基于AR模型的直升機槳葉模態的識別方法有效性研究

程智恒

（南京航空航天大學航空學院，江蘇 南京 210016）

直升機的振動特性對機體的安全影響十分大，其中槳葉上的振動最為關鍵和復雜，準確識別出槳葉的振動模態不僅影響著對振動的控制，也對機體的安全具有重要意義。

模態分析分為有限元分析法、試驗模態分析法和運行模態分析法[1]。有限元法由于條件的限制，無法達到較高精度；試驗模態分析法則由于試驗和真實環境的差異以及施加激勵的難度，限制了其適用范圍；運行模態分析則只需要采集響應信號即可識別模態參數。

從時域、頻域、時頻域進行運行模態分析也存在不同特點[2]。時域法（如Ibrahim時域法、最小二乘復指數法、隨機子空間法等）不用將測得的響應和激勵信號變換到頻域中進行參數識別，但難以測得載荷，且噪聲易引起虛假模態和模型難定階。頻域法（如峰值拾取法、頻域分解法、最小二乘復頻域法等）技術發展較為成熟，對噪聲的處理也較好，模態分布直觀，但只適用于低阻尼結構并且對阻尼識別效果較差。時頻法（如小波變換、短時傅里葉變換等）不具有時域法的噪聲、定階問題和頻域法只適用于低阻尼結構、阻尼識別效果差的問題，卻受限于基于時域和頻域的信息的繁雜計算過程。

何緒飛等[3]利用小波域的AR模型實現了對直升機機體的模態參數識別。胡嘉苗等[4]利用Periodic PO-MOESS算法成功識別風塔機受到周期激勵的結構模態。杭曉晨等[5]利用AR模型譜估計對頻域分解法進行了改進，驗證了這種方法對識別固定翼機翼振動模態的有效性，其試驗表明，這種改進提高了阻尼識別精度和模態分布的可視性。

鑒于頻域法的直觀和計算的簡單，并且噪聲易處理，本文采取基于AR模型的頻域分解法對直升機槳葉模態應用的有效性進行了分析，驗證了這種方法能夠有效識別旋轉槳葉固有頻率。

1 頻域分解法的基本理論

頻域分解法是在峰值拾取法的基礎上發展起來的一種頻域模態參數的識別辦法[6]。其基本原理是系統的頻率響應函數峰值可以代表自身的震蕩頻率，自身固有頻率可以作為特征頻率的良好估計結果。頻域分解法是將結構響應的功率譜密度函數在峰值處進行奇異值分解，得到對應的結構多模態的單自由度系統功率譜密度函數。輸出響應的功率譜密度Gyy（m×m的矩陣）可由下式求得[7]：

式（1）中：H（jω）是結構的頻響函數矩陣；Gxx（jω）為激勵的功率譜密度矩陣，為r×r階的矩陣，結構外部激勵為u（t），結構響應為y（t）。

利用頻域分解法識別固有頻率，橫縱坐標分別為頻率和輸出響應的功率譜奇異值。利用奇異值分解，可以使奇異值曲線在分解過程中從大到小重新排列，奇異值曲線中占主導地位的是第一條奇異值分解曲線[8]。第一條奇異值曲線功率譜圖中峰值對應的頻率即結構固有頻率，峰值處奇異值對應的奇異值向量為結構振型。

2 AR模型求功率譜

AR模型是一種線性預測[7]，原理是由已知的N個數據，根據模型來推出N點前后的數據。不同于差值法由兩點或者少數幾點去推導多點，AR模型由N點去進行遞推，比差值增加了有效數據，因此預測效果比插值方法好。

為解決經典功率譜估計方法的平均周期圖法的方差性較差、分辨率較低的問題，并且相對于自相關算法，Burg算法計算簡單且分辨率較高，因此本文采取基于AR模型的Burg法進行譜估計，并進行試驗驗證其譜估計效果。

AR參數模型如下：

式（2）中：u（n）為白噪聲信號。

方差σ2的白噪聲序列作為輸入信號，其中AR模型階數p則是未知的，需要通過定階準則來對模型定階。本文采用FPE準則來完成定階。最終預報誤差（FPE）準則，其判斷依據就是最終預報誤差最小情況來確定AR模型階數p。最終預報誤差可由下式表示：

對AR模型表達式求z變換，得到系統函數：

根據功率譜和傅里葉變換的關系因此可求功率譜密度為：

因此，整個問題轉化為估計模型的參數ak進而求出信號的功率譜。

Burg算法是首先令前后項預測誤差功率之和為最小估計出反射系數，再迭代計算估計出AR模型參數，反射系數計算如下：

其中：

3 算例研究

3.1 模擬信號仿真

功率譜估計主要研究信號在頻域中的各種特征，目的是根據有限數據在頻域內提取被淹沒在噪聲中的有用信號[9]。本節選取2個頻率，分別為50 Hz和200 Hz的正弦信號的疊加信號，再疊加高斯白噪聲作為仿真信號，采樣周期為0.001 s，采樣點數量為1 000。采用頻域分解法常用譜估計方法中的周期圖法、Welch法和基于AR模型的自相關法與基于AR模型的Burg算法進行對比，分析AR功率譜估計效果及影響AR譜估計的因素[8]，如圖1—圖5所示。

圖1 仿真信號

圖2 基于周期圖法的功率譜估計

圖5 基于Burg法的功率譜估計

圖3 基于自相關函數的功率譜估計

圖4 基于Welch法的功率譜估計

仿真結果顯示，周期圖法估計結果與自相關函數法都有高分辨率的峰值，但是功率譜曲線毛刺較多，而Welch法對曲線毛刺突出有所壓制，但卻降低了峰值的分辨率，使得峰值不夠尖銳突出。基于Burg法的AR模型的功率譜不僅僅在峰指處尖銳分辨率高，曲線也光滑沒有毛刺干擾，顯示效果理想。

但是在仿真過程中發現，不同階次的AR模型譜估計結果差異較大，下面對不同階次的模型譜估計進行仿真并對結果進行分析。

各階AR模型功率譜效果圖如圖6所示。從圖6中可以得到，當模型階數從低逐漸升高時，曲線的顯示效果也從平滑不明顯到峰值突出曲線平滑，再變成峰值突出曲線出現毛刺，直至最后毛刺明顯產生虛假峰。因此在AR模型譜估計中，需要選擇合適的模型階數，過低會導致峰值不明顯，過高則會導致圖譜曲線出現毛刺和假峰。結果表明模型定階的必要性，合適的模型階數能夠提高功率譜圖峰值分辨率，得到清晰的譜峰和較小的估計方差。

圖6 各階AR模型功率譜效果圖

3.2 多自由度的密集模態識別仿真

下面將基于AR模型的頻域分解法對多自由度結構的密集模態進行識別和分析，確保應用時不會產生模態遺漏。

自由度分別為2、4、6、8的結構的功率譜圖如圖7—圖10所示，并且根據識別出的結構固有頻率與結構實際固有頻率的比較，得到估計的誤差結果，如表1所示。其中仿真輸入信號如下：

式（4）中：n為結構自由度數；fk為輸入頻率；m為采樣點數。

從圖7—圖10中可得出，多自由的結構的AR功率譜圖的峰值明顯易區分。表1中的數據顯示，固有頻率的估計結果與實際固有頻率的數值的誤差最大不超過2%，識別結果顯示理想，因此AR模型的譜估計對密集模態也適用。

圖7 2自由度系統功率譜圖

圖8 4自由度系統功率譜圖

圖9 6自由度系統功率譜圖

圖10 8自由度系統功率譜圖

表1 多自由度結構固有頻率識別

3.3 旋轉槳葉運行模態參數識別

前面研究了在仿真信號輸入的情況下的識別效果，并得到了理想的結果。下面將根據基于AR模型譜估計的頻域分解法，通過MATLAB進行模態參數識別的編程，對槳葉真實工作情況下的振動數據進行處理和識別，證明對槳葉模態識別的有效性。

為了通過有限元求得理想數值，且沒有變距的運動槳葉與旋轉梁的工作情況相似，下面試驗將對搭建的旋翼試驗臺進行旋轉梁試驗，模擬旋轉槳葉的運動，對槳葉固有頻率進行識別，與有限元方法得到的理論結果進行對比，分析與理論數值的誤差。

其中梁的測點、旋轉梁試驗臺分別如圖11和圖12所示，計算結果如表2所示。

圖11 梁的測點貼片

圖12 旋轉梁試驗臺

表2 梁模型固有模態頻率

從表2中的數據可知，將經典頻域分解法和基于AR模型譜估計的頻域分解法得到的固有頻率與有限元法計算得到的理論結果進行比較，2種方法的最大誤差均在可以接受的范圍之內，即經典頻域分解法與基于AR模型譜估計的頻域分解法用于剛性旋轉槳葉模態參數的識別中是可行的，但基于AR模型譜估計的頻域分解法更接近理論值，誤差更小。

4 結論

基于AR模型譜估計的結果直觀、譜峰明顯易拾取且分辨率較高的優點，本文對基于AR模型譜估計的頻域分解法進行了密集模態識別驗證，分析了影響其模態分析效果的因素，并對其應用在直升機槳葉上的有效性進行旋轉梁試驗驗證。結果表明基于AR模型譜估計的頻域分解法相較于經典頻域分解法，其功率譜圖的峰值更突出易拾取，并能夠對密集模態精確識別，且模態識別精度更高，雖然譜估計效果在很大程度上取決于模型的階數取值，利用定階準則就能夠解決這一問題，結果表明此方法適用于直升機槳葉的模態識別。