數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)過程與階段性表現(xiàn)形態(tài)的研究*

王永強(qiáng) (山東省煙臺市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第六初級中學(xué) 265602)

1 數(shù)形結(jié)合思想孕育于“直觀形象”，表現(xiàn)為“經(jīng)驗形態(tài)”

經(jīng)驗是人類對世界認(rèn)識的主要泉源，數(shù)學(xué)語言是對世界進(jìn)行描述的最基本、也是最重要的語言形式，而數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生也孕育于人類的生活經(jīng)驗之中.在人類的社會活動中，人們可以通過現(xiàn)實中所存在的客觀實物原型或模型的直觀形象，認(rèn)識到世界中的空間形式及其所存在的數(shù)量關(guān)系.因此，事物的直觀形象往往會成為數(shù)學(xué)思想萌發(fā)、孕育的生長點[1]97.數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)中的一種較為高階的、理性的認(rèn)識，它萌芽于我們不斷的社會實踐之中，并貫穿于數(shù)學(xué)整體的發(fā)展中.數(shù)形結(jié)合思想是最具有一般性的數(shù)學(xué)思想，它的萌芽與發(fā)展就是以直觀形象為基礎(chǔ)，以客觀事物模型為根源的，因而，在實現(xiàn)與探究數(shù)形結(jié)合思想發(fā)展價值的第一個階段中，我們應(yīng)當(dāng)樹立以直觀形象的實物為基礎(chǔ)的理念，使數(shù)形結(jié)合思想在學(xué)生頭腦中得以孕育.綜合分析，我們可以將數(shù)形結(jié)合思想的“直觀形象階段”的形態(tài)特征及其表現(xiàn)形態(tài)概括為“經(jīng)驗形態(tài)”.

在這個過程階段中，數(shù)形結(jié)合思想是一種潛在的、待滲透于學(xué)生頭腦意識中的數(shù)學(xué)思想，是通過學(xué)生不斷的經(jīng)驗活動積累并孕育生成的.“直觀形象”階段是學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想認(rèn)識的開始，也是數(shù)形結(jié)合思想發(fā)展價值實現(xiàn)過程的邏輯起點，是學(xué)習(xí)者脫離具體內(nèi)容進(jìn)行抽象認(rèn)識的開始，在本階段中，其大致表現(xiàn)出如下的特點：

較傾向于直觀形象，具有經(jīng)驗性以及實驗性特征，并且在此過程階段中，尚不具有嚴(yán)密性的特征，數(shù)與形之間的邏輯上的聯(lián)系也存在一定的不嚴(yán)密性.在數(shù)形結(jié)合思想的孕育階段，學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)多依賴于現(xiàn)實實物或模型，抽象邏輯思維能力較低，學(xué)生思維特征多依賴于直觀、形象的具體事物或模型.一般來說，處于“直觀形象階段”的學(xué)生多為較低年級的學(xué)生群體.這個階段也是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)觀察能力的前提.因此，在數(shù)形結(jié)合思想形成的萌芽階段，應(yīng)當(dāng)是學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上，通過對具體直觀形象的事物的觀察，感知數(shù)形結(jié)合思想.值得一提的是，在此過程中，教師甚至不用明確告知學(xué)生所涉及的具體的數(shù)學(xué)思想.

例如，在低年級的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教授基本的加法，比如在對“9加幾”這一節(jié)進(jìn)行學(xué)習(xí)時，教師一般會運用擺小棒的方法進(jìn)行教授，其實這就是一種最簡單的數(shù)形結(jié)合思想的滲透案例.當(dāng)對某一具體運算進(jìn)行講解時，如“9+5”，學(xué)生很自然地會運用具體實物(小木棒)進(jìn)行操作，他們會在5個小棒中取出其中一個，從而使得該組木棒的個數(shù)剩余4個，然后再移動所取出的1個與另外一組的9個木棒湊在一起，從而湊得個數(shù)為10.此時，將新組合的10個木棒再加上另一組剩余的4個，得出此時的結(jié)果為14個，然后總結(jié)得出“9+5=14”.初中數(shù)學(xué)中數(shù)軸的教學(xué)里，也是由形象實物進(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生加以認(rèn)識和學(xué)習(xí)的.

這樣，在教學(xué)中，雖然未明確點明所涉及的數(shù)形結(jié)合思想，但在一定程度上培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察以及直覺感知能力.教師將數(shù)形結(jié)合思想滲透于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，為數(shù)形結(jié)合思想的貫徹提供了基礎(chǔ)性的保障.同時，對直觀形象的事物的運用，也進(jìn)一步提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于調(diào)動其學(xué)習(xí)積極性，促進(jìn)其在對數(shù)學(xué)思想的感知基礎(chǔ)上提升對數(shù)學(xué)知識的有效學(xué)習(xí).

2 數(shù)形結(jié)合思想貫徹于“學(xué)科滲透”，表現(xiàn)為“綜合形態(tài)”

學(xué)科滲透是指將某一學(xué)科領(lǐng)域的原理或方法，應(yīng)用到另一個學(xué)科領(lǐng)域中去，從而作出新的發(fā)現(xiàn).[1]103在數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展長河中，幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)一直以來都是數(shù)學(xué)中的兩大極為重要的分支，它們兩者之間的相互滲透無疑促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展.而在這個過程中，兩者間相互滲透的形態(tài)一般表現(xiàn)為“綜合形態(tài)”，并具有以下的幾點特征：充分地挖掘出代數(shù)與幾何各自的屬性，并調(diào)動兩者自身的優(yōu)勢，充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想表象、表形以及邏輯性、算法性的本質(zhì)特點，從而促使數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)基本概念的理解、加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系.

在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，有極為眾多的數(shù)學(xué)分支學(xué)科都是在學(xué)科之間相互滲透而產(chǎn)生并不斷發(fā)展起來的.例如，解析幾何(又被稱為坐標(biāo)幾何)就是在學(xué)科的相互滲透中應(yīng)運而生的，它也是學(xué)科滲透中最具代表性的一個數(shù)學(xué)分支，它是用代數(shù)學(xué)科思想滲透于幾何學(xué)科中產(chǎn)生的，是以代數(shù)的方法研究幾何的問題，解析幾何是數(shù)形結(jié)合思想的最為顯著的典型.具體分析就是將平面上的點與實數(shù)數(shù)對，在直角坐標(biāo)系的運用中建立彼此對應(yīng)性的聯(lián)系，這樣就可以利用方程來對曲線的性質(zhì)進(jìn)行研究.解析幾何的發(fā)端要追溯到古希臘時期，阿波羅尼斯在對圓錐曲線進(jìn)行分析研究時，運用了兩條直線對圓錐曲線的性質(zhì)進(jìn)行探討.再后來，古希臘天文學(xué)家伊巴古(又譯為喜帕恰斯)在分析其研究中出現(xiàn)的幾何相關(guān)問題時，提出了坐標(biāo)(經(jīng)緯度)可以用來確定地球上的某一位置這一觀點.而直到14世紀(jì)，在法國數(shù)學(xué)家奧力森的著作中，提出了一種用幾何坐標(biāo)的方法來確定某一點的位置的觀點.在17世紀(jì)初，格塔拉底對運用代數(shù)思想來研究幾何問題進(jìn)行了比較全面的分析，著成《阿波羅尼斯著作的現(xiàn)代闡釋》一書，再后來，格塔拉底又進(jìn)行了更加細(xì)致的探討，最終著成《數(shù)學(xué)的分析與綜合》一書.這些都是學(xué)科滲透的具體表現(xiàn)，也為后來解析幾何的產(chǎn)生與發(fā)展奠定了基礎(chǔ).后來，笛卡爾與費馬在總結(jié)前人經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，開拓了解析幾何學(xué)這一領(lǐng)域，這也是數(shù)形結(jié)合思想比較有代表性的成果.

因此，數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)與貫徹過程離不開代數(shù)學(xué)與幾何學(xué)之間的相互滲透，表現(xiàn)出綜合性及一致性的特征，而這也正是與現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢相一致的，也即高度分化的同時又保持高度的綜合性.值得注意的是，在這個階段中，學(xué)生的思維已經(jīng)具有了一定的抽象性、邏輯性，其頭腦中也已經(jīng)具有了一定活動或經(jīng)驗作為發(fā)展的基礎(chǔ).例如，在小學(xué)階段的“線段表示數(shù)”就涉及到了最簡單的數(shù)形結(jié)合思想滲透.而在初中教學(xué)中，在數(shù)形結(jié)合思想的貫徹及教學(xué)的過程中，也應(yīng)當(dāng)是借助于數(shù)學(xué)史的發(fā)展的，因此，代數(shù)學(xué)與幾何學(xué)的相互滲透也就成為了初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要的過程.因而，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，在對數(shù)學(xué)新概念教學(xué)時，一線教師應(yīng)當(dāng)在代數(shù)學(xué)與幾何學(xué)的相互滲透中做好對數(shù)形結(jié)合思想的貫徹工作，而非只是在解題教學(xué)時.

例如，在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中，在代數(shù)學(xué)與幾何學(xué)相互滲透的成果中，在對新概念進(jìn)行教學(xué)時，除了解析幾何的相關(guān)知識外，最典型的代表就是勾股定理的證明，它是歷史上第一個把數(shù)與形相聯(lián)系起來的定理，即它是第一個把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來的定理[2].而勾股定理也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中運用數(shù)形結(jié)合思想的極為重要的案例之一.因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，尤其是新概念教學(xué)中，對勾股定理內(nèi)容進(jìn)行學(xué)習(xí)，是學(xué)生體驗數(shù)形結(jié)合思想較好的案例之一.再比如，在統(tǒng)計學(xué)中，我們也可以運用數(shù)形結(jié)合思想，充分發(fā)揮數(shù)與形的各自優(yōu)勢，從而使得統(tǒng)計結(jié)果更加直觀并且具有算法性；在數(shù)據(jù)分析中，對于SPSS軟件的運用，及其通過線性回歸分析、相關(guān)分析、方差分析等所得到的數(shù)據(jù)的描述，便是數(shù)形結(jié)合思想本質(zhì)的直接反映.在這一教學(xué)階段中，教師要把握好對數(shù)形結(jié)合思想的貫徹，充分發(fā)揮代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、統(tǒng)計學(xué)等數(shù)學(xué)學(xué)科分支之間的綜合性，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的意識，這無疑是對數(shù)形結(jié)合思想發(fā)展價值實現(xiàn)的一個重要階段，可為學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)問題解決打下堅實的基礎(chǔ).

3 數(shù)形結(jié)合思想鞏固于“運用訓(xùn)練”，表現(xiàn)為“演繹形態(tài)”

數(shù)學(xué)思想源自于人類的數(shù)學(xué)活動，是一種數(shù)學(xué)實踐經(jīng)驗[3].它是一種具體的問題解決方法的一般化思想.簡而言之，數(shù)學(xué)思想的運用訓(xùn)練的過程其實就是問題解決及其歸納的過程，它是將數(shù)學(xué)思想內(nèi)化于學(xué)生的頭腦中，使其表現(xiàn)為一種自動激活的狀態(tài)并能夠靈活運用的重要過程.數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)思想中最具有一般性的數(shù)學(xué)思想，因此，數(shù)形結(jié)合思想的價值、意義的體現(xiàn)必然最終是以數(shù)學(xué)活動為載體，并應(yīng)用于數(shù)學(xué)問題解決的過程中.而數(shù)學(xué)運用或問題解決的過程階段是對數(shù)形結(jié)合思想一般化的必需條件，在這一過程中，學(xué)生需要足夠的樣例積累才能使數(shù)形結(jié)合思想發(fā)展價值的實現(xiàn)成為可能，也就是說學(xué)習(xí)者需要將數(shù)形結(jié)合思想運用于或依托于具體的問題情境中，通過發(fā)揮數(shù)與形各自的優(yōu)勢，使學(xué)生通過數(shù)學(xué)觀察，調(diào)動直觀思維、形象思維等思維方式得出有效信息，并通過演繹推理等方式使得數(shù)學(xué)問題得以解決.因此，在運用訓(xùn)練的過程中，將數(shù)形結(jié)合思想鞏固于學(xué)習(xí)者頭腦中，對于建立學(xué)生數(shù)與形結(jié)合的意識、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力、發(fā)展學(xué)生的思維表達(dá)方式、促進(jìn)學(xué)生的演繹推理能力有著重要的價值.這一階段也是數(shù)形結(jié)合思想發(fā)展價值的實現(xiàn)過程中必不可缺的重要階段，對學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想解決具體問題以及提高其數(shù)形結(jié)合思想運用意識有著重要的價值.

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想實現(xiàn)中的重要一環(huán)是數(shù)學(xué)運用、問題解決及其歸納的過程.在這個過程中，學(xué)習(xí)者需要通過對一定數(shù)量的相關(guān)知識的積累以及相關(guān)樣例的訓(xùn)練，運用數(shù)形結(jié)合思想對不同形式的問題或涉及不同學(xué)科內(nèi)容領(lǐng)域的問題進(jìn)行體驗并對問題給以解決，從而得出答案.在這一過程中，學(xué)習(xí)者通過不斷的累積、歸納、演繹推理，使數(shù)形結(jié)合思想在頭腦中得以鞏固.學(xué)習(xí)者對相關(guān)內(nèi)容或?qū)ο嚓P(guān)問題的解決方式進(jìn)行訓(xùn)練的過程，也是數(shù)形結(jié)合思想一般化、模式化的過程，它是將數(shù)形結(jié)合思想鞏固于學(xué)習(xí)者頭腦中的重要階段，也是促使學(xué)生形成遠(yuǎn)遷移，并將數(shù)學(xué)思想(尤其是數(shù)形結(jié)合思想)運用于不同情境中的一個重要因素.

例如，在一元一次方程的學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)歷了其中所涉及的方程思想以及數(shù)形結(jié)合思想等一般性的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生在此過程中對數(shù)學(xué)思想(尤其是數(shù)形結(jié)合思想)有了一定的體驗，但如果要將數(shù)學(xué)思想內(nèi)化于頭腦中，并使其呈現(xiàn)一種自動激活的狀態(tài)，能夠在不同的問題情境中靈活應(yīng)用，仍然需要學(xué)生進(jìn)行一定的運用訓(xùn)練.因而，在學(xué)習(xí)二元一次方程、一元二次方程、一元二次方程組，尤其是在對一元二次不等式的解法等數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容知識的學(xué)習(xí)過程中，要加強(qiáng)對數(shù)形結(jié)合思想的邏輯訓(xùn)練，并在不同的問題中或?qū)嵺`中運用數(shù)形結(jié)合思想，從而使得數(shù)形結(jié)合思想在學(xué)生的頭腦中得以鞏固，使學(xué)生有意識地運用數(shù)形結(jié)合思想建立問題中反映的數(shù)與形的關(guān)系，透過數(shù)形結(jié)合思想的表形、表象的本質(zhì)特征，使得學(xué)生能運用數(shù)學(xué)觀察，并發(fā)揮直覺思維、形象思維，通過邏輯演繹、推理，從而得出問題的解決方案與問題的最終答案.這也是促使數(shù)形結(jié)合思想的發(fā)展價值實現(xiàn)的必要過程.

4 數(shù)形結(jié)合思想深化于“反思總結(jié)”，表現(xiàn)為“一般化形態(tài)”

在數(shù)學(xué)活動中，學(xué)習(xí)者頭腦中對數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識已經(jīng)有了一定的提高，但是基于數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)與它在數(shù)學(xué)史上的進(jìn)程一致的原則，數(shù)形結(jié)合思想一般化的重點在于學(xué)生對數(shù)學(xué)實踐的反思與不斷的總結(jié).在數(shù)學(xué)問題解決之后，學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想經(jīng)過概括、反思的過程，促使其一般化，使數(shù)形結(jié)合思想內(nèi)化于學(xué)習(xí)者頭腦之中.

在學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的過程中，會運用一種或多種數(shù)學(xué)思想，而促使這些數(shù)學(xué)思想在其頭腦中一般化、程序化的過程正是學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)思想的關(guān)鍵所在.簡而言之，雖然數(shù)學(xué)思想形成的重點是在數(shù)學(xué)活動中實踐以及在實際的運用中進(jìn)行訓(xùn)練，但形成的關(guān)鍵在于對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗進(jìn)行總結(jié)和概括[3].在數(shù)學(xué)史上，我們知道在平面直角坐標(biāo)系創(chuàng)立之前，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯對圓錐曲線性質(zhì)的探究、天文學(xué)家伊巴古對經(jīng)緯度的規(guī)定以及阿拉伯人對三次方程的求解，都是坐標(biāo)法萌芽的標(biāo)志.但是，坐標(biāo)法的成熟或形成則是以后來的笛卡爾與費馬為代表的，他們是在對前人成果的實踐、反思、概括的基礎(chǔ)上，將坐標(biāo)法程序化、一般化，這樣，坐標(biāo)法才能夠得以確立.同樣地，牛頓與布萊尼茲在實踐之后，在經(jīng)歷反思、總結(jié)、概括的基礎(chǔ)上將積分思想一般化、模式化后，積分思想才得以產(chǎn)生.積分思想產(chǎn)生的歷程與坐標(biāo)法的形成過程相一致，積分思想的萌芽也是要向前推至古希臘時期以及古代中國，那時候的人們將其用在對某些特殊圖形面積以及體積的求解過程，這一過程所用到的其實就是“窮竭法”以及“無窮小的思想”，但在這一時期，人們并沒有對它進(jìn)行總結(jié)概括以及反思，也就沒有能夠使這些思想或者方法一般化.

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，將數(shù)學(xué)思想深化于學(xué)生頭腦中，同樣也必須要經(jīng)歷一般化、模式化的概括過程.如果學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)活動或?qū)?shù)學(xué)問題的解決之后，而沒有經(jīng)歷概括與反思的過程，那么在對具體問題解決時所運用的數(shù)學(xué)思想也就不能推廣到一般，也就是說，不能使這些數(shù)學(xué)思想一般化、模式化，因此也就不利于遷移的產(chǎn)生.因而，在數(shù)學(xué)教學(xué)或?qū)W習(xí)中，教師應(yīng)注意讓學(xué)生經(jīng)歷對數(shù)學(xué)活動中所涉及的數(shù)學(xué)思想(尤其是數(shù)形結(jié)合思想)的概括這一過程，這一過程是在學(xué)生經(jīng)歷了具體數(shù)學(xué)問題的解決之后進(jìn)行的，它是經(jīng)過反思總結(jié)而產(chǎn)生的.

數(shù)形結(jié)合思想是我們在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中就開始有所接觸的數(shù)學(xué)思想.例如，在對正方形以及圓形等幾何圖形的周長、面積進(jìn)行求解時，就體現(xiàn)出了以“數(shù)量”來對圖形的屬性進(jìn)行描述的思想.在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，這種數(shù)與形間進(jìn)行溝通的現(xiàn)象更多，最典型的就是數(shù)軸和平面直角坐標(biāo)系的知識內(nèi)容，兩者都是以“數(shù)量關(guān)系”對圖形位置進(jìn)行刻畫的代表；在對距離、面積的探究中，運用的是以數(shù)量描述圖形度量屬性的思想；在相似三角形與全等三角形的學(xué)習(xí)中，所體現(xiàn)出的是運用角度大小或長度大小來表示圖形形狀關(guān)系的思想；在對函數(shù)圖象的研究中，所體現(xiàn)出來的是用圖形來對數(shù)量依存關(guān)系進(jìn)行刻畫的典型代表，是數(shù)形結(jié)合思想的最直接的體現(xiàn).在這些關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，應(yīng)當(dāng)注重讓學(xué)生在認(rèn)識數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動實踐或數(shù)學(xué)問題解決的體驗過程，最終要實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的一般化、程序化，還必須經(jīng)過反思與總結(jié)這一過程，這個過程是數(shù)形結(jié)合思想的貫徹或教學(xué)過程中較為關(guān)鍵的一步，也是促使數(shù)形結(jié)合思想發(fā)展價值實現(xiàn)過程中重要的認(rèn)知操作過程，還是學(xué)生對于數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識在頭腦中得以深化的重要階段.