考慮邊界排水時間效應的軟土一維非線性固結近似解答

馮 霞，宗夢繁，田 乙，梅國雄，吳文兵,3

(1. 中國地質大學工程學院，湖北，武漢 430074；2. 中國地質大學浙江研究院，浙江，杭州 311305；3. 廣西大學工程防災與結構安全教育部重點實驗室，廣西，南寧 530004)

軟土地基的沉降變形問題一直是地基處理中的一個重點問題，固結理論是其重要的理論基礎。1925 年，Terzaghi 首次提出土體一維固結理論[1]，國內眾多學者分別從固結方程、初始條件和邊界條件等方面對該理論進行了完善。隨著實際工程條件的日趨復雜，對一維固結理論的完善工作仍方興未艾。在Terzaghi 提出的一維固結理論中，假定了土體的壓縮系數與滲透系數是常數。實際上，土體的壓縮性和滲透性都會隨著土體的孔隙比減小而減弱[2?3]。如果忽略這種變化，會使得所得的解答明顯高估土體的固結速率。為了描述壓縮系數和滲透系數的變化，e-lgσ'和e-lgkv非線性關系被廣為應用和發展。DAVIS 和RAYMOND[4]基于e-lgσ'關系，假定自重應力沿深度不變，得到固結系數不變的一維非線性固結解析解。XIE 等[5?7]在其基礎上對變荷載下雙層以及成層非線性固結模型進行了解答并得到解析解；在此之后，學者們[8?9]先后對循環荷載下的單層和雙層非線性固結問題進行求解。但以上針對土體一維非線性固結的研究均假定固結系數不變，而在實際工程中，土體的固結系數并不會保持不變。基于此，BARDEN和BERRY[10]通過考慮e-lgσ'非線性關系，發展了一個簡化的非線性一維固結理論，并得到相應的差分解答。MESRI 等[11]同時考慮e-lgσ'和e-lgkv非線性關系，運用有限差分法得到非線性一維固結的數值解答。DUNCAN[12]通過有限單元法對非線性土體的一維固結問題進行了求解與研究。之后，CHEN 等[13]利用DQM(differential quadrature method)求解了成層地基非線性一維固結問題。但是，壓縮系數和滲透系數的變化關系是非線性的，直接求解解析解十分困難，以上復雜的數值解在運用方面又存在較大局限性。因此，在保持足夠精度的條件下，發展非線性固結近似解具有更大的實際價值。李傳勛等[14]和江留慧等[15]基于經典的e-lgσ'以及e-lgkv非線性關系，通過將固結微分方程中的指數項進行簡化，分別獲得了單層以及雙層土體的非線性固結近似解析解，并與差分解答對比驗證了所得簡化解。盧萌盟等[16]和田乙等[17]根據這種簡化方法，先后發展了碎石樁復合地基和排水板地基的非線性固結解答。江文豪等[18]對真空聯合堆載預壓下砂井地基的固結問題進行了研究，并推導得到了砂井地基的非線性固結解。KIM 等[19]基于Davis 假定，分別推導出瞬時加載和單級加載下成層地基一維非線性固結解析解。

以上研究都是基于邊界條件為完全排水或者完全不排水的假設下展開的。但在實際固結過程中，土體的實際邊界排水性狀是變化的，GRAY[20]最早提出半透水邊界并對其展開研究。SCHIFFMAN和STEIN[21]隨后也對半透水邊界條件下非線性土體固結問題展開了研究，但在過程中發現求解比較復雜且難以得出顯式解。基于以上認識，梅國雄等[22]提出在求解過程中考慮邊界排水時間效應，利用分離變量法得到考慮邊界排水時間效應的連續排水邊界下土體一維固結解答。宗夢繁等[23]采用一種多功能大型固結儀，開展了一系列固結試驗，得到隨時間變化的邊界孔壓，驗證了連續排水邊界的合理性，并通過擬合實測的邊界孔壓，得到相應的邊界參數取值。連續排水邊界形式簡單，能反映孔壓隨時間的變化，并且可以退化為完全排水和完全不排水邊界，因此也得到了眾多學者[24?29]的進一步發展和應用。其中，宗夢繁等[26]基于Davis 的假設條件，在解析過程中令Cc/Ck=1，得到連續排水邊界條件下考慮非線性的土體一維解析解，但仍未考慮固結系數在實際工程中的變化。之后，又利用有限差分法研究此問題，采用Crank-Nicolson 差分格式對固結方程進行離散后得到求解矩陣，并利用追趕法求得差分解。

為了同時考慮土體在固結過程中滲透性和壓縮性的非線性變化，本文引入經典的e-lgσ'以及e-lgkv非線性關系，在連續排水邊界條件下，推導出考慮非線性的土體一維固結近似解析解。然后，將所得解答進行退化，驗證其合理性。最后，基于所得解詳細探討在固結性狀的變化中，界面參數、非線性參數會產生怎樣的影響。

1 問題描述

如圖1 所示，厚度為H的土層表面作用有瞬時荷載q0，且為無限均勻分布，其排水邊界為連續排水邊界。假設土體自重應力沿深度不發生改變，記為σ'0，引入經典的e-lgσ'和e-lgkv非線性關系如下：

圖1 地基模型示意圖Fig. 1 Schematic diagram of foundation model

式中：σ'和 σ′0分別為有效應力與初始有效應力；e和e0分別為土體孔隙比與初始孔隙比；Cc和Ck分別為壓縮指數與滲透指數；kv和kv0分別為滲透系數與初始滲透系數。

根據式(1)和式(2)及有效應力原理，可建立土體非線性固結微分方程[14]為：

考慮邊界排水性狀隨時間的變化，固結微分方程求解條件為：

邊界條件：

式中，α 和β 為反映土體頂面和底面排水性狀的界面參數，α、β 均大于0，α、β 值越大，其對應的排水邊界透水性能越好。

初始條件：

式中，q0為瞬時荷載。

在Cc/Ck=1 的情況下，宗夢繁等[26]已獲得控制方程滿足條件的解析解；李傳勛等[14]獲得了Terzaghi 排水邊界條件下Cc/Ck≠1 時的非線性固結近似解析解。目前基于連續排水邊界條件下Cc/Ck≠1時的非線性固結解答研究甚少，本文將對此展開研究。

2 問題的解答

將式(3)進一步展開為：

進一步，按沉降定義的平均固結度Us的表達式如下：

3 解答的論證

3.1 解的退化

當α→∞且β→∞時，固結微分方程的邊界條件退化為u(0,t) = 0 和u(H,t) = 0，基于連續排水邊界條件退化為Terzaghi 雙面排水條件。此時：

同理，將式(45)代入式(34)和式(35)，則可得到退化后的Terzaghi 單面排水條件下超靜孔隙水壓力u和無量綱參數u的表達式。

將式(43)和式(45)分別代入式(37)，則可以分別求出雙面排水和單面排水條件下對應的平均固結度Us；同時，將退化后的雙面排水和單面排水對應的u表達式代入式(36)，則可以分別求出雙面排水和單面排水條件下對應的按孔壓定義平均固結度Up。

3.2 對比驗證

與傳統固結理論[1]相比，基于經典的e-lg σ′以及e-lgkv非線性關系的一維固結理論可以反映土體非線性的參數Nq的影響。由式(1)、式(2)e-lgσ′以及e-lgkv的關系可以得到：

式中：mv為體積壓縮系數；mv0為初始體積壓縮系數。

當Cc/Ck趨于1 時，有：

為驗證本文解答的正確性，筆者編制了相應的計算程序，在考慮邊界排水時間效應的本文解中，分別考慮了Cc/Ck趨于1 時和Cc/Ck偏離1 時兩種情況，對本文解與差分解進行對比；再令α=β=1000，此時連續排水邊界條件退化為雙面排水條件，其余參數保持一致，將本文解答與李傳勛等[14]基于Terzaghi 雙面排水邊界的一維非線性固結近似解析解進行對比。

圖2 為本文解與連續排水邊界下一維非線性固結差分解答的對比結果。可以看出，當Cc/Ck趨于1，基于本文解得到的孔壓分布曲線與差分解的結果相吻合。同時，當界面參數α=β=8 時，土體的孔壓消散速率隨著Nq值的增大而逐漸減小。圖3為Cc/Ck偏離1 時本文解與差分解答的對比結果，可以看出，當Cc/Ck偏離1 時，基于本文解的孔壓分布曲線與差分解的結果有細小偏差，但是在合理范圍之內。本文解與差分解的對比情況驗證了本文解答的正確性。

圖2 本文解與差分解的比較Fig. 2 Comparison between degenerated solution and difference solutions

圖3 Cc/Ck 偏離時本文解與差分解的比較Fig. 3 Comparison between degenerated solution and difference solutions when Cc/Ck≠1

圖4 為退化后的本文解與李傳勛等[14]的解答對比結果。結果顯示，當α=β=1000，本文解答與李傳勛等[14]的解答一致，驗證了本文解答的合理性，同時說明了本文解答包含了完全排水邊界條件下的解答，更具普適性。從圖4 中還可以看出，在完全排水邊界條件下，土體邊界處的孔壓始終為0，不隨時間的變化而變化。這是連續排水邊界下的一個極端情況，但實際中并不會出現這種情況。

圖4 退化后的本文解與李傳勛等[[14]]解的比較Fig. 4 Comparison between degenerated solution and Li's solution[[14]]

4 固結性狀分析

某土層厚度H=10 m，土體表面無限均勻分布的瞬時荷載q0=100 kPa，土體的初始孔隙比e0=1.5，水的容重γw=10 kN/m3，土的壓縮指數Cc=0.6。利用本文解計算不同情況下的土層固結曲線，并對連續排水邊界下土層的非線性固結特性進行分析。

4.1 Cc/Ck<1 時Nq 取值對固結性狀的影響

由式(48)可知，當本文解Cc/Ck趨于1 時，kv與mv值隨Nq值的增大會同步減小。在土體一維固結過程中，kv值越小，則孔壓越難消散，土中孔隙水越難排出；而mv值越小，則土體越難進行壓縮，土體的孔隙體積難以減小，孔壓越容易消散。

但是土的固結系數在實際中并不能完全保持不變，固結系數越大土體固結速率越快，反之固結速率越慢。因此Cc/Ck不會總是趨于1，在Cc/Ck<1 和Cc/Ck>1 的條件下，此時kv和 σ′以及mv的關系為式(46)和式(47)。圖5 分析了當Cc/Ck=0.5 時非線性參數Nq值對孔壓曲線的影響，同樣的，kv與mv值隨Nq值的增大會減小，但是mv比kv減小的快，說明在Cc/Ck<1 情況下，壓縮系數mv決定著固結過程中孔壓的消散能力。由Cc/Ck=0.5 時的孔壓曲線也可以看出，土體孔壓消散能力是隨著Nq值的增大而逐漸增強的。

圖5 Cc/Ck<1 時Nq 值對孔壓曲線的影響Fig. 5 Influence of Nqvalue on pore pressure curve as Cc/Ck<1

圖6 和圖7 分析了當Cc/Ck=0.5 時不同邊界條件下的Nq取值分別對按沉降定義的平均固結度Us和按孔壓定義的平均固結度Up的影響。從兩張圖中容易看出，不論在連續排水邊界條件下還是在Terzaghi 單、雙面排水條件下，土體的固結速率(包括沉降速率和孔壓消散速率)都隨著Nq值的增大而加快。在固結前期，連續排水邊界條件下的固結速率最小；但在中后期，連續排水邊界條件下土體的固結速率超過單面排水下土體的固結速率，而雙面排水下的土體固結速率一直最快。對比圖6 和圖7 發現，Nq取值變化對按沉降定義的平均固結度Us影響明顯大于對按孔壓定義的平均固結度Up影響，說明Cc/Ck<1 時土體沉降對Nq取值變化更為敏感。

圖6 Cc/Ck<1 時不同邊界下的Nq 對平均固結度Us 的影響Fig. 6 Influence of Nqon average consolidation degree Us under different boundaries when Cc/Ck<1

圖7 Cc/Ck<1 時不同邊界下的Nq 對平均固結度Up 的影響Fig. 7 Influence of Nqon average consolidation degree Up under different boundaries when Cc/Ck<1

4.2 Cc/Ck>1 時Nq 取值對固結性狀的影響

圖8 分析了當Cc/Ck=1.5 時非線性參數Nq值對孔壓曲線的影響，由于Cc/Ck>1，在Nq值的增大時，kv比mv減小的快，說明在Cc/Ck>1 的情況下，滲透系數kv決定著固結過程中的孔壓消散能力。因此在Cc/Ck=1.5 時的孔壓曲線中，土體的孔壓消散能力是隨著Nq值的增大而逐漸減弱的。

圖8 Cc/Ck>1 時Nq 值對孔壓曲線的影響Fig. 8 Influence of Nqvalue on pore pressure curve as Cc/Ck>1

圖9 分析了當Cc/Ck=1.5 時不同邊界條件下的Nq取值對按沉降定義的平均固結度Us的影響。可以看出在Terzaghi 單、雙面排水條件下，土體沉降規律與Cc/Ck=0.5 時相反，即土體的沉降速率都隨著Nq值的增大而減小。而在連續排水邊界條件下，固結前期土體的沉降速率隨著Nq值的增大而增大；而在固結后期則相反，土體的沉降速率隨著Nq值的增大而減小。

圖9 Cc/Ck>1 時不同邊界下的Nq 對平均固結度Us 的影響Fig. 9 Influence of Nqon average consolidation degree Us under different boundaries when Cc/Ck>1

圖10 分析了當Cc/Ck=1.5 時不同邊界條件下的Nq取值對按孔壓定義的平均固結度Up的影響，與圖9 規律不同的是，三種邊界條件下的孔壓消散速率都始終隨著Nq值的增大而減弱。并且在圖9 和圖10 的分析中，在固結前期連續排水邊界下土體的固結速率最小，而在固結中后期其固結速率逐漸加快，并介于單面排水和雙面排水條件之間。同時也可以發現，Nq取值變化對按沉降定義的平均固結度Us影響明顯小于對按孔壓定義的平均固結度Up影響，這說明孔壓消散速率Up對Nq取值變化更為敏感。

圖10 Cc/Ck>1 時不同邊界下的Nq 對平均固結度Up 的影響Fig. 10 Influence of Nqon average consolidation degree Up under different boundaries when Cc/Ck>1

結合4.1 節和本節內容所述，當Cc/Ck<1 時，土體沉降對Nq取值變化更為敏感；而當Cc/Ck>1時，土體內的孔壓消散對Nq取值變化更為敏感。

4.3 Tv 對固結性狀的影響

圖11 和圖12 分別給出了當α、β 相等和不等時，連續排水邊界條件下一維非線性固結近似解析解中Tv對孔壓曲線的影響。當界面參數α=β時，如圖11 所示，孔壓曲線在土層深度上對稱分布，頂面土層和底面土層反映的透水性能相同，隨著時間因子Tv的增大，不論是排水邊界還是土體內部，孔壓都逐漸減小。而在圖3 中可以看出，在Terzaghi 雙面排水邊界條件下，排水邊界上的孔壓不隨時間因子Tv的改變而變化，其始終保持為0。這是連續排水邊界條件與Terzaghi 完全排水邊界條件的一個重要區別。

圖11 α=β 時本文解中Tv 對孔壓曲線的影響Fig. 11 The effect of Tvon the pore pressure curve when α=β in this paper

圖12 α≠β 時本文解中Tv 對孔壓曲線的影響Fig. 12 The effect of Tvon the pore pressure curve when α=β in this paper

當界面參數α、β 不相等時，如圖12 所示，同樣的，不論是排水邊界還是土體內部，孔壓隨時間逐漸減小，并且同一時間上半層土內的平均孔壓明顯要小于下半層內的平均孔壓，說明土層頂面的孔壓消散速率要大于土層底面的孔壓消散速率。因此，界面參數α、β 不相等時，靠近界面參數大的邊界的土體孔壓消散越快。在此情況下，從圖12 可以看出，土層中的不排水對稱面位置也隨著Tv的變化而變化，但是在圖3 的Terzaghi雙面排水邊界條件下和圖11 的連續排水邊界條件下界面參數α、β 相等時，土層中的不排水對稱面位置是保持不變的。不排水對稱面的位置即土體孔壓出現峰值的位置。在吹填土地基處理工程中，研究不排水對稱面的位置對優化水平排水砂墊層的鋪設位置具有初步指導意義[25]。

4.4 Cc/Ck 取值對固結性狀的影響

由式(37)，按沉降定義的平均固結度Us的大小受Cc/Ck取值的影響，圖13 對比了Cc/Ck取值不同時對基于連續排水邊界條件下非線性固結近似解答和基于Terzaghi 雙面排水條件下土的非線性固結近似解答的影響。可以看出，不論在連續排水邊界條件下還是雙面排水條件下，Cc/Ck值越大，土體的沉降發展越慢，反之，Cc/Ck值越小，則土體的沉降速率越快。在整個固結過程中，當其他參數相同時，基于連續排水邊界條件下的土體沉降速率一般總是小于雙面排水下的土體沉降速率。

圖13 不同邊界條件下Cc/Ck 對平均固結度Us 的影響Fig. 13 Influence of Cc/Ckon average consolidation degree Usunder different boundaries

圖14 對比了Cc/Ck取值對基于連續排水邊界條件下非線性固結近似解答和基于Terzaghi 單面排水條件下土的非線性固結近似解答的影響。從圖中可以看出，在固結前期，當Cc/Ck取值一定時，連續排水邊界條件下的沉降速率小于單面排水下的沉降速率；在固結中后期，當Cc/Ck取值一定時，連續排水邊界條件下的沉降速率大于單面排水下的沉降速率。

圖14 不同邊界條件下Cc/Ck 對平均固結度Us 的影響Fig. 14 Influence of Cc/Ckon average consolidation degree Usunder different boundaries

4.5 α、β 取值對固結性狀的影響

圖15 反映了α、β 取值對平均固結度Us的影響。通過對比基于連續排水邊界條件下的固結度與基于Terzaghi 單、雙面排水條件下的固結度，可以看出：在連續排水邊界條件下，α、β 取值越大，土體固結沉降越快，其曲線越來越接近雙面排水下的曲線，α、β 取值越小，土體的固結沉降越慢，其曲線也越來越偏離雙面排水下的曲線；在固結初期，連續排水邊界條件下的沉降速率最低，但隨著固結過程的發展，連續排水邊界條件下的固結沉降速率會超過單面排水下的固結沉降速率，但不會超過雙面排水下的沉降速率。在實際工程中，可以通過調整α、β 取值來設計工程中所需要的固結排水速率。

圖15 α、β 值對平均固結度Us 曲線的影響Fig. 15 Influence of α and β values on average consolidation degree Upcurve

5 結論

對推導出的考慮非線性的土體一維固結近似解析解同時進行退化和非退化的對比驗證，分析各個參數變化對固結速率的影響，得出以下結論：

(1) 在連續排水邊界條件下，邊界處的孔壓隨時間逐漸減小，最終消散至0。而在Terzaghi 完全排水邊界條件下，邊界處的孔壓始終為0，這是連續排水邊界的一種特例。本文考慮排水邊界時間效應得到的飽和土體一維非線性固結近似解答，能成功退化到既有的基于Terzaghi 排水邊界下的解答，是一種更具一般性的解答。

(2) 在連續排水條件下，土體內的不排水對稱面的位置與界面參數有關，并且隨時間會發生變化。當界面參數不相等時，不排水對稱面更靠近界面參數小的一側，并隨著時間增大向更靠近該側的方向移動。而Terzaghi 排水邊界條件下的不排水對稱面的位置始終保持不變。

(3) 當Cc/Ck>1 時，在固結前期，土體的沉降速率隨著Nq值的增大而增大，而在固結后期則相反，這與Terzaghi 單、雙面排水下沉降速率隨Nq值的變化規律不同。

(4) 在連續排水邊界條件下，土層界面參數α、β 取值越大，土體的孔壓消散能力越強；α、β 取值越小，土體的孔壓消散能力越弱，并且α、β 對土體固結的影響很大，因此在土體固結分析中，考慮邊界條件的時間效應十分重要。