恒久的數學定理

王治鈞

西班牙數學家愛德華多

數學的意義是什么？

如果有人問，數學的意義是什么，你會怎么回答呢？有些數學家對這個問題的回答是，數學本身就是意義。他們認為，一套能自圓其說的邏輯系統本身就是意義，為什么一定要給它找一個“用處”？

有些數學家屬于諄諄善誘型，就像你的數學老師，他們會更溫和地告訴你：“你可能意識不到，數學蘊藏于萬物之中。”科學家、工程師利用數學理論獲得了現實中的進步。建筑、人工智能、航天探測等領域更是離不開數學，不懂數學你造的橋可能會垮塌，飛船可能會出現故障，亦或給復雜山地的智能無人果園帶來損失。

還有一部分數學家對這個問題的回答是：數學讓我們更好地認識世界。

確實，數學不需要為某個“意義”而存在，它本身就是一套精美而又邏輯自圓其說的系統，是人類歷史上集眾人思想合力的偉大成就之一。數學的精美構造幾乎滲透于萬事萬物當中。

提起數學，你會想到什么？是隨處可見的阿拉伯數字，還是課本上復雜深奧的數學公式？數學存在的意義是什么？數學家們是如何發掘一個數學定理的？讓我們聽聽西班牙數學家愛德華多（EduardoSáenz de Cabezón）是怎么說的。

走出混沌

如果我們更進一步深入思考科學，去看看它背后有什么樣的奧妙，就會發現，科學和藝術一樣，它的運轉同樣離不開一定程度的直覺和創造力，而數學馴服了天馬行空的創造力和千絲萬縷的直覺。

拿一張A4紙對折50次后，紙的厚度幾乎相當于地球到太陽的距離（約1500萬千米）。直覺會告訴你“這不可能”！但是如果你通過數學計算來驗證一下就會發現，這確實是真的。

這就是數學的意義——幫你走出混沌，更好地認識世界！

其實，所有科學都是如此，既能夠幫助人類認知世界之美，也能幫助人們避免某些糟糕的結果，這就是意義。有些科學對人類發揮直接作用，比如腫瘤學。有些只能遠觀，然而它們卻是支撐其他學科發展的基石，數學就是這樣一門基礎科學。科學的嚴謹來自蘊含其中的數學構造本身的嚴謹，而數學的嚴謹來自其研究成果無限追求邏輯的自圓其說。

從地球到月球的紙梯子

勾股定理

威爾-弗蘭多面體

尋找定理

不知道你有沒有聽過這句話：鉆石永恒。鉆石作為最堅硬的寶石，在人類科學的時間尺度上，一顆鉆石幾乎可以持續到永遠。你又是如何看待“永恒”這個詞的呢？在數學家眼中，數學定理才是流傳后世，禁得起時間考驗的智慧瑰寶。商高（又名殷高，中國古代周朝數學家）和畢達哥拉斯（古希臘數學家）已經塵歸塵、土歸土，但是勾股定理提起數學，你卻超越了這些人存在的時間，并將繼續向前。只要有一個直角和一個合適的斜邊相結合，勾股定理就呱呱墜地，屢試不爽讓人稱奇。

數學家們將自己的一生奉獻給了對定理的發掘。浩瀚無垠的數學理論中，哪些可能是有待證明的定理，哪些是無法驗證的猜想，甚至哪些是錯誤的理論呢？這個過程就像是在沙灘上尋找最美的貝殼，盡管有時你會撿到石頭或瓶蓋。一代又一代數學家在數學的沙灘上發掘鉆石般長久的定理，這其中的過程不止一支筆、一張紙的論證。

由正六邊形組成的蜂巢

比如，蜂巢定理的發掘前后跨越了1700年之久。如果有一個無限大的二維平面，我們要用形狀一致的元素不留任何縫隙地覆蓋它，哪個形狀才是最佳選擇？我們可以用方形，也可以用三角形，但圓形就需要被淘汰，因為圓形會留下縫隙。數學家們追求的是不留縫隙，周長最短，覆蓋面積最大的最優圖形。公元4 世紀，古希臘數學家佩波斯提出，正六邊形——例如苯與石墨的分子結構、龜殼、蜂巢等，就是覆蓋二維平面的最佳結構。但佩波斯并沒有去驗證這個想法，所以這個理論被人們稱為蜂巢猜想。直到1999年，數學家黑爾斯證明了正六邊形就是最優選擇，而此時已是這個猜想提出的1700年以后了。

于是“正六邊形是最優解”這個猜想從此作為“蜂窩定理”流傳，不但有力推動了建筑、計算機學科的發展，還影響到超市貨物的擺放、雞蛋盒的制作，在提高人們生活質量的同時，更在視覺上增添了秩序之美。

如果在三維空間中提出這個問題呢？如果我想用一個元素填充三維空間不留縫隙，誰是最優圖形？立方體是一個選擇，而曲面體就不可以了，會留下縫隙。開爾文爵士，即熱力學第二定律的提出者認為，最好的結構是截角八面體，但他并沒有證明這個想法。所以人們把他提出的“截角八面體是填充三維空間的最佳結構”這一理論稱為開爾文猜想。

基于“威爾-弗蘭多面體”結構建造的“水立方”

有人支持開爾文，也有數學家持反對意見。在反復研究且嘗試論證這一理論的100年后，終于有人找到了更好的選擇——數學家威爾和弗蘭發現了一個結構，并將它命名為威爾-弗蘭多面體。它看起來像是個奇怪的物件，但其實沒有那么特別，這種結構在自然界中隨處可見，非常有趣。鑒于它的幾何特性，北京奧運會的“水立方”就采用這種結構建造。接下來，如果沒有人發現更好的結構，威爾- 弗蘭多面體就是迄今為止人類發掘出的最佳圖形。如果這個多面體在100年甚至1700 年后，被某位數學家證明就是最佳選擇，那么它就會像勾股定理一樣流傳后世，成為“威爾-弗蘭多面體定理”。

生活中的數學

數學對人類的影響不止高科技，也與生活有關。超市貨物擺放呈現的幾何形狀，小小雞蛋盒表現出的可視化空間圖形設計，讓數學的“秩序”和“協調”之美滲透于生活之中。那么還有哪些人類的日常活動，離不開數學知識呢？我們來看一個例子。

如果你面前有100個蘋果，而你只能按順序一個一個去選擇，那么第幾個蘋果，有可能會是最大的一個呢？如果你選了第一個蘋果，可能會錯過后面大量更大的蘋果。但如果你一直惦記著“后面還有更大的”，而放棄了前99個蘋果，第100個有可能是最小的。只要蘋果多于兩個，直接選第一個或者最后一個，都是有風險的。

但我們如果從數學的角度看問題，運用概率知識，就能夠提出一個不靠直覺或運氣，而是通過精確計算得出的解決方案。不妨從這堆蘋果里選出一部分看一看，這樣你就能了解這些蘋果大概有多大。然后，再從剩下的蘋果里，選出一個比你看到的最大的蘋果要大的蘋果。

那么先看一看的這部分蘋果又該選多少個呢？我們計算一下就會發覺這個數值是37%。也就是100個蘋果中的前37 個只看不選，從后63個當中選，是最有可能選出最大蘋果的方案。它雖然不能幫你作出絕對正確的選擇，但是至少可以讓你避免因為怕選不到大的而一拖再拖，最后一無所獲，或者太過心急直接選了第一個，錯過后面更大的選擇這種局面。這就是前文所說的——數學，既能夠幫助人們認識世界之美，也能夠幫助人們避免一些糟糕的結果。

數學是發明還是發現

既然數學如此無處不在，那么第一個提出“數學”的人是誰呢？數學到底是人類智慧發明創造的產物，還是原本就蘊含于自然界之中，像所有山川河流一樣是自然界的一部分？如果在森林中有很多樹，但是沒有人去數它，那么數字還存在嗎？這些問題，讓人類對“數學”更加著迷，對它的探尋更加深入，于是有些數學家就像我們開篇所提到的那樣，視數學為自然界的精髓，提出“數學本身就是意義”。正如笛卡爾所說的：我思，故我在。

數學蘊藏于萬物，支撐科學的嚴謹和秩序美。數學不僅是肉眼可見的數字、橋梁，更是久經時間考驗的定理。當人類被自我認知所困，數學是人類走出混沌的地圖。它的意義是它本身，更是永恒的智慧結晶。

（責任編輯 / 李曉霏 美術編輯 / 周游）