７人，女生８８人．

２．２ 研究工具

編制“初中生數字特征理解水平測試卷”．通過研究與數字特征相關的習題和中考題，借助SOLO 分類法，參考專家和一線教師的修改意見，不斷明晰測試題、測試卷維度和測試題水平分析框架（限于篇幅略）．經過反復研討，修訂后的測試卷中題目包含數字特征的計算（１，２題）、理解（３，４題）和應用（５，６題）３個維度，每道試題包含四個水平，根據學生的具體作答評定，滿分２４分．其中，前結構水平為水平一并賦值為１，單點結構水平、多點結構水平、關聯結構水平依此類推．特別地，在測試卷中每道題目下方設置了草稿區和作答區，學生可以在草稿區寫出自己的思考過程或解題時停頓的原因，觀察學生在每一道試題上的反應，由答題的外顯行為推測學生的內在心智特質并估計其水平，再通過統計分析和質性分析發現隱藏在測試數量關系中的學習信息．

３ 調研的結果及分析

總體來看，初中生對數字特征的理解水平處于中等水平（M ＝１３．６８），在數字特征的計算維度題目得分較高，但在數字特征的應用維度題目得分偏低．６道題中得分較低的３道題分別是第５題（M ＝１．５４）、第６題（M ＝１．９３）和第３題（M ＝１．９３），得分差距較大的兩道題分別是第６ 題（SD ＝１．２０１）和第３ 題（SD ＝１．０８８），反映學生在正確認識數字特征的知識儲備上存在一定的差異，在相對復雜的情境中選擇數字特征，以及正確決策和分析數據的能力也有待提高．

進一步以總得分和每題得分進行差異檢驗，發現不同學業成績等級學生存在一些差異，但未構成統計意義上的顯著水平．

４ 存在的問題及分析

學生對數字特征的掌握主要存在如下４個方面的問題．

４．１ 運算過程出錯

對于數字特征的計算，學生存在如下問題．一是讀取數據有誤導致列式出錯，如，不能準確讀取題１中打分雷達圖、題４中射擊成績條形圖中的數據．二是單純計算出錯，如，在題１，４，５中求解各數字特征時出錯．三是定義不明晰導致基本公式列錯，如，題１算產品平均分僅將各項得分相加得到總分，未除項數;題１要求按１∶４∶１∶２∶２計算加權平均值，有學生未分清權和權重、項數和比例而混用公式，錯列式為

４．２ 概念理解不透

初中“統計”中最為核心的概念有中位數、眾數、平均數、極差、方差等，其中理解偏差最多的是平均數和方差．

4．２．１對平均數理解的偏差

對于平均數的理解，學生存在如下問題．一是對平均數中“平均”的理解有誤，在內涵上和中位數混淆．如題３（題目中的主要信息是４６株獨蒜蘭種苗的平均鮮重是２１．１１g，編號２１的獨蒜蘭種苗鮮重是２１．２３g，在４６株獨蒜蘭的鮮重里是中等偏下的，這一情況是否可能）中部分學生回答“不可能，由于２１．２３g＞２１．１１g，因此２１號獨蒜蘭的鮮重應在中等偏上”，或者畫出４６條豎線，數到第２１條并得到其位置應為中等偏上，這本質上是將分布在兩側的數據平均和分布在兩側的數量相同混為一談，即混淆了平均分布和均勻分布的意義，后者為中位數代表的含義，前者才是平均數．這一誤區在題４中從條形圖估計平均數也有體現，部分學生給出估讀的理由不是割補法，而是諸如“８環是中間/不大不小的數”“從兩邊同時劃去相同的數得到８”等回答，忽略了此種方法下對稱分布的前提．二是對“平均數受極端值的影響”理解不到位，無法結合情境理解題意．如，題３中僅少部分學生回答較為具體，諸如“平均數并不是中間的數”．再如，“有可能后２０株鮮重全部在１８g左右降低了平均數”“平均數受極值影響，所以不能單看某個值，要放在總體中判斷”等．

４．２．２對方差理解的偏差

對于方差的理解，學生存在如下問題．一是錯誤地認為方差越大數據越穩定．二是認為方差不受個別數據的影響，如在題２（題目中的主要信息是給出全校隨機抽取了５０名同學的測試成績的不完善統計表）中回答方差與被遮蓋的數據無關．三是對“離散”一詞的理解不深刻，刻畫離散的前提是有相應的標準或參照，如題４中一組數據都要與該參照（即平均值）進行比較，而非學生片面回答的“１０次射擊成績中的低分較少，所以方差小”，題５（１１名顧客在兩家銀行的等待時間）中學生分析有更多不滿意顧客的銀行時，僅通過觀察數據的波動程度或是否存在極端值來判斷，忽略了平均數對于方差離散的意義．在題４平均數相等的情況下，部分學生比較兩組數據的方差時只看數目（出現次數）或縱向數值的落差/變化程度，回答諸如“兩人同時有兩個一次，一個兩次和兩個三次，所以方差相等”，忽略了不同高度的柱與平均數間橫向的距離關系，未能結合代數式理解離散的幾何意義．

４．３ 樣本總體混淆

調查結果表明，學生學習過程中往往分不清樣本數字特征和總體數字特征．題２要求根據隨機抽查５０名學生的成績估計全校學生的得分情況，幾乎所有學生都能給出正確答案，但從其闡述可以看出，一些學生并未分清樣本和總體的關系，無法理解用樣本估計總體的思想，只是歪打正著選擇了分析樣本后得到的數據，如“我認為該校得分最多的成績是１００分，得１００分的有１３人，其余的人數都小于１３人”．題６（給出從下午１４：００～１７：００每隔相等的時間車在３分鐘內車流量的８次統計表）要求根據時段抽查的數據估計該時段的總車流量，部分學生解題時沒有目標和思路，不會用樣本估計總體的方法解決問題，如，僅僅把抽樣結果求和或求均值代替總體得到結論、取抽樣結果的均值乘８（抽樣次數）或乘３（總時段）等，或者求出平均每分鐘通過的車流量，但無法確定總體等，題設要求估計總車流量而非抽查車輛，可以發現學生在分析問題時邏輯不清，原因是未分清總體和樣本分別代表什么，將二者互為混淆．

４．４ 應用能力不足

運用統計思維觀察并思考問題是合理分析數據的前提．結果表明，學生解題時多憑借直觀經驗作答，欠缺在情境中運用相關知識將問題數學化的能力，得到的結論雖有一定道理，但不夠嚴謹．如題５中有學生認為A銀行越往后等待時間越長，因此顧客更不滿意;A銀行數值不穩定，有極端值，所以更多顧客不滿意;A銀行有３位顧客等待時間超過了８分鐘，所以更多顧客不滿意等．相反有人認為B銀行只有一個隊伍，所以等待時間要更長，不滿意的顧客更多;B銀行數據波動小，等待時間都在６分鐘以上，有較多不滿意客戶等．可以看到，在求解此類問題時學生大多以經驗分析代替了量化分析，沒有從統計角度思考問題．

另外，部分學生缺乏在情境中靈活地選擇、運用數字特征的能力．如題２中有學生錯用中位數而非眾數估計總體學生的成績情況;題５中用眾數或極差等來判斷顧客對銀行等待時間的滿意度;題６中用眾數或中位數作為８次抽樣的代表值．也有學生不能結合多種數字特征全方位地刻畫某一事物的本質屬性，如題５中有學生求得兩家銀行等待時間的平均值相同，因此認為不滿意的顧客一樣多，沒有運用其他數字特征進一步刻畫;有學生僅通過觀察發現A 銀行等待時間波動大，沒有考量其他數字特征指標，得到的結論不夠嚴謹;還有學生算得B銀行方差較小，更為穩定，因此認為若只有６分鐘等待時間應選擇B銀行，刻板地套用知識，使作答結果失去價值。

５ 應對的基本策略

調研發現，初中生在數字特征方面存在著運算過程出錯、概念理解不透、樣本總體混淆和應用能力不足等問題，教師需要針對問題產生的原因，采取有效的應對策略以提升學生對數字特征的理解和應用能力．

５．１ 強化運算對象解析，注重運算過程分析

學生在基本運算過程中出錯的根本原因是沒有理解運算對象的含義，很多時候對公式都是機械記憶，不理解其產生的意義，情境變化就不符合原公式，致使對知識的掌握不斷惰性化．這就要求教師在運算對象的解析上下功夫，在進行數字特征教學時，對數字特征知識體系中所涉及的諸如平均數、中位數、眾數、方差等概念要設計明確的理解和掌握目標，引導學生不論是對集中型或離散型的數字特征，都要在豐富的問題解決環境和變式練習中去感悟，這就需要巧設運算過程，著力易錯點的突破．如，權和權重是描述數據重要情況而派生的概念，相同點都與重要程度有關，不同點是所占份數即是權，所占比例即是權重．教師應通過對細節的挖掘引導學生不斷地辯錯悟真，具象化地運用公式．

５．２ 增潤統計教學情境，加深核心概念理解

學習數學極為重要的是關于核心概念的掌握和理解．統計中很多概念比較抽象，加之與學生的實際生活經驗有點距離，也會影響他們對概念或方法的理解，形成一些直覺性錯誤[４]．為此，教師需要精心選取教學資源，引發學生認知沖突，諸如設計平均數、中位數和眾數關系如何、方差的幾何意義如何理解等問題的探討，教師需要拋去講授的思維套路，提供更多的辯論的時間和空間，合理地引導學生思維轉向，促使學生在正面認識概念或錯誤辨析的同時，再從反面剖析或案例化的解釋，以強化學生的理解．由于數字特征在日常生活中的應用越來越廣泛，學生需要從多個角度理解，教師要避免單一情境帶來的固化思維，提供豐富的情境開闊學生視域，重視情境對概念辨析的促進作用，以促進學生全方位地掌握知識．

５．３ 捋清樣本總體關系，增強統計推斷思維

運用樣本數據推斷總體的思想方法已成為大數據時代的一種普遍使用且強有力的思維方式．由于描述樣本數據的數字特征并不是總體真正的數字特征，而是對總體特征的一個合理估計，這就需要學生在學習中漸次上升到推斷性思維上．調查發現，學生在統計推斷中分不清樣本和總體數字特征的概念，將二者互相混淆，使統計推斷的方式方法在實際運用中扁平化、單一化和刻板化．因此，教師要在統計教學中全程滲透推斷性思維，捋清樣本、總體和數字特征等概念的邏輯關系，讓學生在適宜的生活背景中整體地感悟這些概念，直觀、清晰地識別和選取信息，以確保在問題解決時能夠正確規劃步驟、完成樣本推斷總體數字特征的建構與分析．

５．４ 強化問題解決意識，發展統計應用能力

數字特征是分析和推斷數據的重要工具和手段，可以直觀、清晰地刻畫數據所呈現出的一些特點，在實際問題中，統籌運用數字特征的能力就十分關鍵和重要．調研發現，學生靈活選擇和運用數字特征的能力不足，原因在于實踐訓練不夠，數字特征運用意識不強，教師在教學中過多地糾結于點位講解、局部代入和應用，沒有與最接地氣的現實問題相扣，導致學生在問題解決中不會將知識帶入到情境，過分依靠直覺作答．因此，教學要回歸到現實，用更多的實例引導學生運用統計思維去分析與解決迫切的現實問題，在真實和豐富的情境中讓知識發揮真正價值，目的是了解數字特征靈活的選用規律和透過表面所展現出的本質屬性，以此鍛煉結合多種數字特征全方位地認識事物、刻畫事物的統計素養．

參考文獻：

[１]中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（２０２２ 年版）[S]．北京：北京師范大學出版社，２０２２：９２．

[２]干蕓．初中低年級學生關于平均數算法意義和統計意義理解的調查[D]．上海：華東師范大學，２０１４．

[３]巴桑卓瑪．中小學生對統計的認知水平研究[D]．長春：東北師范大學，２００６．

[４]凌曉牧，章飛．初中階段“統計與概率”課程內容的幾點建議與調查[J]．數學教育學報，２０１９（４）：７７Ｇ８０，９８