整體感受“一元一次方程”

王競進

首先和同學們一起來看兩個問題：

問題1 “雞兔同籠”問題是我國古代一道經典的數學趣題，最初記載在約1500年前的《孫子算經》中。問題是這樣描述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這句話的意思是：“若干只雞、兔在同一個籠子里，從上面數有三十五個頭，從下面數有九十四只腳。籠中各有幾只雞和兔？”

問題2 一輛快車和一輛慢車同時從A地出發，沿同一公路向相同方向行駛，快車的行駛速度是70km/h，慢車的行駛速度是60km/h，快車比慢車早1h經過B地，A、B兩地間的路程是多少？

對于問題1，大家并不陌生。在小學，我們用假設法進行思考，先假設籠中的雞、兔都有兩只腳，由于“上有三十五頭”，所以籠中的雞、兔的腳應該共有2×35=70（只），而實際上“下有九十四足”，少了94-70=24（只）。究其原因，是因為實際上每只兔少算2只腳，那么籠中兔的只數應該是24÷2=12（只），雞的只數是35-12=23（只）。

到了初中，我們可以利用方程思想來解決此題。如果籠中兔的個數用x表示，那么籠中有（35-x）只雞，籠中兔共有4x只腳，雞共有2（35-x）只腳。根據問題中的相等關系式：籠中雞腳的個數+兔腳的個數=94，可以建立等式：4x+2（35-x）=94。

對于問題2，我們從問題中的數量關系知道：快車行駛到B地的時間比慢車行駛到B地的時間少1h。對于1km的路程，快車比慢車少用（[160][-170]）h，那么快車比慢車少用1h所對應的路程為1÷（[160][-170]）=420km。我們還可以從問題中的數量關系知道：快車每小時比慢車多走70-60=10（km），快車到達B地時，快車比慢車多走60×1=60（km），那么快車行駛的時間就是60÷10=6（h），A、B兩地間的路程用算式表示為：60÷（70-60）×70=420（km）。

如果用方程思想，路程用xkm表示，那么快車從A地到B地所用時間為：[x70]h，慢車從A地到B地所用時間為[x60]h。根據兩車所用時間的關系：慢車所用時間-快車所用時間=1，可以建立等式[x60][-x70]=1。

一、從生活實際問題的解決方法中整體感受“為什么學”

從上述兩個小學階段曾經解決過的問題可以看出，用算術方法解應用題是小學階段數學教材中的重要內容，我們列出的算式只能含有問題中的已知數，而不能含有未知數。如果用本章所學的知識，用字母表示實際問題中的一些數量，再根據問題中的相等關系式，并用含有字母的代數式分別表示相等關系式中的各個量，即可建立相應的等式，如上述問題中的4x+2（35-x）=94、[x60][-x70]=1，這就是方程。

我們從上面的過程可以看出，列方程也是依據問題中的相等關系，但它打破了小學算術方法列式時只能用已知數的限制，方程中可以含有相關的已知數和未知數。因此，一般來說，列方程比列算式有更多的優越性，從算術方法到代數方法是數學的進步。

二、從生活實際問題的解決過程中整體感悟“學什么”

我們在上面的問題中得到兩個等式：4x+2（35-x）=94、[x60][-x70]=1，那么，其中的未知數x到底是多少呢？又該如何求得這個未知數呢？實際上，這就是我們本章將要學習的知識：方程、方程的解、解方程、一元一次方程等概念，等式的性質，一元一次方程的解法以及如何用一元一次方程解決生活實際問題等。

三、從尋求生活實際問題的結論中明白“怎么學”

問題1中，所得的等式是4x+2（35-x）=94。我們可以先應用乘法分配律，將等式中的括號去掉，再應用等式的性質，求得未知數x的值，過程如下：

去括號，得4x+70-2x=94；移項，得4x-2x=94-70；合并同類項，得2x=24；化未知數的系數為1，得x=12。

問題2中，所得的等式是[x60][-x70]=1。我們可以先應用等式的性質將等式中的分數轉化為整數，再應用乘法分配律、等式的性質，求得未知數x的值，過程如下：

去分母，得7x-6x=420；合并同類項，得x=420。

根據實際問題中的相等關系式，列出了一元一次方程，為了求出該方程中的未知數的值，我們一般會靈活應用等式的性質、乘法分配律，經歷去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數的系數化為1等過程，把一個一元一次方程逐步轉化為形如“x=a”的形式。

（作者單位：江蘇省建湖縣教育局教研室）