曲線間中心線的自動創建方法

戈家榮，王占宇，陳麗巖，段曉松

(1.紹興寶旌復合材料有限公司，浙江 紹興 312073；2.精功(紹興)復合材料技術研發有限公司，浙江 紹興 312073)

0 引言

曲線間的中心線是到兩條曲線距離相等點的軌跡，又稱為中線、中間線或中軸線，廣泛應用于機械制圖、道路設計、地圖繪制等領域。

中心線的定義最早由BLUM H[1]于1967年提出，原理為草地燃燒模型。假設草地的邊界為兩條曲線，兩條邊界同時點燃并沿內部方向等速燃燒，隨著燃燒面積的擴大，兩個火源相交點的軌跡即形成中心線。

基于草地燃燒原理，CAO L X等[2]提出了一種利用偏置曲線生成中心線的方法，如圖1所示。大圓和小圓沿相對方向，以步長λ依次偏置曲線，并計算每對偏置曲線的交點，將所有交點連接起來即形成中心線。但是當兩條曲線的距離不是線性變化時，可能存在多個點與兩曲線的距離值相等，即一對偏置曲線存在多個交點，導致最后生成多個無序點的集合。故需要對這些點重新排序后才能生成中心線。這增加了不少額外的工作量，也可能影響中心線的準確性。

圖1 偏置曲線法

董箭、劉秀芳等[3-4]提出了一種基于緩沖區邊界相向逼近求交模型的曲線間中心線生成算法。如圖2所示，Dmax、Dmin分別代表曲線L1、L2之間的最大和最小距離，兩條曲線在緩沖距離從Dmax至Dmin/2區間，以步長λ逐步生成緩沖區，并依次計算兩個緩沖區邊界的交點，連接所有交點即形成中心線。該方法存在與上述CAO L X等所提方法類似的缺點，需要對產生的無序點進行后處理。

圖2 緩沖區法

CAO L X、GHATREHNABY M等[5]、DORADO R[6]提出了一種利用內切圓生成中心線的方法，如圖3所示。對于曲率線性變化的曲線，該方法不僅計算速度快，且生成的中心線精度很高，曲線也很光順,但對于一些曲率非線性變化的曲線，由于內切圓是沿曲線按給定的步長λ移動的，內切圓半徑與曲線曲率有很大關系，導致內切圓半徑非線性變化，使形成中心線L的軌跡點分布不均勻，直接影響中心線的精度，在端部還容易生成異常內切圓，使中心線L產生畸變，需要人工輔助識別和處理，一定程度上降低了該方法的效率和準確性，如圖4所示。

圖3 內切圓法

圖4 內切圓法生成的錯誤結果

喬慶華、張立鋒等[7-8]提出了一種利用Delaunay三角網格創建中心線的方法，如圖5所示。該方法的原理是將目標區域離散為Delaunay三角網格，通過提取這些網格的外心或內心，并將這些點連成中心線。該方法生成的中心線并不嚴格符合曲線間中心線的數學定義，只是一個近似算法，結果可能與理論值相差較大。

圖5 Delaunay三角網格法

楊得志等[9]提出了一種基于矢量方法的中心線生成算法——單位圓滾動追蹤法，如圖6所示。該方法的原理為：連接曲線L1的起點P11和曲線L2的起點P21，并創建其中點PS，從PS沿曲線反方向作垂線并獲得與PS距離為R的點A。設置點A為搜索起點，以點A為圓心、半徑為R作單位圓，該單位圓上必然存在一點P1與兩條曲線距離相等，并用牛頓迭代法查找到該點。再以點P1為圓心、半徑為R作單位圓，則該單位圓上必然存在一點P2與兩條曲線距離相等，以此類推獲得其他等距點Pi，直到點Pi與終點PE的距離小于單位圓半徑R時停止，連接所有等距點即形成中心線L。該方法運算速度快，生成的中心線比較光順，精度與單位圓半徑R和等距判定閾值有關。但單位圓半徑R比較難確定，R過大容易導致等距點分布太細，影響中心線精度；R過小則會導致運算速度降低，甚至找不到等距點，如圖7所示。

圖6 單位圓滾動法

圖7 單位圓滾動法生成的異常結果

為此，本文提出一種自動創建曲線間中心線的新方法。該方法基于等距原則和有限元法，編制程序自動創建曲線間的中心線，且中心線的精度可按需調整，并以兩條曲率非線性變化的自由曲線和某復合材料導彈彈翼為例，驗證了所提方法的可行性和有效性。

1 設計原理

1.1 等距法

中心線上所有點與兩條曲線的距離應相等，或小于等距判定的閾值δ。機械設計行業一般要求δ≤0.02 mm，即一般數控機床的加工精度，這樣才能保證制造出的產品滿足設計要求。

1.2 有限元法

兩條曲線上分別按給定步長λ創建n個等分點，等分點的數量可按實際確定，要求中心線的誤差≤0.02 mm，一般λ≤10 mm。將兩條曲線上的等分點逐對連起來，并在該直線上創建中點。

1.3 二分法

通過不斷修改點在直線上的比例參數，使該點與兩條曲線的距離相等或小于閾值δ，則該點為等距點。如圖8所示，連接曲線L1的起點P11和曲線L2的起點P21，并作其中點P1，則點P1在直線P11P21上的初始比例Ri為0.5。設比例下限RL=0(表示該點在曲線L1上)，比例上限RU=1(表示該點在曲線L2上)，點P1到曲線L1、L2的距離分別為D1、D2。首先進行第1次迭代計算，如果D1>D2，則表示比例參數在0～0.5之間，使用二分法可得出Ri=(0+0.5)/2=0.25。然后進行第2次迭代計算，如果D1

圖8 二分法創建等距點

RL=0'比例下限

RU=1'比例上限

Ri=0.5'初始比例

For j=1 To 30'循環30次

If Abs(D1-D2)<δ Then'小于等距判定閾值δ則終止運行

Exit For

End If

If D1>D2 Then'距離判定

RL=RL

RU=Ri

Ri=(RL+RU)/2

Parameters.Item(1).Value=Ri'調整點在直線上的比例參數

Else

RL=Ri

RU=RU

Ri=(RL+RU)/2

1.6 統計學分析 Meta分析采用RevMan 5.3版本軟件進行。二分類數據采用相對危險度(relative risk，RR)和其95%CI作為統計量；連續型數據采用標準均數差(standardized mean difference，SMD)和其95%CI作為統計量。首先使用χ2檢驗和I2檢驗對各研究間的異質性進行評估，若P>0.1且I2≤50%，說明各研究間同質性較好，采用固定效應模型，否則采用隨機效應模型進行合并。此外，根據研究的干預措施的不同進行亞組分析；根據主要結局指標“臨床療效”繪制漏斗圖檢驗發表偏倚情況。

Parameters.Item(1).Value=Ri

End If

Next

2 解決方法

2.1 創建等分點

在曲線L1、L2上按給定的步長λ，分別創建n個等分點，如圖9所示。

圖9 等分點

2.2 連接等分點

將曲線L1、L2上的等分點成對連接成n條直線，如圖10所示。

圖10 連接等分點

2.3 創建中點

創建每條直線的中點Pi，如圖11所示。

圖11 中心點

2.4 創建中心線

使用上述二分法調整中點Pi在直線上的比例參數，使Pi與兩條直線的距離相等或小于閾值δ，將所有調整后的Pi連成樣條曲線，即得到曲線間的中心線L，如圖12所示。

圖12 中心線

2.5 結果分析和對比

董箭等[10]對曲線間中心線的生成算法進行了分析和評估，總結得出Delaunay三角網格法不符合中心線的數學定義，無法滿足精度較高的應用需求，相比緩沖區邊界相向逼近求交法，單位圓滾動法在精度、效率及中心線形體控制等方面均明顯占優，是曲線間中心線生成的優選方法。經綜合考慮，將本文所提方法創建的中心線，著重與單位圓滾動法及內切圓法創建的中心線作比較。

通過測量本文所提方法創建的中心線L上的任意點Pi與兩條曲線的距離(圖12)，可以得到其誤差為0.003 mm，小于給定的閾值δ(δ=0.02 mm)，運行時間約為4.055 s。

將單位圓半徑R設為10 mm，等距判定的閾值δ=0.02 mm，采用單位圓滾動法生成了如圖13所示的中心線L。經過測量得出該中心線誤差為0.001 mm，運行時間約4.583 s，中心線較為完整和光順。

圖13 單位圓滾動法生成的中心線

采用內切圓法生成了如圖14所示的中心線L。經過測量得出該中心線誤差為0 mm，運行時間約0.672 s，計算速度非常快，但因端部產生異常內切圓，需通過人工專門識別和處理，得到的中心線不完整，也因內切圓分布的不均勻，可能導致非錨點擬合區域的中心線精度不足。

圖14 內切圓法生成的中心線

綜上所述，本文所提方法創建的中心線與單位圓滾動法創建的中心線精度和計算速度均相當，但后者需要專門定義單位圓半徑R和繪制起始點，否則可能出現無解或精度不足的情況。與內切圓法相比，本文所提方法計算速度不如它，但內切圓法創建的中心線可能不完整，需要人工專門進行后處理，一定程度上影響了它的使用效率。

2.6 實物驗證

某復合材料導彈彈翼的截面如圖15所示。由于該彈翼為非對稱結構，但又需在其中性面上進行對稱鋪層設計，因此首先需要按本文所提方法創建中心線，如圖15所示。

圖15 某彈翼截面示意圖

對于等截面翼型，可將中心線直接拉伸成中性面，然后在中性面上進行對稱鋪層設計，如圖16所示。對于非等截面翼型，可以通過在多個不同截面上創建多條中心線，再將這些中心線擬合成曲面，并對曲面進行光滑處理[11]，得到光順準確的中性面。

圖16 某彈翼鋪層示意圖

后續進行了該彈翼的試制，零件脫模順利，表觀質量良好，如圖17所示。

圖17 某彈翼實物

3 結語

本文提出一種自動創建曲線間中心線的新方法，該方法基于等距原則和有限元法，采用VB語言編制程序，自動創建曲線間的中心線，且中心線的精度可按需調整，計算速度較高，運行穩定，不需專門進行前期預處理和后處理，并通過實例驗證了所提方法有效可行。按該方法創建的中心線準確光順，可以滿足設計和使用要求。而且在創建中心線的過程中，大部分重復繁瑣的工作均通過編制宏程序由計算機自動執行，提高了工作效率，降低了勞動強度，值得推廣應用。