數(shù)學(xué)里的繪畫大師——函數(shù)

心形線（供圖/ 張浩）

函數(shù)的由來

函數(shù)作為數(shù)學(xué)術(shù)語是德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨在17世紀(jì)首次使用的，是指在某一變化過程中，兩個變量x、y，對于某一范圍內(nèi)的x 的每一個值，y都有確定的值和它對應(yīng)，y就是x的函數(shù)。例如：一次函數(shù)——y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠ 0）； 二次函數(shù)——y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，≠0）。除此以外，數(shù)學(xué)中還存在很多隱含定義的函數(shù)，它們可以寫成F（x，y）=0的形式，即無法明顯地用一個變量的代數(shù)式表示另一個變量，但能確定y 是x 的函數(shù)，這些函數(shù)被稱為隱函數(shù)。它們通常都有與之對應(yīng)的曲線。

圓錐與圓錐曲線

生活里的函數(shù)圖像

生活中的許多事物都有與之對應(yīng)的函數(shù)。例如，我們購物時總價與數(shù)量間的關(guān)系，就是數(shù)學(xué)中最基本的一次函數(shù)；還有筆直的馬路、豎立的旗桿的走向，都可以用一次函數(shù)來表示。炙熱的太陽的輪廓是圓形，投籃時籃球的軌跡是拋物線，行星運行的軌道近似橢圓，發(fā)電廠冷卻塔的外觀近似雙曲線，它們都可以用二次隱函數(shù)來表達(dá)，也被稱為圓錐曲線。

顧名思義，圓錐曲線與圓錐有關(guān)。如果用平面去截一個圓錐，所截得的曲線可能是圓、橢圓、雙曲線或者拋物線，這些就統(tǒng)稱為圓錐曲線。在公元前3—4世紀(jì)，古希臘的數(shù)學(xué)家們就研究過這類曲線，其中的阿波羅尼奧斯是研究圓錐曲線的集大成者。

那些圓潤柔美的函數(shù)曲線

茉莉花瓣曲線

笛卡兒雖然沒有寫下心形線，但他發(fā)現(xiàn)了另一條美麗的曲線——葉形線。1638年，笛卡兒首次得到葉子形狀的曲線為x³+y³-3xay=0，有數(shù)學(xué)家認(rèn)為這條美麗的曲線很像茉莉花瓣的樣子，所以也被稱為茉莉花瓣曲線。

笛卡兒葉形線（供圖/ 張浩）

玫瑰曲線

數(shù)學(xué)中還有著名的玫瑰曲線，它對應(yīng)的函數(shù)為ρ=cos（kθ），當(dāng)取不同的值時，可以得到不同花瓣、不同形狀的玫瑰曲線。

對數(shù)螺線

笛卡兒還給出了對數(shù)螺線ρ=ae^kθ，因為這條曲線上任意一點和中心的連線與曲線上這點的切線所形成的角是一個定角，所以也被稱為等角曲線。鸚鵡螺的外殼、蜘蛛網(wǎng)的形狀就呈現(xiàn)出對數(shù)螺線形。

對數(shù)螺線（供圖/ 張浩）

鸚鵡螺

玫瑰曲線（供圖/ 張浩）

伯努利的墓碑

17世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利（概率論先驅(qū)之一，最早使用“積分”術(shù)語的人，較早使用極坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)家之一）醉心于研究對數(shù)螺線，他的遺囑里要求在其墓碑上刻上一正一反兩條對數(shù)螺線，并附以一語雙關(guān)的墓志銘“Eadem mutata resurgo（ 縱然變化， 我依如故）”。

“怪異”曲線里的奧妙

魏爾斯特拉斯函數(shù)

科赫雪花曲線

在魏爾斯特拉斯函數(shù)的影響下，許多“怪異”曲線涌現(xiàn)出來。瑞典數(shù)學(xué)家科赫給出了著名的科赫曲線，它是人為構(gòu)造的第一個具有局部和整體相似結(jié)構(gòu)的曲線。

為什么說是人為構(gòu)造的？你可以在紙上畫一條線段，將線段分成三等份，取中間一段為邊向外作一個正三角形，并把中間一段擦掉，再分別對得到的每條線段重復(fù)上面的過程，畫出更小的正三角形后擦掉中間的一段，按此步驟一直迭代（即在前一步的基礎(chǔ)上，重復(fù)相同的操作）下去，得到的就是科赫曲線。由3 條科赫曲線可以得到科赫雪花曲線。科赫曲線可被用來模擬海岸線。值得注意的是，科赫曲線在任意小的尺度上都具有精細(xì)結(jié)構(gòu)，即不管怎么放大總能發(fā)現(xiàn)新世界。

科赫雪花曲線迭代過程

科赫曲線（供圖/ 張浩）

科赫雪花曲線（供圖/ 張浩）

魏爾斯特拉斯函數(shù)的近似圖形（供圖/ 張浩）

希爾伯特曲線構(gòu)造示意圖（供圖/ 張浩）

皮亞諾曲線和希爾伯特曲線

意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾和德國數(shù)學(xué)家希爾伯特都構(gòu)造出一條能填滿正方形的曲線：通過恰當(dāng)選擇參數(shù)函數(shù)得到一條連續(xù)的參數(shù)曲線，當(dāng)參數(shù)變化時，曲線能經(jīng)過一個正方形內(nèi)的所有點，相當(dāng)于能填滿一個正方形！

以希爾伯特曲線為例：取一個正方形并且把它分出4 個相等的小正方形，然后從左下角的正方形開始至右下角的正方形結(jié)束，依次把小正方形的中心用線段連接起來；下一步把每個小正方形分成4 個相等的正方形，然后依照相同的方式把它們的中心連接起來……將這種操作無限進(jìn)行下去，最終得到的極限情況的曲線就可以填滿整個平面。

“分形”創(chuàng)造出的奇妙函數(shù)曲線

分形一詞是數(shù)學(xué)家曼德勃羅創(chuàng)造的，他系統(tǒng)深入地研究了銀河系中天體分布、月球表面、地貌的生成、海岸線的結(jié)構(gòu)等自然界中的分形現(xiàn)象。從一個簡單的迭代函數(shù)f（z）z²+c（z和c都是復(fù)數(shù)）出發(fā)，就能得到許多漂亮的分形圖。

讓c固定，令z變化起來，能夠使函數(shù)值不發(fā)散的初始值z的集合，即在迭代的過程中使函數(shù)值能夠穩(wěn)定在一個范圍內(nèi)z的集合，就叫作朱利亞集。當(dāng)取不同的c時，對應(yīng)的朱利亞集就是許多美妙的圖形。

如果固定迭代的初始值z₀，讓參數(shù)c變化起來，能夠使函數(shù)值不發(fā)散的c的集合，就叫作曼德勃羅集。如取初始值z₀=0時，曼德勃羅集中也會出現(xiàn)一個“心形”圍成的曲線，若把圖形放大，會在圖中看到無限多個類似的心形！

作為刻畫現(xiàn)實世界最重要的數(shù)學(xué)模型，函數(shù)當(dāng)之無愧是數(shù)學(xué)里的繪畫大師。也許現(xiàn)在的你對它還有很多難以理解的地方，但不要緊，先看到它的美，再試著去探索它的奧秘吧！還有更多美麗的圖形等待你的發(fā)現(xiàn)。

（責(zé)任編輯 / 張麗靜 美術(shù)編輯 / 周游）

知識鏈接 分形

分形具有以非整數(shù)維形式充填空間的形態(tài)特征，通常被定義為“一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數(shù)個部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小后的形狀”，即具有自相似的性質(zhì)。

c≈-0.12+0.74i 的朱利亞集，形似一只兔子（供圖/ 張浩）

曼德勃羅集