基于反饋控制的多材料零件3D打印精度提升方法

秦敬偉，田仕釗，郭步超，張童

(1.華融普瑞(北京)科技有限公司，北京 100096；2.山西機電職業技術學院，山西 長治 046000)

0 引言

3D打印技術[1]在各個領域都廣泛應用，憑借其自身優勢，多數商家均應用此項技術快速且有效地制造相應產品。隨著該技術越來越被用戶認可，大部分企業擬通過3D打印技術將企業的數字化模型進行轉換[2]，可見該技術具有很好的發展前景。不僅如此，3D打印機還具有成本低以及空間占用小的特點。其優點雖多，但精度較低，因此降低了其產品整體的性價比。為突顯出3D打印技術的性價比，需進一步提升打印機的打印技術，因此多數研究人員展開3D打印精度提升的研究[3]。洪海春等[4]利用建筑成型技術構建模型，定義出3D打印技術中的組裝精度以及控制精度的策略，最后得出控制產品的誤差方法，根據誤差分析出整體產品的校正角度，從而實現3D打印技術精度的提升。BROWN M L等[5]開發了一種3D打印復雜結構的方法，將結構拆分為帶有連接器的部分，分別打印每個部分，然后在打印后進行結構組裝。該方法具有諸如多色打印、框架優化和縮減、打印時間縮減等優點，并可用于繞過打印托盤尺寸限制。以上兩種方法沒有考慮到多材料零件的運動軌跡會有所不同，導致無法精確提取零件打印誤差，同時延長了提取時間，存在打印精度低、打印效果差和校正所需時間長的問題。

為了解決上述方法中存在的問題，本文提出基于反饋控制的多材料零件3D打印精度提升方法。

1 基于反饋控制的位移平衡和位置跟蹤

通過研究發現，3D打印精度最主要的影響因素是機器噴口溫度以及位移等?，F如今3D打印主要利用開環操控方法打印。為降低因開環操控所帶來的消極影響，可借用反饋控制算法[6-7]對多材料零件進行處理。

1.1 3D打印的位移平衡控制

根據3D打印原理可知，多材料零件的實時位置變化公式為

Ji+1=NMbi+1+UMai+1+VMci+1+UE(bi+1+ci+1+ai+1)

(1)

式中：J代表多材料零件外荷載；M代表樣本數值結構；N代表零件質量；V代表零件阻尼；U代表零件恢復力；E代表多材料零件樣本；a代表零件位移；c代表速度；b代表零件加速度。

多材料零件的速度計算公式為

(2)

式中Δt代表零件積分時間間隔。

加速度的計算公式為

(3)

經不斷推導和計算，生成全新的帶有混合體系的反饋控制零件運動方程，其表達式為

JEQ,i+1=UMai+1+LPDai+1+UE(bi+1+ci+1+ai+1)

(4)

其中參數LPD的計算表達式為

LPD=4NM/Δt2+2VM/Δt

(5)

由于反饋控制方法不能直接計算出零件位移，需要在反饋控制混合體系零件運動方程中添加等效外力進行計算[8]，假設該等效外力為JEQ,i+1，其運算表達式為

(6)

通過在式(4)中添加等效外力后，生成的方程解即為所需要的零件位移結果。

為保證零件位移的精度，在計算出零件位移結果后還需計算出混合體的平衡方程。在計算過程中已知參數LPD是固定值，因此可利用LPD檢驗位移結果是否平衡，得出基于位移的混合體系平衡方程表達式為

(7)

通過不斷地計算和更新，得出滿足式(7)的位移結果即為所要控制的位移，以此保證位移平衡。

1.2 零件軌跡跟蹤預測

由于我國3D打印技術多利用開環進行控制，在實際操作過程中由于零件之間摩擦等外界因素導致多材料零件運動出現較大誤差，最終呈現的打印效果較差，因此須從根源解決問題，消除誤差。首先設置零件運動的每一步為一個單位，對其進行檢測后確定零件的位移、速度以及位置，從而預測出零件的運動軌跡[9]。

假設已知零件的理想運動位置，將其與實際零件運動位置進行比較，得出零件的位置偏差方程式，其表達式為

(8)

式中：rx代表零件在x方向上的位移；Δo(rx)代表x方向上理想位置與實際位置的偏差；ry代表零件在y方向上的位移；Δo(ry)代表y方向上理想位置與實際位置的偏差；o*(qx)代表零件在x方向上的理想位置；o*(qy)代表零件在y方向上的理想位置；o(rx)代表零件在x方向上的實際位置；o(ry)代表零件在y方向上的實際位置。

利用機器原始理想速度以及零件的所有偏差得出零件的下一步期望速度，其計算表達式為

(9)

利用零件期望速度和實際速度得出零件的速度變化率，其運算公式為

(10)

式中：Δ(rx+1)代表零件在x方向上的速度變化結果；Δ(ry+1)代表零件在y方向上的速度變化結果；v(rx)代表零件在x方向上的實際速度；v(ry)代表零件在y方向上的實際速度。

進而可以得出零件在x方向上的實際運行速度；當|Δ(rx+1)|≤Δ*時，速度公式為

(11)

當|Δ(rx+1)|>Δ*時，速度公式為

v(rx+1)=Δ*sgn[Δ(rx+1)]+v(rx)

(12)

同理，零件在y方向上的實際運行速度計算公式如下：

(13)

式中：Δ*代表零件運動的最大變化速率；sgn代表符號函數。

根據零件的速度可預測出零件的運動軌跡。

2 3D打印的誤差修正

3D打印的精度提升實質上就是對打印誤差的校正[10]。根據3D打印加工原理得出其中加工誤差計算公式，其表達式為

(14)

式中：Δm代表位移誤差極值；Δj代表實際產品的誤差極值。

根據分析可知，3D打印結果的誤差修正[11]就是對其結果進行旋轉和平移。當結果符合最小二乘原則時，該結果就是最優結果，即計算出理論結果中x和y方向上的平移向量以及旋轉角度的最優值。

假設某點原始坐標為(xi,yi)，經過修正后的坐標為(x′i,y′i)，其中(x′i,y′i)坐標的計算公式為

(15)

式中：γ代表旋轉角度；lx代表x方向上的平移向量；ly代表y方向上的平移向量。

假設修正后的坐標是多條線段的頂點坐標，在最小二乘法的幫助下，通過所有偏差平方以及最小構造進行匹配得出目標函數，其表達式為

(16)

式中H代表目標函數。

根據不斷推導得出角度誤差的極值計算公式為

(17)

式中：Δx代表x軸上的誤差；Δy代表y軸上的誤差。

在式(15)的基礎上利用平移向量以及旋轉角度的最優解得出空間內的坐標，即得到3D打印的整體輪廓[12]，最終對產品的各個曲線進行擬合，確保擬合精度，也保證了各個線段以及曲線的連續性，進而得出精度最高的3D打印結果，以此完成零件3D打印精度的提升。

3 實驗結果與分析

為了驗證基于反饋控制的多材料零件3D打印精度提升方法的整體有效性，現對所提方法、文獻[4]方法和文獻[5]方法進行打印精度、打印效果和校正所需時間的測試。

3.1 實驗準備

實驗過程中，在VS2013與Open GL函數庫編程環境下，通過計算機建模軟件建模，再將建成的三維模型“分區”成逐層的截面，即切片，從而指導打印機逐層打印。設計軟件和打印機之間協作的標準文件格式是STL文件格式。一個STL文件使用三角面來近似模擬物體的表面。目標打印效果如圖1所示。

圖1 目標3D打印效果圖

設圖1所示的多材料零件是功能梯度實體，該實體是由多種原材料混合而成，則功能梯度實體零件任意一點材料最多由n種材料混合而成。多材料零件所有原材料體積總和為1，原材料總體積用V表示，則總的多材料三維零件體積計算方法可由式(18)表示。

(18)

式中：mi表示第i種原材料的體積比例；n表示材料種類數。

3.2 3D打印效果圖

在上述實驗設置的基礎上，分別打印所提方法、文獻[4]方法和文獻[5]方法修正后的結果，將以上幾種結果進行對比，其結果如圖2所示。

圖2 3種方法經過修正后的3D打印效果圖

根據結果可知，未經過修正的打印結果中出現多處曲線和線段的誤差。在修正方法的幫助下，3種打印結果精度均得到提升。經過所提方法修正后的打印效果與理想結果無差異，文獻[4]方法得出的打印效果雖強于文獻[5]方法，但比所提方法要差，文獻[5]方法的修正結果最差。因此證明所提方法的修正效果最好。

3.3 校正精度

打印結果另一個有效的評價指標就是比較各方法間的標準差，標準差越小說明方法的精度越高，即精度提升效果最佳?，F保證所提方法、文獻[4]方法以及文獻[5]方法的實驗環境相同，比較3種方法的打印結果標準差，結果如表1所示。

表1 不同方法的標準差 單位：%

根據表1可知，10組實驗中標準差最小的均是所提方法，其余兩種方法的標準差均大于所提方法。因為所提方法在進行精度提升前利用反饋控制對打印運動位移進行控制，并預測出打印機的運動軌跡，完成位置跟蹤，繼而提升誤差精度，從而加強校正精度，因此保證了所提方法的打印精度，并盡可能地降低標準差。

3.4 校正所需時間

在提升打印精度時，不僅需要保證校正精度，還需要保證校正效率，即盡可能地縮短校正時間。因此得出另一個驗證打印精度提升優劣的指標，即在同一精度要求下，校正所需時間最短的即為最優打印精度提升方法。

在同一實驗環境下，選取10組不同精度要求的實驗樣本，利用3種方法進行校正，得出校正所需時間最小的即為最優精度提升方法。由圖3可知，在每組實驗下所需時間最短的校正方法均是所提方法，其余兩種方法所需的校正時間均不同程度地高于所提方法，從而得出所提方法的校正效率最高。

圖3 3種方法的誤差校正時間

3.5 校正結果

現如今的3D打印結果均會存在誤差，為加強打印精度，可在實際操作過程中對誤差進行校正。但實施過程中會因為各種不確定因素導致不能呈現與理想結果相同的校正效果，因此結果中均會存在較小誤差。為得出最接近理想結果的方法，即最優精度提升方法，現在同一環境下利用3種方法對同一產品進行打印，得出實際結果與理想結果之間的誤差，誤差越小則方法越優。為了使最優方法具有說服力，分別對3種方法的平均誤差以及最大誤差進行比較，其結果如圖4和圖5所示。

圖4 3種方法的實際結果與理想結果的平均誤差

圖5 3種方法的實際結果與理想結果的最大誤差

分析圖4可知，在每組實驗中，實際結果與理想結果的平均誤差最小的都是所提方法。從圖5可知，所提方法最大誤差僅僅在0.1 mm左右，遠遠小于其他兩種方法的最大誤差。

綜上所述，所提方法利用反饋控制提升了打印精度，有助于成型精度的提升。

4 結語

由于3D打印技術具有價格低廉、易操作和易推廣的優點，因此該技術越來越普及，而如何最大程度地提高產品成型精度，以此彰顯產品性價比，是各個商家普遍重視的問題。在所有3D打印機中均具有原理性誤差以及加工誤差等，經研究發現這種誤差是可治理的。本文提出基于反饋控制的多材料零件3D打印精度提升方法。該方法在反饋控制的作用下控制打印位移并預測其運動軌跡，再對打印誤差進行校正，實現多材料零件3D打印精度提升，解決了打印精度低、打印效果差和校正所需時間長的問題，以此提高3D打印成型的幾何精度。