樹狀分叉網絡Kozeny-Carman常數的分形分析

李子豪，肖波齊，王培龍，朱懷志，龍恭博

武漢工程大學機電工程學院，湖北 武漢 430205

樹狀分叉網絡具有很多特有的輸運特性，廣泛存在于自然輸運系統和人工輸運系統中，在許多領域具有廣泛的應用，比如地下滲流［1］、電子冷卻［2］、石油開采［3］等。Kozeny-Carman（KC）常數和滲透率是兩個重要的輸運特性，與很多因素有關，是影響流體流動的最重要的物理參數［4］。由于KC方程能夠很好的表示滲透率和孔隙率之間的關系，廣泛應用于多孔介質的流動過程中［5］，目前常用如下方程來表征［6-7］：

式中：K為多孔介質的滲透率；φ為多孔介質的孔隙率；C為KC常數；S是比表面積［8］。KC常數是Kozeny在1927年首次提出的，推導出KC常數為5。KC常數是一個經驗參數，它被證明不是一個常數，而且對于不同介質不同環境中KC常數都不一樣。這引起了研究人員的廣泛關注，使得研究者們不斷修正KC方程來提高計算精度。Xu等［9］回顧并總結了KC方程和KC常數相關的各種模型，推導出了不含經驗參數的KC常數解析表達式。但是研究者只關注于充分發展的牛頓流體層流流動和各向同性松散多孔介質的影響，研究結果表明KC常數與孔隙率有關。Xiao等［10］根據分形理論，推導出了多孔納米纖維材料的KC常數解析表達式，發現其與孔隙率、面積分形維數有關。在低孔隙率時，KC常數隨著孔隙率的增加而增大，但與實驗結果比較誤差較大。Wei等［11］基于水力孔徑的分形分布特性，分析了毛細管吸脹過程中的KC常數，但是受吸脹過程中各種因素的影響，無法準確的預測任意條件下多孔介質的KC常數。Xiao等［12］導出了纖維多孔介質中KC常數的分形模型，結果表明其與纖維多孔介質本身的微觀結構參數密切相關，但是該研究沒有考慮多孔介質表面粗糙度對滲流過程的影響。Xiao等［13］推導出了粗糙表面纖維多孔介質的KC常數，但是忽略了其他非線性因素的影響。結果發現KC常數隨著粗糙度、孔隙率、孔隙面積分形維數和彎曲度分形維數的增加而增大。前人的大量研究表明了KC常數與多孔介質孔隙率密切相關，但對KC常數與多孔介質結構參數間的關系研究還不夠深入，并且樹狀分叉輸運網絡中的KC常數研究目前還未涉及。為了分析樹狀分叉網絡KC常數，本文采用了一個理想化的模型（嵌入在多孔介質中的分形樹狀網絡）來模擬真實的多孔介質［14］。最后推導出KC常數的解析表達式并討論了孔隙率和網絡的微觀結構參數對KC常數的影響。

1 嵌入在多孔介質中的分形樹狀網絡復合材料的結構參數

復合材料由分形樹狀網絡和基質多孔介質兩部分組成［15］。

1.1 分形樹狀網絡結構參數

樹狀分叉網絡如圖1所示。為了建立一個復合材料中流體滲流模型，忽略樹狀網絡每層的壁的厚度，調整每層管子的分支角度和體積，使其不相互作用，每個通道在下一層被劃分為n個分支（這里n=2），分支的最大分叉級數為m。為了描述分形樹狀網絡的結構，對于其中任意一級分叉而言，第k（k=0，1，2，…，m）級分叉管道的長度和直徑分別為lk和dk，分叉角為θ。用來描述分叉網絡幾何結構的長度比（α）和直徑比（β）可以定義為［16］：

圖1 樹狀分叉示意圖［長度單位：μm，角度單位：（°）］Fig.1 Tree bifurcation diagram（Length unit：μm，Angle unit：degree）

推出：

其中l0和d0分別表示第0分支管道的長度和直徑。

1.2 復合材料結構參數

嵌入在多孔介質中分形樹狀網絡復合材料如圖2所示，復合材料的寬度b、長度L0和分形樹狀網絡的實際長度Lt的表達式可寫出：

圖2 嵌入分形樹狀網絡的多孔介質示意圖［長度單位：μm，角度單位：（°）］Fig.2 Schematic of porous medium embedded with the fractal-like tree network（Length unit：μm，Angle unit：degree）

根據體積孔隙度的定義，可以得到復合網絡的體積孔隙度［17］：

其中Vf表示樹狀分叉網絡的體積，V是復合網絡總體積。

2 樹狀分叉網絡的滲透率

根據Hagen-Poiseuille方程，第k級單根通道中流量可寫為：

其中，μ是流體的黏度，Δpk是第k級通道的壓降［18］。根據Darcy定律：

其中Kk是第k級單根通道的滲透率。聯立方程（10）、（11）可得：

根據滲流并聯模型，第k級nk根管道并聯起來的有效滲透率為：

其中，Aki=πd2k/4是第k級單根分叉管道的橫截面積，Kki=Kk=d2k/32是第k級單根分叉管道的滲透率是 第k級nk根 并聯管道的等效橫截面積。由此可得到第k級nk根管道并聯后的有效滲透率：

可以發現第k級nk根管道并聯起來的有效滲透率與第k級單根管道的滲透率相等。可以將該網絡視為由m個長度為lek，橫截面積為Aek，滲透率為Kek的單通道串聯而成，整個網絡可以等效為一個滲透率為Ke的單通道。Ke也就是整個網絡的有效滲透率。對于整個網絡的等效單管，由廣義Darcy定律：

其中Ae和le分別是整個網絡等效單管的橫截面積和長度是網絡的總壓降。由于質量守恒，第k級管道的流量與網絡總流量相等

根據Hagen-Poiseuille方程：

其中de為等效直徑。

聯立方程（14～20）可以得到整個分叉網絡的有效滲透率：

在滲流過程中，流體的流動不可能是沿直線流動，而是彎曲曲折地流動。因此還需要考慮到迂曲度T對滲流過程的影響，迂曲度定義為滲流通道的實際長度Lt與直線長度L0的比值［19-20］。

考慮迂曲度的影響后，網絡的有效滲透率為：

3 嵌入在多孔介質中樹狀分叉網絡的KC常數

樹狀分叉網絡中各級管道的總內表面積At可寫為：

于是可以得到比面S的表達式：

聯立方程（1）、（9）、（23）、（25）可以得到嵌入在多孔介質中樹狀分叉網絡的KC常數表達式：

4 分析與討論

方程（26）給出了樹狀分叉網絡復合材料的KC常數解析式，很明顯它與分叉網絡的微觀結構有著直接的關系。從圖3中可以看到KC常數隨著孔隙率φ的增加而增大，這與前人的研究結果相吻合。圖3顯示KC常數隨著分叉網絡的長度比α的增加而增大，這是因為隨著長度比的增加，下一級分叉管道就越長，流體流動阻力就越大，滲透率降低，根據方程（1），KC常數增大。圖3顯示KC常數隨著直徑比β的增加而減小，這是由于直徑比的增加，下一級分叉管道就越粗，流體流量增加，滲透率升高，根據方程（1），KC常數減小。圖4列舉了一些前人研究成果中KC常數的預測值，并與本文推算出的預測值作比較，發現在孔隙率較?。?<φ<0.2）時，本文預測結果和Sullivan［21］及徐鵬等［22］的結果較吻合；在0.2<φ<0.3時，本文預測結果和Devies［23］等人及Sparrow［24］等的結果十分接近；當孔隙率在0.3附近時，本文預測結果符合Happel［25］等的結果，此時分形模型的預測值接近經典的KC常數值；在0.4<φ<0.5時，本文預測結果和Kyan等［26］及Sahraoui等［27］的預測值較接近。綜上發現模型預測結果與實驗結果吻合較好，這很好地驗證了本模型的正確性。KC常數和孔隙率間的定量關系因為不同學者的研究方法和手段的差異，在學界還未有定論，故不斷有學者提出討論。本文研究的是樹狀分叉網絡的KC常數，而參考文獻中模型多是單根管道，所以數據對比會有差異性，但是數值量綱與前人研究成果相符合。

圖3 樹狀分叉網絡KC常數與孔隙率φ、長度比α、直徑比β的關系Fig.3 Relations between KC constants and porosities，length ratios，diameter ratios in tree bifurcation network

圖4 不同模型中KC常數與孔隙率的關系Fig.4 Relations between KC constants and porosities in different models

5 結論

前人的大量研究表明了KC常數與多孔介質孔隙率密切相關，但是對于樹狀分叉輸運網絡中的KC常數研究目前還未涉及，而本文創新的推導出了嵌入在多孔介質中的樹狀分叉網絡復合材料的KC常數的解析表達式，發現KC常數與孔隙率和網絡結構參數有關系。結果表明樹狀分叉網絡KC常數隨著復合網絡孔隙率的增加而增大，隨著分叉網絡長度比的增加而增大，隨著分叉網絡直徑比的增加而減小。當孔隙率在0.3附近時，本文分形模型的預測值最接近經典的KC常數值（5）。盡管本文推導出了嵌入在多孔介質中樹狀分叉網絡復合材料KC常數的解析表達式，但是該結果忽略了樹狀分叉管道壁表面的粗糙元素，為了進一步深入的研究樹狀分叉網絡中的KC常數，需要將粗糙度對滲流過程的影響考慮進去。