等質量5衛星中心構型模型與計算

陳 劍 李培茂 張曉勇 謝馥勵 畢 鵬

（1.西南科技大學數理學院 四川綿陽 621010；2.四川中煙工業有限責任公司綿陽卷煙廠 四川綿陽 621000；3.西南科技大學制造科學與工程學院 四川綿陽 621010）

人類對星星（天體）的觀察和研究已有幾千年歷史并將一直持續進行。天體力學的誕生使人們對星星（天體）的研究進入新的歷史階段。牛頓N體問題是天體力學的基本問題之一，作為研究天體系統運行的一種力學模型，對它的研究有助于人類對自然界中基本天文現象的理解和預測，如海王星的發現。中心構型是天體力學上一個古老且重要的問題，對中心構型的研究在理解N體問題的復雜性方面起著“中心”作用［1］，對人們解釋天體的運行具有非常重要的意義，如天體的碰撞、膨脹、周期軌道以及同形運動等，有太空“停車位”之稱的著名的拉格朗日點就是中心構型一個非常顯著的應用。另外，中心構型能生成牛頓運動方程的唯一顯式解，決定碰撞附近天體的行為以及影響積分流形的拓撲結構等［2］。

1859年，Maxwell構造土星環模型時，近似地把土星環看作是由等質量且位于正n邊形的頂點上的n個無窮小天體（衛星）組成，它們圍繞中心的土星做剛體旋轉。這是人們首次考慮限制1＋n體問題的中心構型，即關于一個大的天體以及n個無窮小天體（衛星）的中心構型問題，對它的研究可用于解釋、預測及模擬小天體（衛星）的運行及相互影響等。

Moeckel［3］研究了n顆衛星中心構型及其線性穩定性，并給出了一個判定準則。Casasayas等［4］給出了n顆衛星中心構型模型的一個新的推導，并且在衛星質量相等的情況下證明了對于足夠多的衛星只有唯一的構型。Albouy等［6］證明了等質量4衛星中心構型模型一定對稱。Oliveira［8］證明了若4顆衛星中的某兩顆衛星對徑，構型一定是對稱的，且這兩顆衛星不能相鄰，而另外兩顆衛星質量相等，同時還得到了構型的個數。Deng等［10］研究了4衛星對稱中心構型。Chen等［11］研究了4衛星的對徑中心構型，發展和推廣了Oliveira的結果。古往今來，中心構型以及限制1＋n體問題的中心構型引起了眾多專家和學者的關注，并得到了大量的建設性成果［12-20］。

1 n顆衛星中心構型模型

設無窮大天體位于平面直角坐標系的原點上且質量為1，n個無窮小天體（衛星）位于qk處且質量為mk＝εμk（k＝1，2，…n），其中μk＞0，ε＞0為趨于零的無窮小參數。對于平面n顆衛星的所有中心構型，衛星都位于一個以無窮大天體為中心的共軌圓上。若以從原點到qi的半徑和原點到qi＋1的半徑之間的夾角θi作為坐標（第n顆與第1顆之間形成的夾角記為θn），n顆衛星的中心構型模型（系統）為：

函數f（θ）的圖像及函數f′（θ）的圖像如圖1、圖2所示。

圖1 函數f（θ）的圖像Fig.1 Image of function f（θ）

圖2 函數f′（θ）的圖像Fig.2 Image of function f′（θ）

本文給出了等質量對徑5衛星中心構型模型，即5顆衛星質量相等且位于以無窮大天體為圓心的共軌圓上，其中某兩顆衛星位于該圓的一條直徑的兩端，即對徑。應用部分對稱條件，得到對稱模型及其解的情況，再從特殊到一般，討論了模型的解。

2 等質量對徑5衛星中心構型模型

當5顆衛星的質量相等時，模型（1）演化為：

下面分別針對相鄰衛星對徑和相間衛星對徑兩種情況研究模型（2）。

2.1 相鄰兩衛星對徑

不失一般性，假設θ1＝π，θ2＋θ3＋θ4＋θ5＝π，如圖3所示。注意到f（π）＝0，f（π-θ）＝-f（π＋θ），f（2π-θ）＝-f（θ）以及θ5＝π-θ2-θ3-θ4，模型（2）轉化為：

圖3 相鄰兩衛星對徑Fig.3 Consecutive satellites being diametrically opposite

2.1.1 對稱模型

由于該系統較復雜，首先考慮θ3＝θ4時的特殊情況，此時方程（6）變為f（π＋θ2＋θ3）＋f（θ2＋θ3）＝0，根據f（θ）的性質2f（π-θ）＝-f（π＋θ），有f［π-（θ2＋θ3）］＝f（θ2＋θ3）。令即可得，易求得，所以由于，因此而θ3＝θ4，所以θ5＝θ2，此時模型對稱。又由方程組式（3）-式（7）等價于以下方程組：

即g（θ）在內只有唯一零點，且屬于

2.1.2 一般模型

因為在等質量條件下，對稱模型是最有可能產生中心構型的情況。而前面已經證明了對稱情況不存在中心構型，所以推測一般模型也不存在中心構型，即方程組式（3）-式（7）也是無解的。由于模型的復雜性，理論分析較為困難，利用MATLAB編程解方程組式（3）-式（7），可得到當3，4，5）時，方程組確實無解，也就是說當衛星質量相等時，不存在某相鄰兩衛星對徑的中心構型。

2.2 相間兩衛星對徑

不失一般性，設θ1＋θ2＝π，θ3＋θ4＋θ5＝π，如圖4所示。注意到f（π）＝0，f（π-θ）＝-f（π＋θ），f（2π-θ）＝-f（θ）以及θ2＝π-θ1，θ5＝π-θ3-θ4，則模型（2）轉化為：

圖4 相間兩衛星對徑Fig.4 Alternate satellites being diametrically opposite

這里模型（2）的第5個方程可由前4個方程得到，因此消去。因θ3＋θ4＋θ5＝π，所以θ3，θ5中至少有一個小于

2.2.1 對稱模型

又由式（9）和式（11）可得：f（θ3）-f（π-θ3）＝f（θ5）-f（π-θ5）。

令l（θ）＝f（θ）-f（π-θ），l′（θ）＝f′（θ）＋f′（π-θ），l″（θ）＝f″（θ）-f″（π-θ），由于f?（θ）＞0，?θ∈（0，2π），即f″（θ）在（0，2π）內單調遞增。若，此時θ＜π-θ＜π，就有f″（θ）＜f″（π-θ），即l″（θ）＜0，所以l′（θ）在上單調遞減。而，即l′（θ）＞0，所以上單調遞增。由于，可得θ3＝θ5，即構型是對稱的。此時，式（9）-式（12）等價于如下方程組：

所以m（θ）＝0在內存在唯一解且屬于

2.2.2 一般模型

同樣，因為在等質量條件下，對稱模型是最有可能產生中心構型的情況。而上面已經證明了對稱模型不存在中心構型，所以可推測一般情況下也不存在中心構型，即方程組式（9）-式（12）也是無解的。由于模型的復雜性，理論分析較為困難，利用MATLAB編程解方程組式（9）-式（12），可得到當或時，系統確實無解，亦即當5衛星質量相等時也不存在相間兩衛星對徑的中心構型。

3 結論

應用對稱模型方法及計算機仿真建模，從特殊到一般，研究了等質量對徑5衛星中心構型。證明了當5顆衛星質量相等且其中某兩顆衛星（無論相鄰還是相間）對徑時，中心構型方程都無解，即不存在等質量對徑5衛星中心構型。文中所用方法及所得結果，豐富了對限制1＋n體問題中心構型的認識，為人們研究和探索衛星及人造衛星在空間的分布提供了有意義的理論依據。