葉片前后緣六軸電火花包絡修整的誤差敏度分析*

李 政，曹利新，余祖元

（大連理工大學機械工程學院，遼寧 大連 116024）

0 引言

葉片是航空發動機的基礎、核心零部件。葉片前后緣具有厚度薄、半徑輪廓小、曲率變化劇烈等特點，對發動機性能起著重要作用，其加工一直是葉片制造的難點。本文為解決銑削加手工研磨[1-2]、電解加工[3-4]、電火花拷貝加工[5-8]等方法在前后緣的加工過程中存在的效率低下、精度不達標以及無法脫模等問題，提出一種六軸電火花單參數包絡加工方法對葉片前后緣進行修整，以提高效率、解決上述問題。其基本原理為：根據共軛曲面嚙合原理，用復雜曲面電極線接觸包絡加工葉片邊緣曲面，此方法需要用6個自由度才能描述電極相對葉片的姿態。具體加工原理本文不予討論。另外，此工藝需搭建有六軸聯動功能的專用加工中心進行試驗[9-10]。

影響此工藝加工精度的因素繁多，前期工作已對此工藝幾何原理的正確性進行了驗證，分析了刀位點密度、電極設計與建模誤差等因素對最終加工精度的影響。本文主要從幾何原理上對此工藝的誤差敏感因素進行仿真分析。因在電極制造、安裝過程中涉及多項誤差，電極模型與運動軌跡相對復雜，難以建立數學模型，所以這些源誤差對包絡誤差的影響難以直觀評估。以往公差的制訂都是根據經驗進行，并無可靠依據，為最大程度降低試驗成本，以較寬松的公差要求獲得滿足精度要求的試件，本文對UG進行二次開發，以前緣加工為例，對電極工作曲面施加6個自由度方向的單項源誤差和57種組合源誤差，這些誤差既可看作電極制造誤差，又可視作安裝誤差，兩者等價。利用共軛曲面嚙合原理求出電極存在制造、安裝誤差情況下的電極運動包絡面點云數據，分析了各源誤差對最終包絡加工誤差的影響。為電極制造、安裝，試驗機床的搭建等過程中所涉各項公差的制訂提供了參考。

需說明的是，本文主要從幾何原理上進行仿真分析，并未考慮放電間隙和電極損耗的影響，這些因素的影響可在后續實驗的基礎上，對所設計的電極曲面和運動位姿進行修形或補償，此處不予考慮。

1 電極、葉片模型與包絡加工過程簡述

1.1 電極與葉片模型

電極模型如圖1所示，曲面S為電極工作曲面，OEXYZ為電極坐標系，定義了電極相互垂直的3個定位表面，用于描述電極在工件坐標系中的位置和姿態，下文用{OE}表示。

圖1 電極模型

圖2所示為葉片截面示意圖，虛線為中弧線，弦長b為中弧線與前后緣交點的連線，也即截面內相距最遠兩點的連線。葉片前后緣一般定義為距弦長端點3～5 mm內的部分，尺寸a1、a2所定義部分分別代表了葉片前緣和后緣。根據此定義，取a1=a2=3 mm，對葉片區域的劃分如圖3所示。

圖2 葉片截面示意圖

圖3 葉片與毛坯模型

1.2 包絡加工過程簡述

實際加工中，6個自由度的運動由電極和葉片共同完成。而從幾何原理上對誤差敏感因素進行仿真分析只需進行刀軌仿真。故本文中，6個自由度的運動由電極單獨完成。

理想情況下，電極沿刀位軌跡進行六軸運動，且在每一刀位點處始終保持工作曲面與葉片邊緣曲面有一條接觸線。圖4為電極運動過程示意。其中，體1為葉片前緣；OWXYZ為工件坐標系，下文用{OW}表示；曲線a代表電極坐標系原點OE在工件坐標系{OW}中的運動軌跡，電極沿軌跡a運動過程中，電極坐標系{OE}在工件坐標系{OW}中的分量也隨之變化。為描述方便，將電極模型簡化為由電極坐標系與電極工作曲面表示，坐標系{OEi}、曲面Si描述第i個刀位點處電極相對葉片前緣的位置，Ci表示電極工作曲面Si與葉片前緣的接觸線，第j個刀位點同上。當刀位點足夠密集時，就可包絡出葉片前緣形狀。

圖4 電極運動過程示意圖

2 電極運動包絡面點云及其誤差的求解

理想情況下，電極沿刀位軌跡運動后，工作曲面形成的包絡面與葉片應完全吻合。但因各種因素的影響，包絡面相對葉片前緣曲面總是存在一定的誤差。電極的設計、建模誤差、刀位點密度等因素對包絡誤差的影響已在前期工作中完成仿真分析。本章給出了理想情況下和電極制造安裝存在誤差情況下包絡面點云及其誤差的求解方法，以便對因電極制造、安裝誤差所引起的包絡加工誤差進行分析。

2.1 理想狀態下包絡面點云的計算

由圖4可知，理想情況下，電極工作曲面S:r(u,v)沿刀位點運動形成的單參數曲面族{St}可用矢量方程表示：

式中：t為曲面族的參數，每給t一個值，矢量方程（1）就代表一個曲面St，當t變化時，曲面St就隨之變化；u,v為St上的參數。

設曲面族{St}的包絡面，也即電極工作曲面運動的包絡面為Σ，則Σ的每一點都屬于{St}中的唯一一個曲面St，且和St在該點相切。由圖4知，Σ可由每時刻電極工作曲面與葉片前緣接觸線Ct的總和表示：

式中：t為刀位點序列；t0、tm為起始和結束點位。

設點P0為接觸線Ct0上一點，則其應滿足經典嚙合條件：

式中：VP0為點P0相對于包絡面的相對運動速度；nP0為曲面St0上點P0處的法向單位矢量；刀位點足夠密集時，VP0可根據St0與St1由差分代替微分求出，nP0可調用UG函數求得。

綜上，可在St0上生成n條與接觸線Ct0垂直的參數線，根據St0與St1信息，在每條參數線上用二分法搜索滿足式（3）的點，這些點即為接觸線Ct0上的點。同理，由曲面族{St}可求出所有刀位點處的電極曲面與葉片前緣的接觸線Cti，其中0≤i≤m-1。

刀位點個數m=60，參數線條數n=10時，求得的電極工作曲面運動包絡面點云如圖5所示。

圖5 包絡面點云

2.2 存在源誤差情況下包絡面點云的計算

參考工業機器人的坐標系描述方法[13]，在電極存在制造、安裝誤差情況下，電極工作曲面沿刀位軌跡運動形成的曲面族{Sδt}在工件坐標系{OW}中可表示為：

當引入的源誤差值確定時，根據式（4）可在UG平臺上得到曲面族{Sδt}的模型。同2.1節所述，利用曲面Sδt0與Sδt1可得到Sδt0與包絡面Σδ的切線上的離散點，同理，刀位點足夠密集時，可由{Sδt}求出存在誤差時電極工作曲面Sδ運動包絡面Σδ的點云。得到電極工作曲面運動包絡面的點云數據后，調用UG函數，即可求得點云中各點距葉片前緣的最短距離，此距離即為各點處的誤差值。

3 電極制造誤差對葉片邊緣包絡加工精度的影響

由前期工作知：當刀位點個數m達到60時，包絡面上的最大誤差降低到極限。故本章以刀位點個數m=60為例，對電極進行1:1建模，電極塊尺寸為20 mm×15 mm×44 mm，根據6級公差等級[11-12]對電極工作曲面施加尺寸與轉角源誤差，各項源誤差值如表1所示。表中，δx為電極工作曲面整體沿電極坐標系XOE軸負方向偏移的源誤差值；δy、δz分別為電極工作曲面整體沿電極坐標系YOE、ZOE軸正方向偏移的源誤差值；δA、δB、δC分別為電極工作曲面繞XOE、YOE、ZOE軸順時針旋轉的轉角源誤差。

表1 源誤差值

源誤差對包絡誤差的影響程度用誤差擴大倍數K來表示：

式中：εu為存在u類誤差時包絡面上的最大誤差值；ε0為無源誤差時包絡面上的最大誤差值。

3.1 單項源誤差仿真分析

為得到單項源誤差對包絡誤差的影響規律，對電極模型分別施加6個自由度的單項源誤差，求出電極工作曲面運動的包絡誤差，與無源誤差時的包絡誤差形成對比。誤差對比如圖6所示。

圖6 單項源誤差的包絡誤差對比

包絡面最大誤差εu(m)與誤差擴大倍數Ku(m)如表2所示。分析圖6與表2可知，除δz、δC對包絡誤差的影響較小外，其余4種單項源誤差對包絡誤差的影響均較大。

表2 包絡面最大誤差εu與誤差擴大倍數Ku

3.2 組合源誤差仿真分析

為最大程度降低成本，本節對6個自由度方向的源誤 差進行共種不同的組合，以期發現對包絡加工精度影響最大的源誤差組合。再對影響較大的源誤差組合進行方向上的變化，判斷組合源誤差之間是否存在可以相互抵消的情況，從而盡可能地制訂寬松的公差要求。因篇幅限制，相同項數的組合只列出了影響最大的6種情況。表3中，δxy表示對電極工作曲面同時施加δx和δy源誤差，其他變量的含義依此類推。分析表2、表3知：δxB、δyA的存在對包絡加工誤差的影響較大；δz、δC的存在可抵消部分δxB、δyA對包絡誤差的影響。

表3 同項數組合中影響最大的6種情況

為探究XOE方向尺寸誤差與繞YOE的轉角誤差、YOE方向的尺寸誤差與繞XOE的轉角誤差是否可以實現部分抵消，對電極曲面施加δx(-B)、δy(-A)、δxy(-A)(-B)源誤差進行誤差仿真分析，-A、-B表示電極工作曲面分別繞XOE、YOE軸逆時針旋轉，結果如表4所示。由表3、表4可知，δy與δ(-A)同時存在可抵消部分各自對包絡加工誤差的影響；δx與δ(-B)同時存在可抵消部分各自對包絡加工誤差的影響。

表4 反向后的組合項

4 結束語

本文對UG進行二次開發，在不考慮放電間隙與電極損耗情況下，從幾何原理入手，分析了電極制造誤差對葉片邊緣包絡加工精度的影響，電極安裝誤差對精度的影響與電極制造誤差等價。得到以下結論。

（1）單項源誤差中，δz、δC對包絡誤差影響較小，可制訂適當寬松的公差約束。

（2）57種組合源誤差中，δxB、δyA的誤差擴大倍數分別為10.46、8.53，對包絡誤差影響很大，在公差制訂中應嚴格控制，避免出現此類組合的源誤差。

（3）δx(-B)、δy(-A)的誤差擴大倍數分別為3.91、3.46，即δx與δ(-B)、δy與δ(-A)可相互抵消一部分各自對包絡誤差的影響。應盡量按照此類組合進行公差的制訂。