基于氣液動力學電池模型和CKF算法的SOC估測

曲智偉，孫化陽，竺玉強，栗歡歡

(1.江蘇大學汽車工程研究院，江蘇鎮江 212013；2.凱博能源科技有限公司，江蘇常州 213000)

鋰離子電池以其循環壽命長、自放電率小、比能量高、無記憶效應等優點被廣泛應用在電動汽車領域[1]。為保證鋰離子電池安全高效的工作，需要準確地估計電池荷電狀態(SOC)，并設計可靠的電池管理系統。

目前估算SOC的方法有安時積分法、開路電壓法以及基于模型的方法。其中基于模型的方法是當前研究的熱點，最具代表性的就是基于等效電路模型和電化學模型的SOC估算方法[2]。等效電路模型采用電子元器件來模擬電池工作過程[3]，其在多年的發展中，從早期的Rint 模型逐步發展成Thevenin 模型[4]、PNGV 模型[5]，進而衍生出多階RC 模型。然而，每增加一個RC 結構就會增加兩個需辨識參數，增加了模型復雜度和參數辨識難度，且已有的研究表明，模型階數的增加，并不能一直提高模型精度[6]。基于等效電路模型的SOC估計方法一般需要結合觀測器算法，如卡爾曼濾波算法、神經網絡算法、滑膜觀測器、粒子濾波等。電化學模型是基于電池內部反應機理建立的電池模型[7]，Fuller、Newman 等提出的P2D 模型奠定了電化學模型的發展基礎，當前主流的電化學模型大多是由P2D 模型改進得來的。電化學模型具有大量的未知參數和偏微分方程，且部分方程存在耦合的情況，因此對電化學模型的降階化簡和解耦是目前電化學模型研究的難點和主要方向[8]。然而，電化學模型的準確性和運算復雜度之間的平衡并不容易，而且對硬件要求較高，所以多用于理論分析和電池產品的初期設計與開發[9]。

除了上述兩種模型，近年來課題組提出了一種通用性較強的氣液動力學(GLD)電池模型[10]。該模型通過氣液儲能系統對電池系統進行簡化模擬，體現了鋰離子電池內部的電子傳遞、歐姆效應以及鋰離子擴散與平衡等過程，取得了很好的估算結果[11]。

然而，由于氣液動力學模型參數被簡化和等效，存在一定的建模誤差，且傳感器數據采集存在誤差，因此為了進一步提高模型的估算精度，本文結合容積卡爾曼算法，設計了基于氣液動力學模型和容積卡爾曼算法的SOC濾波器，并在恒流和DST 工況下對鋰離子電池SOC進行估算優化。

1 氣液動力學電池模型

1.1 氣液動力學鋰離子電池模型建模

電池系統內部環境復雜，且電化學反應過程中，各種粒子的相變、遷移等均有多種變化，綜合考慮各個因素會造成模型的復雜度很高，難以直接應用[12]。我們提出的氣液動力學鋰離子電池模型是根據鋰離子電池內部擴散與氣液系統高度的相似性，將問題聚焦于電池內部鋰離子失衡與再平衡這一過程，從粒子由勢能和分子動能引起的擴散和定向遷移的角度對這一過程進行解析。使用流體力學基本方程組構建氣液動力學鋰離子電池解析模型，從而將復雜的電池系統簡化近似為氣液儲能系統[13]。

氣液系統模型與電池系統對照如圖1 所示。在一密閉容器中，有V體積的氣體和VW容積的液體，頂部設有閥門。氣體的壓力、物質的量和絕對溫度分別為p、n、T。溶解在液體中的氣體物質的量為nj。在容器充氣和排氣過程中，排氣阻力系數、氣體流速和噴嘴壓力分別為μ、v和p0。考慮到電子和離子的微觀質量特性，進行以下假設：(1)將氣體視為均勻介質，即氣體域內溫度和壓力處處相等；(2)忽略氣體重力；(3)氣體未被壓縮。

圖1 氣液系統與電池系統對照圖

以電池的放電過程為例，假定在t1時刻GLD 電池模型是在一個穩定狀態，此時氣體壓力為p1，氣體的物質的量為n1、溶解在液體中氣體物質的量為nj1，根據修正的理想氣體狀態方程可以計算出氣體在液體中的溶解量。

式中：T為熱力學溫度；?m為氣體分子的有效間隙；bm為氣體分子的范德華體積；R為熱力學常數，8.314 J/(mol·K)。

容器閥門打開一段時間Δt，使容器中的氣體向外釋放，如圖1(b)所示。在排氣過程中，氣體流速為v，管道的流動阻力系數為μ，閥門口處的壓力為p0。在t2=Δt+t1時刻關閉閥門，此時氣體壓力為p2，氣體物質的量為n2。排氣過程中理想氣體狀態方程和伯努利方程為：

經過足夠長的時間達到t3，GLD 電池模型再次達到穩定狀態。此時容器內氣體壓力為p3，氣體的物質的量為n3，溶解在液體中的氣體物質的量為nj3。再平衡后氣體的理想氣體狀態方程和溶解度方程可表示為：

當閥門關閉時，容器內氣體物質的量為n2；閥門關閉后，從液體中析出的氣體物質的量為nj1-nj3。因此，物質的量之間的關系為：

由上述式(1)～(6)可推導出式(7)：

式(7)可被簡化為式(8)：

且ac＜0，b2-4ac＞0，根據韋達定理，這個方程只有一個正實根，可表示為：

以上推導為打開閥門釋放氣體的過程，將氣體泵入容器的過程推導結果與上述結果相同。

在充氣過程中，往容器中泵入氣體的伯努利方程為：

因此，氣體釋放和泵入的伯努利方程可統一表示為：

式中：充氣時v＞0，放氣時v＜0。

對推導的氣液動力學電池模型進行簡化：

因此，根據GLD 模型與電池參數的對應關系(表1)，推導出最終的GLD 開路電壓電池模型：

表1 GLD 模型與電池參數的對應關系

式中：UOCV為上一時刻開路電壓為估計的開路電壓。

1.2 氣液動力學鋰離子電池模型驗證

本文工作中，采用18650 圓柱電池[圖2(a)]作為測試對象，進行充放電實驗擬合OCV-SOC曲線并辨識模型參數。實驗在寧波拜特公司生產的NBT 電池測試系統[圖2(b)]上進行，電壓及電流量程為0～5 V 和0～20 A，精度與穩定性小于量程的±0.05%和0.5%。實驗電池置于恒溫箱中，通過強制對流控制溫度。

圖2 實驗電池(a)和測試系統(b)

依據美國《Freedom CAR 測試手冊》和SOC測定方法[14]，設計標準HPPC 實驗，獲得電池OCV和SOC關系。具體測試流程如下：

(1)容量標定：電池以1/3C恒流放電至下限截止電壓2.80 V，然后再以1/3C恒流充電至上限截止電壓4.25 V，最后4.25 V 恒壓充電至1/20C截止電流。

(2)HPPC 循環測試：擱置1 h，然后將電池以1.0C電流放電至5%DOD，接下來以3C電流充電10 s，再擱置40 s，再以3C電流放電10 s，循環此步驟直至100%DOD。

通過曲線擬合工具對HPPC 實驗獲得的開路電壓數據進行擬合，得到擬合曲線如圖3。

圖3 OCV-SOC擬合曲線

式(14)中存在k1、k2、k3、k4四個待辨識參數，在文獻[15]中介紹了一種基于遺傳算法的離線辨識方法，本文使用相同方法，過程如下：

①初始化，讀取端電壓U0、電流I、溫度T和與之對應的開路電壓OCV數據；

②定義，向UOCV賦初值，即UOCV=OCV(1)，設置S=0，n=N，k=1；

③約束條件，k1、k2、k3、k4≥0；

④賦值，U0=U(k)，T=T(k)，I=I(k)；

⑤估算開路電壓；

⑥更新，UOCV與k，UOCV=，k=k+1；

⑦目標函數，計算總誤差S=S+|-OCV(k)|；

⑧判斷，k≤n，若“是”跳轉至第④步，若“否”下一步；

⑨遺傳算法通過調整模型四個參數方法判斷終止條件，若“否”跳轉至第③步，若“是”下一步；

⑩輸出S取最小值時的最優參數值k1、k2、k3、k4，并結束。

上述過程中種群數N設為50，遺傳代數設為400。參數辨識結果如表2 所示。

表2 參數辨識結果

為驗證模型的可靠性及估算精度，在25 ℃實驗條件下，獲得0.2C、0.5C和1.0C倍率恒流放電數據進行SOC估算，得到圖4(a)～(d)所示估算結果，圖(a)中實線和點線分別表示估算SOC和真實SOC，圖(b)到(d)分別為0.2C、0.5C和1.0C條件下的估算誤差。總體而言，估算結果與真實結果一致，在整個放電過程中，SOC估算誤差可以保持在4%左右。為驗證GLD 模型在復雜工況下的可靠性與估算精度，進行了DST 工況下的SOC估算，得到圖4(e)、(f)所示估算結果。從圖中可以看出在動態工況下，模型的估算結果依然擁有較高的穩定性，估算誤差無明顯變化。通過上述恒流與DST 工況測試實驗證明，氣液動力學模型具有較高的估算精度，因此可以應用于鋰離子電池的SOC估算。表3 為GLD 最大SOC估算誤差。

圖4 恒流和DST工況SOC估算結果

表3 GLD 最大SOC 估算誤差

2 基于CKF 的SOC估計算法

盡管上文已經對氣液動力學模型的性能做了驗證，但電池系統具有時變性，其內部參數會隨著電池容量、循環次數、工作溫度等發生變化，若不進行修正將造成模型估算誤差的擴大，尤其是在實際應用中，會由于下列原因而造成誤差的進一步擴大：

(1)對電池進行簡化和參數辨識不匹配導致模型的不精確。

(2)由電流、電壓和溫度傳感器引起的測量誤差。

(3)隨時間增加的累積誤差。

基于上述原因，為了補償這些誤差，本文提出了一種基于氣液動力學模型應用容積卡爾曼濾波[16]算法的SOC估算方法，該算法可以準確地估計電池SOC并進一步降低由上述原因導致的估算誤差。

2.1 狀態和觀測方程

使用卡爾曼濾波器需建立狀態和觀測方程[17]。根據建立的氣液動力學模型，選擇電池上一時刻開路電壓和電池當前時刻SOC作為系統狀態量，電池端電壓作為觀測量，電流、上一時刻系統溫度、當前時刻系統溫度作為系統輸入。

根據安時積分法以及SOC和OCV的關系，系統的狀態方程可表示為：

式中：I充電為正，放電為負；η 表示庫侖效率；CN為標定的電池實際容量；k為某一時刻，k-1 代表上一時刻。

根據式(14)和式(15)，得系統觀測方程如下：

式中：U0,k為端電壓；OCVk為k時刻開路電壓；T為電池溫度；Ik為k時刻電流輸入；k1，k2，k3，k4為模型參數。

2.2 容積卡爾曼

容積卡爾曼濾波是一種成熟的動態系統狀態估計技術，已廣泛應用于多個領域。CKF 的基本思想是使用球-徑向容積法則來計算非線性貝葉斯濾波器中遇到的多元矩積分[18]。優點是精度高且不需要計算雅各比矩陣。CKF 的詳細步驟如下所示：

(1)預測

(a)生成容積點

式中：mc為容積點數量，mc=2n；[δ]=[En×n，En×n]，E為n維單位矩陣；wc,i為各容積點加權值；Sk為Pk的喬列斯基分解。

(b)進行一步預測

(2)更新

(c)根據狀態預測再次生成容積點

(d)協方差進行一步預測

(e)狀態更新

式中：K為卡爾曼增益；P為協方差矩陣。

3 分析與驗證

為了驗證氣液動力學模型融合容積卡爾曼濾波算法進行估算SOC的性能，利用0.2C、0.5C、1.0C恒流及DST 工況測試數據評估算法的性能。

圖5 顯示，CKF 算法在三種恒流工況和DST 工況下均取得了良好的估算結果，在0.2C、0.5C和1.0C恒流工況下估計值對實驗值的誤差較小，最大誤差分別為1.92%、2.16%和2.13%，即使在DST 工況下最大誤差也只有2.44%(如表4 所示)，對比表3 中原始氣液動力學模型的估算誤差可以發現，CKF 算法對氣液動力學模型精度改進明顯。圖5(a)中實線和點線分別表示估算SOC和真實SOC。

圖5 恒流和DST工況SOC估算結果

表4 CKF 最大SOC 估算誤差

在實際應用中，電池會由于先前狀態未知而造成初始狀態與實際狀態之間存在偏差，所以本文針對所提算法對錯誤初始值的魯棒性進行了分析，圖6 顯示該方法在DST 工況20%SOC初始誤差下，20 s 內可以實現收斂，具有良好的魯棒性。

圖6 DST工況20%初始誤差

4 結論

本文提出了基于氣液動力學模型的容積卡爾曼濾波器進行SOC估計。通過協方差匹配的自適應算法，針對未知過程噪聲的協方差矩陣進行實時的更新，提升了氣液動力學模型的估算精度。然后對本文算法在多工況下進行了實驗驗證，在恒流工況下，SOC最大估算誤差為2.16%，DST 工況下，SOC最大估算誤差為2.44%。而且在SOC初值存在較大誤差時，依然能夠迅速收斂至真實SOC附近。結果表明采用CKF的SOC估計方法具有良好的估算性能，能夠高精度、高穩定地估算鋰離子電池SOC。后續的工作包括在性能足夠的嵌入式微控制器中應用上述算法。