揭示數(shù)學本質(zhì) 提升學生素養(yǎng)
——對“基本不等式的證明”教學的思考*

黃智華 (江蘇省南京市秦淮區(qū)教師發(fā)展中心 210002)

1 基本情況

1.1 授課對象

學生來自四星級重點高中高一普通班，基礎(chǔ)較好，有一定的自學能力、推理能力及運算能力，而且已經(jīng)有了課前預習自學的習慣.

1.2 教材分析

所用教材為蘇教版《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(必修5)》.“基本不等式的證明”是第3章第4節(jié)的內(nèi)容，這節(jié)內(nèi)容由“基本不等式的證明”和“基本不等式的應用”兩部分組成.基本不等式在后續(xù)的學習中是作為定理直接應用的，它在求函數(shù)最值、證明不等式方面有廣泛的應用，課標要求熟練掌握、靈活運用，所以要讓學生經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展、應用、深化認識和理解的完整過程.基本不等式的證明及簡單應用是本節(jié)課的重點.

教材給出了證明基本不等式的三種證法，分別是作差比較法、分析法和綜合法，并在“思考”中給出了基本不等式的一種幾何解釋，可以認為是基本不等式的一種幾何法證明.幾何法證明是從圖形的度量關(guān)系得到基本不等式，賦予基本不等式以幾何直觀，這種證明方法需要構(gòu)造合適的圖形，這也成為教學的難點，但它可以突出數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，通過“數(shù)”與“形”兩個方面加深學生對基本不等式的理解與掌握.

例1所承載的教學功能是基本不等式的簡單應用，用它證明其他不等式，以此熟練掌握基本不等式.在實際教學中，學生延用比較法、分析法、綜合法來證明，這符合學生認知規(guī)律；不同的證明方法可以活躍學生的思維，發(fā)展學生的思維能力.分析、比較各種證明方法，引導學生發(fā)現(xiàn)運用基本不等式來證明是最簡潔的，它屬于綜合法證明不等式.必須追問：怎么會想到運用基本不等式來證明的？帶領(lǐng)學生一起分析問題的結(jié)構(gòu)特征：不等式左邊是兩個正數(shù)的和，右邊是常數(shù)，可以看作是左邊兩個正數(shù)(互為倒數(shù))的積，符合基本不等式的本質(zhì)特征，所以可以直接運用基本不等式來證明.例1有兩個小題，要揭示它們本質(zhì)是一樣的，都是求證“一個正數(shù)和它的倒數(shù)之和大于等于2”.

教學目標 (1)經(jīng)歷基本不等式的探究發(fā)現(xiàn)和邏輯論證的過程，體驗、感受數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的快樂，感知從特殊到一般、化抽象為具體的數(shù)學研究方法；

(2)會用作差比較法、分析法和綜合法證明基本不等式，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)，理解幾何法證明基本不等式，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想，滲透數(shù)學文化，發(fā)展直觀想象、數(shù)學建模素養(yǎng)；

(3)能用基本不等式證明其他相關(guān)的不等式，能夠利用基本不等式求函數(shù)最值，突出體現(xiàn)整體換元法；

(4)能讓學生從數(shù)學角度主動發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和分析解決問題.

教學重點 基本不等式的證明及簡單應用.

教學難點 基本不等式的幾何法證明.

2 教學過程

2.1 基本不等式的探究及證明

問題1實數(shù)a,b的等差中項和等比中項分別是什么？

說明考慮到教材上的問題情境不太切合實際、學生解決起來有困難，所以教學就從數(shù)學內(nèi)部提出問題引入課題，這更利于教學活動的有效開展，有利于突出教學內(nèi)容的本質(zhì)，有利于構(gòu)建邏輯連貫、前后一致的教學進程，有利于發(fā)展學生的認知力.在學生思考問題1時，提出只有a,b同號才有等比中項，培養(yǎng)學生質(zhì)疑和批判性思維.啟發(fā)引導學生自己主動提出問題2，培養(yǎng)學生的問題意識.在猜想結(jié)論的時候，學生得出了錯誤的結(jié)論，教師便將錯就錯，讓學生經(jīng)歷從錯誤走向正確的真學習過程，深化了學生對數(shù)學本質(zhì)的認識.

問題3請同學們證明猜想出的結(jié)論.

方法1 作差比較法，具體證明過程略.

方法2 分析法，具體證明過程略.

方法3 綜合法，具體證明過程略.

方法4 幾何法，通過構(gòu)造圖形來證明.

方法4應該是在學生課前預習自學的基礎(chǔ)上給出的.追問學生是怎么想到的？這是本節(jié)課的難點.借此介紹“無字證明”，展示中國古代數(shù)學的成就，滲透數(shù)學史，提升數(shù)學文化素養(yǎng).

2.2 基本不等式的內(nèi)容及認識

·基本不等式

·兩個數(shù)學概念

·深化對基本不等式的認識

通過設置以下四個問題深化對基本不等式的認識與理解：(1)基本不等式的文字語言表述是什么？(2)基本不等式成立的條件是什么？(3)基本不等式等號取得的條件是什么？(4)基本不等式所揭示的本質(zhì)是什么？

一個數(shù)學對象通常可以用三種語言(文字語言、符號語言、圖形語言)來描述，三種語言相互支撐、相得益彰，三種語言之間的相互轉(zhuǎn)化可以加深學生對這一數(shù)學對象的認識.讓學生經(jīng)歷“犯錯—尋錯—糾錯”的探究過程，深化學生對基本不等式成立條件的認識.等號取得的條件是在學生證明過程中加以強化的.基于現(xiàn)在的學生學習了很多數(shù)學知識不知道怎么用，什么時候該用、什么情況下能用，提出問題(4).通過學生獨立思考、相互交流討論，得出結(jié)論：給出了兩個正數(shù)的和與積之間的不等關(guān)系，這其實也是基本不等式的結(jié)構(gòu)特征.這些認識為學生正確運用基本不等式解決問題奠定了扎實的基礎(chǔ).

2.3 基本不等式的應用及深化

例1設a,b為正數(shù)，證明下列不等式成立：

適度拓展的目的是引起學生對基本不等式成立條件的重視，這是學生今后運用時的易錯點.通過拓展訓練給學生思考、辨析機會，可以深化學生對所學新知的認識，同時滲透分類討論、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性，優(yōu)化學生的思維品質(zhì)，發(fā)展學生的數(shù)學能力，提升學生的數(shù)學素養(yǎng).

2.4 課堂小結(jié)

數(shù)學知識角度：基本不等式的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)特征、證明方法以及簡單應用.

思想方法角度：從特殊到一般進行猜想，然后論證猜想結(jié)論，突出數(shù)學研究方法；體現(xiàn)化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學思想.

核心素養(yǎng)角度：直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學建模等.

2.5 課后探究及課后作業(yè)

課后探究：現(xiàn)有一臺天平，兩臂長不相等，其余均精確，有人說要用它稱物體的重量，只需將物體放在左右托盤各稱一次，則兩次所稱重量的和的一半就是物體的真實重量.這種說法對嗎？說明你的結(jié)論.

課后作業(yè)：教材第98頁練習1～2，第101頁習題1～2.

3 教學反思

3.1 學生的自學要學到真知識，課堂教學要讓學生經(jīng)歷真學習

現(xiàn)在很多的課改提倡“先學后教”“少教多學”，旨在突出學生學習的主體地位.學生的自學是不是真正能學懂，是不是能抓住數(shù)學的本質(zhì)，是否提出有價值的問題，是否能學到數(shù)學研究方法、領(lǐng)悟蘊含其中的數(shù)學思想，這些都值得關(guān)注和研究，課堂教學要讓學生經(jīng)歷真學習.

3.2 創(chuàng)設問題情境讓學生多角度、多層次認識和鞏固新知

其次是讓學生自主證明猜想得到的結(jié)論，出現(xiàn)了不同的證明方法，特別是幾何證明方法的出現(xiàn)，讓學生從“數(shù)”與“形”兩個方面來認識、掌握基本不等式.通過證明，讓學生既確信基本不等式是正確的，又學到了數(shù)學研究的方法.

再次是設計了四個小問題幫助學生深化對基本不等式的認識，目的是讓學生能正確使用基本不等式、弄清楚基本不等式的本質(zhì)以及能解決什么問題.

最后是講解例1和變式拓展，加深學生對基本不等式成立條件和本質(zhì)的認識.

3.3 關(guān)注數(shù)學思想方法的教學，使教學更富有思想性

本節(jié)課的教學有意識地滲透了“化歸轉(zhuǎn)化”“分類討論”“數(shù)形結(jié)合”“化抽象為具體、從特殊到一般”等數(shù)學思想方法，重點突出了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學思想.

圖1 圖2 圖3

其次，借助學生熟悉的初中知識介紹“無字證明”——通過構(gòu)造圖形來證明數(shù)學命題，給出了學生熟悉的公式(a+b)2=a2+2ab+b2的無字證明(圖2).

最后讓學生從我國古代數(shù)學家趙爽給出的“勾股定理”的無字證明(圖3)中找出“基本不等式”(這是人教版教材的引入設計)，既培養(yǎng)學生識圖能力、整體代換能力，突出基本不等式的幾何背景，更提升學生的數(shù)學文化素養(yǎng).

滲透數(shù)學思想方法的教學增加了課的內(nèi)涵，豐富了數(shù)學教學的思想性，從而促進了學生思維的深入，其學習就有了深度.數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂，與數(shù)學基本方法一起常常在學習掌握數(shù)學知識的同時獲得，提高數(shù)學素養(yǎng)的核心就是提高學生對數(shù)學思想方法的認識和運用.