齒輪齒條式慣質粘滯阻尼器的拉索減振機理研究

劉 菁，梁 棟,2，楊 柳，李英俊，熊章豪

(1. 河北工業大學土木與交通學院，天津 300401；2. 河北省土木工程技術研究中心，天津 300401)

斜拉橋更大的跨徑及其舒適性與安全性是設計者與建造者共同追求的目標。但是，由不同致振機理導致的振動均會影響斜拉橋的使用，小幅度的振動會影響斜拉橋的舒適性，而劇烈的大幅振動會直接危及人民的生命與財產安全。特別是，拉索作為一種細長的構件，其橫向剛度和自身阻尼很小。因此拉索在外荷載作用下，如：在車輛荷載、風荷載以及風雨作用下更易發生振動。拉索的大幅振動更是引起了國內外學者的廣泛關注[1?11]。為抑制拉索振動，在實際工程中通常采取了多種多樣的拉索減振措施，如：安裝內置、外置、單端或雙端粘滯阻尼器、增加輔助索或在拉索上纏繞螺旋線等。其中在拉索近錨固端安裝被動式粘滯阻尼器是最為常用的方法。許多學者對粘滯阻尼器的性能和最優參數設計進行了廣泛的研究[12?17]。隨后，研究者們考慮了不同的非理想條件，包括阻尼器的非線性、內部剛度、支撐剛度、拉索的垂度以及索-梁之間耦合振動等不利因素的影響[17?18]，以優化阻尼器的阻尼系數并準確預測拉索的阻尼比。這些研究表明，粘滯阻尼器可以為指定的拉索振動模態提供最佳阻尼，但阻尼器安裝位置到拉索錨固端的距離較通常較近[19?20]，這使傳統粘滯阻尼器的減振效果很難得到進一步的提高。

在研究具有負剛度特性的阻尼器的過程中，研究者們發現負剛度元件可使阻尼器的兩端產生更大的相對位移，從而消耗更多能量[21?26]。同時，具有較小物理質量的慣質元件可通過滾珠絲杠、齒輪齒條或杠桿擺等機構的作用，產生較大的慣性質量。因此，由慣質元件所產生的負剛度效應也逐漸用于結構振動控制。黃緒宏等[27]將慣質引入顆粒阻尼器，建立了考慮慣質的多顆粒阻尼器力學模型。張瑞甫等[28?30]分別針對安裝混聯I 型慣容減振系統(SPIS-I)與混聯Ⅱ型慣容減振系統(SPIS-Ⅱ)的單自由度體系開展了隨機地震響應的機理研究，并提出了振動控制的設計策略。LAZAR 等[31?33]使用慣質元件替換了調諧質量阻尼器中的質量元件，得到了調諧慣質阻尼器(TID)分析模型。針對拉索第一階振動模態的減振分析表明，當阻尼器安裝位置一定時，TID 比傳統粘滯阻尼器具有更優的減振效果。CHEN 等[34?35]將被動負剛度裝置應用于拉索-阻尼器減振系統，以克服由于阻尼器安裝位置限制而引起的附加阻尼不足的問題，并討論了由于負剛度引起的非線性阻尼力對拉索減振分析的影響。SHI 等[36?39]將彈簧和粘滯阻尼器并聯形成負剛度阻尼器，通過數值分析和模型試驗，驗證了該阻尼器對拉索第一階振型的減振性能遠優于傳統粘性阻尼器。NAKAMURA 等[40]、WANG 等[41]利用旋轉式電磁阻尼器與滾珠絲杠式慣容器分別研發了電磁式慣性質量阻尼器(EIMD)，EIMD 通過滾珠絲杠的作用，使阻尼器能夠以較小的物理質量與較低的阻尼系數，獲得可觀的慣性力與阻尼力。LI 等[42]提出了一種電磁并聯阻尼器 (EMSD) 來模擬慣質阻尼器，開展了張緊拉索的室內振動控制試驗。LI等[43]使用了一臺電磁式慣性質量阻尼器 (EIMD)的新型阻尼器樣機對135 m 長的張緊拉索進行減振試驗和數值研究。

通過上述分析可知，目前將慣質類阻尼器應用于拉索減振的相關研究還很不充分，多偏向于理論研究，且阻尼器樣機多以滾珠絲杠結合電磁元件實現。特別是在拉索-慣質粘滯阻尼器體系的振動控制方面還缺少詳細深入的研究。為深入的分析慣質粘滯阻尼器對拉索的振動控制效果，本文設計并制作了包括齒輪齒條、慣質元件和阻尼元件在內的慣質粘滯阻尼器，開展了相應的理論分析、阻尼器耗能性能試驗及拉索-阻尼器體系的減振試驗。

1 新型齒輪齒條式慣質粘滯阻尼器

本文介紹的齒輪齒條式慣質粘滯阻尼器受力機理明確、齒輪齒條結構穩定可靠，能夠承受較大荷載便于在實際工程中應用。拉索與齒條通過索夾片連接，拉索振動帶動齒條進行上下往復運動，齒輪將齒條的直線往復運動轉化為慣質圓盤和阻尼圓盤的轉動；利用阻尼圓盤在阻尼液中的轉動實現耗能[44?46]。

1.1 新型慣質粘滯阻尼器的組成及其力學參數

如圖1 所示，慣質粘滯阻尼器由兩部分組成：慣質元件和阻尼元件。其中，r1～r3分別為齒輪、轉軸和阻尼圓盤的半徑，慣質圓盤的半徑為r5。拉索豎直方向的振動通過齒條和齒輪變為輸入軸的轉動，則轉動部件的轉角 θ和阻尼器產生的扭矩T可表示為[47]：

圖1 慣質粘滯阻尼器的剖切圖Fig. 1 Diagram of the viscous inertial damper

1.2 慣質裝置的計算

新型慣質粘滯阻尼器中的轉動、直線運動的部分，在運動過程中都會產生慣性扭矩和慣性力。式(2)中慣質元件所產生的扭矩Ti可表示為(下標i 為慣質首字母縮寫)：

1.3 阻尼裝置的計算

本文采用3 號鋰基潤滑脂和液壓油按照1∶3 的體積比配合成粘滯阻尼液，阻尼扭矩Tc可表示為[48]：

1.4 阻尼力計算公式

2 阻尼器耗能試驗結果及分析

目前，了解阻尼器力學性能的主要方法是性能試驗。本文將阻尼器通過索夾將齒條與拉索連接，采取人工在拉索相應振型的反節點處采取相應的頻率進行激振，當垂直振動幅度達到一定值時停止激勵，讓拉索做自由衰減振動。通過記錄垂直振動的時程曲線，來研究不同工況(不同慣性質量與不同振動模態)下阻尼器的力學性能。振動數據通過MATLAB 中的帶通濾波器以消除其他振動模態的影響[17]，阻尼器樣機如圖2 所示。

圖2 阻尼器樣機Fig. 2 Prototype of the damper

2.1 阻尼器性能評價所需參數的計算

將阻尼器的齒輪、轉軸、阻尼圓盤、慣質圓盤的各項參數按照式(4)～式(6)計算并匯總于表1 和表2。

表1 阻尼器各組成部分Table 1 Damper’s parameters

表2 阻尼器的慣性參數Table 2 Damper’s inertial parameters

值得說明的是，該慣質粘滯阻尼器必須由齒輪、齒條、轉軸和阻尼圓盤組成，因此該阻尼器樣機慣性質量最小值為4.2334 kg。此外，根據不同減振目標模態的需求，選擇了附加不同的慣質圓盤進行阻尼器耗能性能分析。

2.2 不同頻率下的阻尼器耗能性能

在阻尼油箱中加入阻尼油并將阻尼圓盤安裝于轉軸上。阻尼圓盤在阻尼油中轉動起到剪切阻尼油的作用，并且由于圓盤同時具有一定的慣質，也會同時起到提供負剛度的作用，如需增加慣質時，考慮在轉軸另一端添加慣質圓盤。在慣質bd分別為4.2334 kg、10.0136 kg 和20.4042 kg，振動頻率分別為1.92 Hz、1.77 Hz 和1.55 Hz 時(為阻尼器安裝于拉索距錨固端2.3 m 時的一階對稱振動頻率)，分別記為工況1、工況2 和工況3。慣質bd分別為4.2334 kg、10.0136 kg 和20.4042 kg，振動頻率分別為3.17 Hz、2.77 Hz 和2.59 Hz(為阻尼器安裝于拉索距錨固端2.3 m 時的一階反對稱振動頻率)時，分別記為工況4、工況5 和工況6，工況匯總如表3。

表3 各工況慣質、頻率匯總Table 3 Summary of inertial and frequency of each case

根據工況1、工況2 和工況3 試驗得到的滯回曲線采用最小二乘法擬合，根據式(9)可以確定慣質粘滯阻尼器的阻尼系數cd＝66.0079 N·s/m。工況1、工況2 和工況3 試驗力-位移曲線與按式(10)計算的理論力-位移曲線分別如圖3(a)～圖3(c)所示，試驗與理論所得的力-位移曲線包絡面積與負斜率均近似相等。

圖3 滯回曲線Fig. 3 Hysteretic curve

根據工況4、工況5 和工況6 試驗得到的滯回曲線采用最小二乘法擬合，根據式(9)可以確定慣質粘滯阻尼器的阻尼系數cd＝66.0079 N·s/m。工況4、工況5 和工況6 試驗得到的力-位移曲線與按式(10)計算的理論力-位移曲線分別如圖4(a)～圖4(c)所示，試驗與理論所得的滯回曲線包絡面積與負斜率均相等。藉此，可以認為本文所述的阻尼液是較為穩定的。

圖4 滯回曲線Fig. 4 Hysteretic curve

3 拉索－慣質粘滯阻尼器減振的歸一化方程

為研究慣質粘滯阻尼器對拉索的減振作用，本文建立了如下理論分析模型，拉索平面靜態構型如圖5 所示。

圖5 傾斜拉索的平面靜態構型Fig. 5 In-plane static profile of inclined cable with sag

3.1 垂度拉索的平面內振動

考慮到有垂度拉索在阻尼器位置處的位移連續性條件，約去式(16)解中的時間項：

3.2 對稱模態的波數方程

并將式(28)整理得到：

3.3 反對稱模態的波數方程

3.4 張緊索的波數方程

根據式(21)，當λ2=0時，則式(21)左端第三項為零，可得張緊索的歸一化波數方程為：

式(35)與文獻[51?53]所述張緊拉索的波數方程相吻合。式(30)、式(33)和式(35)通過牛頓迭代法求解，可得到較為準確的計算結果。本文通過數值計算軟件MATLAB，得到歸一化的波數，而后通過式(36)計算模態阻尼比。

4 拉索-慣質粘滯阻尼器理論分析的試驗驗證

4.1 試驗裝置

考慮到試驗條件和實驗室具體情況，本文選用一根直徑為9.3 mm 的鋼絲繩作為拉索，水平錨固在反力架上。為降低拉索的自振頻率，在鋼絲繩上安裝了小質量塊。模型索-阻尼器試驗系統如圖6 所示，拉索各項參數詳見表4。針對本次試驗，用量程為50 kN 的壓力傳感器測量模型索索力；用量程為2.5 kN 的拉壓力傳感器測量阻尼力時程；用量程為±120 mm 的激光位移計測量模型索在距離拉索左端0.7 m、1.4 m、2.3 m、3.5 m 與對稱位置處距離拉索右端1.4 m 和2.3 m 處的位移時程，①～⑥為激光位移計，⑦和⑧為力傳感器，傳感器布置如圖7 所示。

圖6 拉索振動控制試驗Fig. 6 Test photo of cable vibration control

圖7 試驗模型傳感器布置圖 /m Fig. 7 Sensors’ location of the test model

表4 模型索的物理參數Table 4 Physical parameters of the model cable

4.2 拉索-慣質粘滯阻尼器系統減振效果分析

本文通過分析拉索自由振動的衰減速度，來考察阻尼器對拉索振動影響。采用的評價指標是模態阻尼比。在研究拉索的一階對稱振動時，激振位置為拉索跨中處；在研究拉索的一階反對稱振動時，激振位置為拉索遠離阻尼器端的四分之一跨徑處。待拉索按照相應的頻率穩定振動后，立即停止激勵的施加[17,43,54]。在本文試驗中，忽略拉索內阻尼，通過快速傅里葉變換FFT，識別拉索各階頻率。無控拉索一階對稱振動頻率為1.95 Hz，一階反對稱振動頻率為3.63 Hz。拉索受控振動條件下，通過對拉索阻尼器安裝位置處的時程曲線峰值進行擬合，可以求得拉索發生一階對稱振動、一階反對稱振動時的阻尼比。在拉索另一端，阻尼器安裝位置的對稱點處安裝激光位移計，測量對稱點處的時程曲線。通過比較阻尼器安裝位置和拉索另一端對稱點⑤的振幅，可以分析阻尼器對受控系統的位移放大效應。同時，按照式(24)將慣質粘滯阻尼器的參數進行歸一化，將歸一化參數代入式(30)與式(33)，并通過式(36)可得到模態阻尼比的理論計算值。各參數的歸一化值詳見表5。

表5 阻尼器各參數的歸一化值Table 5 The normalized parameters of the damper

工況1、工況2 和工況3 的歸一化慣質分別為0.13、0.3 和0.61，其一階對稱振動衰減曲線及其包絡線分別如圖8(a)～圖8(c)所示；工況4、工況5 和工況6 的歸一化慣質分別為0.13、0.3 和0.61，其一階反對稱振動衰減曲線及其包絡線分別如圖8(d)～圖8(f)所示。

如圖8 所示，通過比較阻尼器安裝位置和拉索另一端對稱點處的振幅，可以觀察到慣質粘滯阻尼器在安裝位置處對拉索的位移放大效應。本文給出了阻尼器安裝位置處的實測阻尼比與理論計算阻尼比，驗證了理論計算的準確性。同時，給出了實測頻率，可以說明附加慣質粘滯阻尼器的拉索頻率改變情況。分別將歸一化慣質為0.13 時的工況1 和工況4 的試驗結果與理論計算值匯總于表6，將歸一化慣質為0.3 時的工況2 和工況5 的試驗結果與理論計算結果匯總于表7；將歸一化慣質為0.61 時的工況3 和工況6 的結果匯總于表8。

表6 阻尼比及頻率結果匯總Table 6 Damping ratio and frequency summary and deviation

表7 阻尼比及頻率結果匯總Table 7 Damping ratio and frequency summary and deviation

表8 阻尼比及頻率結果匯總Table 8 Damping ratio and frequency summary and deviation

圖9(a)～圖9(c)分別給出了拉索一階對稱振動與一階反對稱振動的理論計算值與試驗值的對比。將一階對稱振動的理論計算結果與圖8(a)～圖8(c)對比可知，歸一化慣質越大，垂索在阻尼器安裝位置處的位移放大效應越明顯，能夠使阻尼器消耗更多的能量，使一階對稱振動有較高的阻尼比。將一階反對稱振動的理論計算結果與圖8(d)～圖8(f)對比可知，在歸一化慣質為0.13 與0.3 時，均產生了位移放大效應。此時，一階反對稱模態也獲得了較高的阻尼比。而在歸一化慣質為0.61 時，阻尼器處產生的位移小于拉索對稱點上的位移，未產生位移放大效應，此時慣質對一階反對稱模態的阻尼比產生負面影響。

圖8 振動衰減曲線Fig. 8 Vibration attenuation curve

5 減振機理探討

5.1 慣質系數的影響

只考慮慣質bd時，式(30)、式(33)與式(35)的解為純實數[37]。圖10 表示了垂索一階對稱振動、垂索一階反對稱振動、張緊索一階振動及張緊索二階振動的歸一化頻率相對于歸一化慣質系數變化的曲線。

由圖10 可知，附加慣質會降低拉索的各階模態頻率，所有模態頻率均隨著歸一化慣質系數的增加而降低。當=∞時，垂索一階對稱振動與張緊索一階振動的歸一化頻率趨近于零；而垂索一階反對稱振動與張緊索二階振動的歸一化頻率與長度為l2的無控拉索的相鄰低階頻率接近(即總長為l2的未安裝阻尼器拉索的頻率，就像拉索一端被嵌固在阻尼器位置一樣，即嵌固頻率=1/l2)。同時，振型可看作是本階振型按照附加慣質元件之后的修正值。本文針對垂度拉索的理論計算結果與文獻[41]中的計算結果是一致的，垂索一階反對稱振動的歸一化嵌固頻率比張緊索二階振動的歸一化嵌固頻率高是因為垂度項的存在，且垂索與張緊索的較高階頻率均比相應的低階頻率有更快的下降率。無論是張緊索或垂索，慣質粘滯阻尼器能夠較為明顯的改變拉索的各階頻率。

圖10 歸一化頻率變化Fig. 10 The normalized frequency variation

5.2 阻尼系數的影響

當慣質bd分別為0.13、0.3 和0.61 的固定值時，改變歸一化阻尼系數cd，求解式(30)和式(33)，可以分別得到垂索對稱模態和反對稱模態的歸一化頻率和歸一化波數。求解式(35)可以得到張緊索的歸一化頻率和歸一化波數。同時，因為有式(36)，求解得到的歸一化頻率與波數同時也可以說明圖9 中模態阻尼比的變化規律。

圖9 試驗與理論模態阻尼比的比較Fig. 9 Comparison between experimental and theoretical damping ratios

圖11 波數與頻率變化Fig. 11 Wave number and frequency variation

6 結論

本文對一種新型齒輪齒條式慣質粘滯阻尼器進行了歸一化復模態分析和實驗研究，詳細分析了阻尼器的耗能性能及拉索-阻尼器體系的減振性能。本研究的主要結論總結如下：

(1) 通過試驗，觀察到了齒輪齒條式慣質粘滯阻尼器對垂度拉索的位移放大現象，這種位移放大現象能夠使阻尼器耗散更多能量從而獲得較高的模態阻尼比。

(2) 按照本文所述方法對各參數進行歸一化后，當歸一化慣質系數和歸一化阻尼系數為優化值時，能夠同時獲得垂索的相鄰兩階振動的最優阻尼比，且此時二者頻率相同。

(3) 無論是張緊索或者垂索，慣質粘滯阻尼器能夠較為明顯的改變拉索的各階頻率，可以通過本文所述的方法對其進行分析。

(4) 對于安裝齒輪齒條式慣質粘滯阻尼器的拉索，可以按照本文提出的方法，根據減振目標模態進行阻尼器參數設計。