克服鏈間耦合并聯機構雙增益自適應滑模控制

付天忠，高國琴，方志明

（江蘇大學電氣信息工程學院，江蘇鎮江 212013）

0 引言

與蘋果、番茄等類球形果蔬相比，形如葡萄、荔枝等串類水果由于夾持點為細小果梗，對分揀機器人的定位精度提出更高要求［1］。目前，帶虎克鉸轉軸（UPU 支鏈）的分揀機器人由于UPU 支鏈長時間在工作空間邊緣作業，磨損較為嚴重，影響機器使用壽命［2］。為此，基于可實現SCARA運動的4-R（2-SS）并聯機構研制一種串類水果分揀機器人，其具有剛度大、精度高、承載能力強、分揀效率高等優勢。

目前，根據所使用模型的不同，并聯機構控制策略可分為動力學控制和運動學控制兩種。動力學控制考慮了并聯機構的動力學特性和各支鏈間的耦合關系，在理論上能實現良好的控制效果［3］，但動力學模型參數眾多，實時在線求解難度較大，難以滿足實時性要求。運動學控制一般假定并聯機構各支鏈間是獨立無耦合的，基于此可將復雜的并聯機構分解成若干個獨立的單通道系統進行單獨的控制器設計，因此相較于動力學控制而言具有設計簡單、易實現并能滿足實際控制系統實時性和快速性要求的優勢。因此，本文將對4-R（2-SS）并聯機構進行運動學控制研究。然而，并聯機構的閉鏈結構特點導致各支鏈間強耦合問題，在很大程度上影響機器人的動態特性［4］。此外，隨溫度變化的電機參數漂移、負載變化以及外部擾動等會引起模型不確定性問題，由于不確定性的復雜性和不可預測性，其上界信息往往難以獲知，直接影響運動學控制精度。因此，有必要解決鏈間耦合問題和上界未知的模型不確定性問題，以提高4-R（2-SS）并聯機構的運動學控制性能。

為解決并聯機構運動學控制的鏈間耦合問題，許多學者進行了研究。例如，文獻［5］針對六自由度并聯機構，將鏈間耦合歸結到集總不確定性中，在各支鏈控制器中進行抑制，但未能從建模角度解決鏈間耦合問題，且沒有定量分析各支鏈受鏈間耦合問題的影響程度；文獻［6］針對Stewart 平臺構建虛擬解耦空間并設計控制器以抑制鏈間耦合，但該方法需要實時對慣性矩陣進行奇異值分解計算，計算量大且復雜。

針對4-R（2-SS）并聯機構運動學模型中的不確性問題，滑模控制方法對作用于控制通道中的有界不確定性具有很好的魯棒性，被廣泛應用于并聯機構的控制研究中［7］。然而在不確定性上界未知時，通常需選取較大滑模切換增益，如此加重了滑模控制抖振問題［8-9］。為此，已有學者通過設計自適應規則動態調節滑模切換增益。例如，文獻［10］針對二階滑模輸出反饋控制器設計了一種自適應律，但該自適應律將導致滑模切換增益不斷增加，可能出現益過高估計的問題；文獻［11］針對一類具有有界不確定性/擾動的非線性系統，提出一種滑模切換增益的自適應估計規則，但該規則對切換增益的調節速度僅由一個控制參數決定，需要在滑模控制抖振和跟蹤性能之間進行取舍；文獻［12］針對機器人機械臂提出一種指數型自適應律，以提升響應不確定性變化的速度，但其滑模切換增益對滑模變量過于敏感，存在滑模切換增益過估問題。

綜上所述，本文針對4-R（2-SS）并聯機構，基于慣性項分析鏈間耦合問題，得到等效耦合慣量以表征各支鏈在不同位形下受鏈間耦合問題的影響程度；然后將等效耦合慣量和各主動關節負載慣量所構成的總等效耦合慣量折算到電機軸，并附加給各支鏈電機轉子慣量，從而建立考慮鏈間耦合的單支鏈運動學模型。同時針對鏈間耦合問題和上界未知的模型不確定性問題，提出一種并聯機構雙增益自適應滑模控制方法，其自適應規則既能在近滑模面迅速有效調整滑模切換增益，又能有效避免滑模切換增益過估造成的滑模控制抖振問題，從而提高4-R（2-SS）并聯機構的運動學控制性能。

1 4-R（2-SS）并聯機構運動學分析

1.1 4-R（2-SS）并聯機構

如圖1 所示，4-R（2-SS）并聯機器人由4-R（2-SS）并聯機構和夾持機構組成。4-R（2-SS）并聯機構主要由靜平臺、主（輔）動平臺和連接動靜平臺的四組R-（2-SS）支鏈構成。輔平臺位于主平臺內部，通過轉動機構連接［13］。為減小運動部件的慣性，主動臂和從動臂采用碳纖維材料制成，動平臺由鋁合金材料制成。該機械手結構靈巧、操作簡單，特別適合工農業領域自動化生產所需的分揀、包裝等操作。

Fig.1 Physical picture of 4-R（2-SS）parallel robot圖1 4-R（2-SS）并聯機器人實物

1.2 運動學分析

4-R（2-SS）并聯機構的主（輔）動平臺在空間內僅做平動，且從動臂兩組從動桿件的運動完全相同。為便于運動學分析，可將其簡化為如圖2所示的結構［14］。

圖2 中，將主平臺和輔平臺分別簡化視為質點P1和質點P2，參考坐標系O-xyz 建立在靜平臺的中點，基于該坐標系，平臺主（輔）上的點P1（P2）的位置矢量r可表示為：

l1、l2、ui、wi分別為表示支鏈i主動臂和從動臂的桿長和單位矢量，且：

Fig.2 Structure of 4-R（2-SS）parallel robot mechanism圖2 4-R（2-SS）并聯機器人簡圖

式中，θi表示主動臂i(i=1，2，3，4)的轉角，根據機構的裝配模式，可得4-R（2-SS）機構的位置逆解模型表示為：

將式（1）分別對時間求一次導數和二次導數，得到機構的速度模型和加速度模型，表示為：

2 4-R（2-SS）并聯機構動力學及鏈間耦合特性分析

2.1 動力學分析

動力學建模的主要目的不僅體現在評價機構的運動性能，還體現在為實際控制研究奠定理論基礎。為降低計算復雜度，保證運動過程中的實時性，建立簡化的4-R（2-SS）并聯機構動力學模型［15］。

考慮到從動臂為輕質細桿，可忽略其轉動慣量，將其質量按比例ρ(ρ∈[0，1])［16］分配到動平臺和主動臂。同時，假設運動副是理想的，也就是無摩擦引起的能量耗散，由虛功原理得：

式中，τ為主動關節的驅動轉矩，τAg為主動臂對其轉軸的重力矩，IA為主動臂等效至其轉軸的轉動慣量，Is為動平臺轉動絲杠及負載對其轉軸的轉動慣量為動平臺轉動絲杠角加速度。

將δθ=Jδr和δθs=(2π/p)δs代入式（10），整理為關節空間動力學模型可得：

2.2 鏈間耦合特性分析

慣性矩陣M(θ)反映關節加速度和轉矩之間的映射關系。慣性矩陣中主對角元素表示主動關節的負載慣量，非主對角元素是某關節的加速度運動對另一關節產生的耦合轉矩的度量。與傳統串聯機器人相比，并聯機構各主動關節除承受自身負載慣量外，鏈間還存在耦合關系［17］。

為直接評價4-R（2-SS）并聯機構鏈間的耦合特性，定義4-R（2-SS）并聯機構關節空間各主動關節等效耦和慣量（Equivalent Coupling Inertia，ECIi，i=1，2，3，4），表示為：

式中，ECIi表示4-R（2-SS）并聯機構在關節空間各主動關節的等效耦合慣量，用于表征各支鏈在不同位形下受鏈間耦合問題的影響程度。

如果不考慮并聯機構鏈間耦合問題，那么各支鏈主動關節所承受的等效慣性力矩為慣量矩陣M中主對角元素Mii與所需加速度的乘積［18］。但經過上述分析可知，支鏈間的耦合問題不容忽略。主動關節所承受的考慮支鏈間耦合問題的等效慣性力矩為：

結合式（12）可知：

綜上可知，可得各主動關節所承受的考慮支鏈間耦合問題的等效慣性參數為：

而施加在電機軸上的等效慣量可表示為［19］：

從式（8）、式（11）和式（17）可知，雅可比矩陣J會隨著機構位形變化，這將直接導致慣性矩陣M在不同位形下亦具有不同的表達，從而使等效耦合慣量ECIi和施加在電機軸上的總等效慣性參數JECIi的值也發生變化。因此，所提出總等效慣量參數表達式能反映并聯機構在不同位形下各電機軸所承受的考慮鏈間耦合問題的等效慣量。

2.3 指標分布

考慮到4-R（2-SS）并聯機構主要用于完成點到點的抓放操作，因此采用典型的門字形軌跡作為本機構的運動軌跡［20］。給定期望軌跡如圖3所示。

圖4（彩圖掃OSID 碼可見，下同）和表1 為在圖3 所示軌跡下，考慮支鏈間耦合和不考慮支鏈間耦合問題時，各電機軸所對應的等效慣量JECI和JN-ECI的分布情況。綜合分析圖4 和表1 可知，在同一水平面時，并聯機構末端執行器距離中心位置越近，總等效慣量值越小；并聯機構末端沿z軸運動時，位置越高，對應的總等效慣量越小。在預設軌跡下，考慮鏈間耦合的總等效慣量平均值為8.404 ×10-4，不考慮耦合的總等效慣量的平均值為5.773 × 10-4，可知由于鏈間耦合問題，施加在電機軸上的等效慣量發生較大變化。總等效慣量的極大值與極小值之差的平均值為3.498 × 10-4，說明支鏈間的耦合問題受位形影響較大。此外，在任意位形下，各支鏈的總等效慣量最大差值為2.469 × 10-4，說明各支鏈在不同位形下，受支鏈間耦合特性的影響程度有較大區別。

Fig.3 Desired trajectory of the end effector圖3 末端執行器期望軌跡

Fig.4 Equivalent inertia圖4 等效慣量

Table 1 Equivalent inertia表1 等效慣量 （10-4）

綜上分析可知，將總等效慣量用于建立考慮鏈間耦合的單支鏈運動學模型能充分考慮各支鏈在不同位形下受鏈間耦合問題的影響，具有重要意義。

3 雙增益項自適應滑模控制器設計

根據上述分析結論，建立考慮鏈間耦合問題的單支鏈運動學模型，并設計一種具有雙增益項的自適應滑模控制方法，以克服機構中存在鏈間耦合問題和上界未知的模型不確定性問題，同時有效抑制滑模控制抖振問題，提高系統跟蹤精度。在4-R（2-SS）并聯機構中，各支鏈控制框圖如圖5 所示。圖中為第i個主動關節的給定輸入；J'(t)為電機轉子慣量和總等效慣量之和。交流伺服電機的數學模型可表示為驅動軸的角位移θout與輸入轉速ωd的傳遞函數：

Fig.5 Schematic diagram of controller圖5 控制器原理框圖

3.1 控制器設計

式中，x=[x1，x2，x3]T∈R3為可測得的系統狀態變量；u、y分別為系統輸入、輸出；d(t)為外部干擾；f(x)和g(x)為包含不確定的光滑函數，表示為：

其中，c1>0，c2>0。

由式（19）、式（21）可得：

基于等效控制的滑模控制定義，假設系統不確定項和干擾項為0，可得：

進而可得等效控制律為：

設計切換控制律為：

式中，K為滑模切換增益，表示系統的運動點趨近滑模面s=0 的速率。滑模切換增益K越小，趨近速度越慢；滑模切換增益K越大，趨近速度就越快，所引起的滑模控制抖振也越大。

為進一步提高4-R（2-SS）并聯機構的跟蹤精度，同時有效抑制滑模控制抖振，設計滑模切換增益具有如下雙增益項自適應規則：

式中，φ、α、η為自適應速度的可調正增益；θ(t)=sgn(|s(t)| -ε)。后續分析中簡稱增益項|s(t)|為L-Gain，簡稱增益項ηe-|s(t)|為S-Gain。當|s(t)|遠離滑模面且大于ε時，在自適應律（26）中，滑模切換增益K 的導數受L-Gain的影響很大，因為S-Gain幾乎為零，因此它們會快速收斂，直到|s(t)|到達滑模面附近，或|s(t)|<ε。這種自適應機制使|s(t)|迅速小于ε，因此在瞬態響應中提供了良好的跟蹤性能。當|s(t)|小于ε，且接近于零。在這種情況下，滑模切換增益應盡可能小，以減少抖振。但是，用小L-Gain降低高滑模切換增益需要時間，可能會導致抖振問題。為此，在自適應律（26）中添加了S-Gain，由于L-Gain幾乎為零，因此S-Gain在滑動面附近占主導地位。值得注意的是，S-Gain不會消失，而是隨著L-Gain變為零而增加。此時由于自適應律（26）受S-Gain的影響很大，保證了滑模切換增益的快速下降速度，并在滑動面附近實現了良好的穩態性能。由于S-Gain是上界的，因此也可以避免由現有方案引起的過度自適應，能有效抑制滑模控制抖振。

總控制律設計為：

假設1：集總擾動ρ(t)有界，滿足|ρ(t)|≤ρ*。

定理1：對于并聯機器人支鏈數學模型（19），在控制律（27）及自適應規則（26）的作用下，滑模變量s(t)首先在有限時間tε內到達原點的鄰域|s(t)| <ε內，當t>tε時，s(t)最終一致有界并滿足：

3.2 穩定性證明

證明：定義Lyapunov 函數為：

對式（30）求導并根據假設1和式（28）可得：

考慮兩種情況：|s(t)|>ε和|s(t)|≤ε。

因此，s(t)在有限時間tε內到達原點的鄰域|s(t)|≤ε中，且0 ≤V(t) ≤V(0)，即V(t)有界。

當t>tε時，有|s(t)| ≤ε，此時增益項|s(t)|幾乎為零，可見所設計的自適應律（26）不存在對滑動變量過估問題。

因此s(t)最終一致有界，由式（21）可知跟蹤誤差e(t)也有界。

定理1證畢。

4 仿真結果與分析

首先，為驗證本文提出考慮鏈間耦合問題總等效慣量計算方法的有效性，以JECI和JN-ECI為控制器參數，采用滑模控制（Sliding Mode Control，SMC）方法進行MATLAB仿真。電機模型參數為：Rph=18Ω，Kpi=15，Kii=1，LD=0.052 5H，KT=1.25N·m/A，aT=0.1，Kpv=0.08，KE=1.215。仿真結果見圖6。

Fig.6 Verification of equivalent inertia圖6 等效慣量驗證

分析圖6 可知，將所設計的考慮鏈間耦合的總等效慣量方法應用到控制器中，其軌跡跟蹤誤差小于不考慮鏈間耦合問題的軌跡跟蹤誤差。這是由于考慮鏈間耦合的總等效慣量計算方法有效計入了鏈間耦合問題，并考慮機構位形的影響，減小了系統的不確定性，從而提高了機構跟蹤精度，有效抑制了滑模控制抖振。

其次，為驗證所提出克服鏈間耦合的4-R（2-SS）并聯機構具有雙增益項自適應滑模（Dual-gain Adaptive Sliding Mode Control，DGASMC）運動學控制方法的正確性和有效性，分別對考慮鏈間耦合但切換增益恒定滑模控制（簡稱ECI-SMC）和不考慮鏈間耦合的具有雙增益項自適應滑模控制（簡稱DGASMC）以及考慮鏈間耦合的具有雙增益項自適應滑模控制（簡稱ECI-DGASMC）進行MATLAB 仿真。通過數次仿真調試，確定控制性能最佳時，控制器的仿真參數為：φ=0.02，ε=0.02，α=5，η=5。仿真結果見圖7。

Fig.7 Dual-gain term adaptive sliding mode verification圖7 雙增益項自適應滑模驗證

由圖7（a）可知，所設計ECI-DGASMC 的跟蹤誤差明顯小于DGASMC 和ECI-SMC 的跟蹤誤差。仿真結果顯示，考慮鏈間耦合問題的控制器相較于不考慮鏈間耦合問題的控制器具有更好的軌跡跟蹤效果，自適應律的引入進一步提高了4-R（2-SS）并聯機構的軌跡跟蹤效果。從圖7（b）可知，本文設計的ECI-DGASMC 控制輸入量相較于DGASMC 和ECI-SMC 具有更小的幅值。ECI-DGASMC 可在滑模面附近實現有效切換增益調諧，適應速度快，有效抑制了DGASMC 存在的滑模切換增益過估問題，進一步減小了滑模控制抖振。此外，仿真時并未提供模型不確定性上界信息，從仿真結果來看，所提出的ECI-DGASMC 仍然具有良好的控制效果，表明所提出的控制方法能有效解決上界未知的模型不確定性問題。綜上所述，本文控制方法能使系統具有良好的跟蹤精度，且有效抑制滑模控制抖振問題，且不需要模型不確定性的上界信息。

5 實驗驗證

為進一步驗證本文所提出克服鏈間耦合的并聯機構具有雙增益項自適應滑模運動學控制的可行性與有效性，將ECI-DGASM 與DGASMC、ECI-SMC、SMC 分別應用于4-R（2-SS）并聯機構樣機上進行實驗。圖8 為4-R（2-SS）并聯機構樣機實驗控制系統，組成器件主要為PC（上位機）、多軸運動控制器UMAC（下位機）和伺服驅動系統。

Fig.8 Hardware platform of the control system for the 4-R（2-SS）parallel robot圖8 4-R（2-SS）并聯機器人控制系統硬件平臺

在完成上位機應用程序與UMAC 的連接后，將4-R（2-SS）并聯機構期望軌跡程序下載到UMAC 中；然后對4種控制方法的參數進行設置，并將編寫完成的控制方法下載到UMAC 中，運行程序，機構即開始運行；運行結束后，導出機構各電機的運動信息完成數據采集，最后復位并關閉機構。得到如圖9 所示的4-R（2-SS）并聯機構支鏈1 電機軌跡跟蹤誤差曲線。

可以看出，本文提出的ECI-DGASMC 與ECI-SMC、DGASMC、SMC 相比有效克服了鏈間耦合問題，更好地解決上界未知的模型不確定性問題，具有更高的跟蹤精度和更強的魯棒性。

Fig.9 Tracking error curve of branch motor圖9 支鏈電機跟蹤誤差曲線

6 結語

本文針對4-R（2-SS）并聯機構的鏈間耦合問題，建立考慮鏈間耦合問題的單支鏈模型，提出一種滑模控制算法，并通過設計一種具有雙增益項自適應規則克服上界未知的模型不確定性問題，最后通過仿真實驗驗證了所提出的雙增益項自適應滑模運動學控制方法算法的有效性。仿真與實驗結果表明，該算法能有效解決鏈間耦合問題和上界未知的模型不確定性問題，避免滑模切換增益過估造成的滑模控制抖振。但本文運動學控制器參數是根據經驗進行試湊整定的，具有隨機性和耗時性，后續可繼續探索能夠智能優化控制器參數的運動學滑模控制方法，通過智能算法尋找最優控制器參數以進一步提高4-R（2-SS）并聯機構的運動學控制性能。