基于數學核心素養的三程遞進式教學過程設計

欒珺玄， 程 嶺

(江蘇師范大學 教育科學學院， 江蘇 徐州 221116)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱《課標》)為高中數學確定了數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析六大數學核心素養，為核心素養的培育研究在政策層面指明了方向，相關研究的快速出爐也說明了研究者們很快對該政策給予了積極回應。回顧近些年來關于數學素養、數學核心素養的研究，主要包括以下幾個方面：一是數學核心素養評價體系建構，例如有研究者通過建構數學核心素養中品格與價值觀的評價指標體系、數學核心素養評價框架對數學核心素養的關鍵能力和必備品格的評價做出積極探索[1-2]。二是數學核心素養教學目標建構，例如有學者提出了重構教學目標促進學生核心素養發展，研究了新課標背景下教學目標取向及要素結構[3]。三是數學核心素養內涵明晰，例如研究者通過辨析數學精神、數學思想與數學素養來厘清數學核心素養[4]，也有學者直接提出了高中生數學學科核心素養的內涵、價值與特質[5]。

上述研究成果帶來了關于數學核心素養的激烈探討，豐富了數學核心素養培育的理論和實踐成果，為中國基礎教育數學學科的研究與實踐指明了方向。但是，仔細分析過去的研究成果發現，理論研究占主體，與落實到基礎教育實踐尚有距離。關于這個問題，學者也早有提醒，劉祖希在梳理中國核心素養的研究進展基礎上，提出未來研究工作應關注分析數學核心素養的生成機制、探索數學核心素養生成的教學策略等[6]。但這一點，在最近的一些研究中得到了一定程度的補充和糾正，例如數學核心素養視角下的“三線四環節”公式教學研究[7]，做了數學核心素養的嘗試實踐。但是梳理這類文獻時發現，在探索數學素養生成的教學策略中缺乏層次性。具體來說，《課標》僅明確了數學核心素養的成分，但核心素養的養成并不是一蹴而就的，在對學生核心素養的培育過程中，存在不同水平的差異。因此，立足于數學核心素養的課堂教學必須關注素養的水平差異，進而要求課堂教學設計必須環環相扣、逐級遞進，才能讓數學核心素養真正深入學生內心，而不是純粹的“口號操作”與“文字游戲”。但這樣遞進式的教學設計不能憑空而來，該從何處入手呢？余文森教授在《論學科核心素養形成的機制》一文中提到：“學科知識與學科活動是學科核心素養形成的兩翼，學科知識是學科核心素養形成的主要載體，學科活動是學科核心素養形成的主要路徑。”[8]從這句話中不難體會到，知識仍是培養學生核心素養的主要內容工具，學科活動是通往學生內心成長的主要路徑。因此，本文將從知識的學習階段出發，以不同的學習活動為載體，構建一個三程遞進式的教學過程設計，實現數學核心素養的真實落地。

一、關于數學核心素養

本文主要目的是培養學生的數學核心素養，那么首先應當明確什么是數學核心素養。

(一)何為數學核心素養

根據核心素養這個上位概念的定義，可以將數學核心素養界定為：學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵的數學能力。另外，《課標》為高中數學確定了數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析六大數學核心素養；關于小學數學核心素養，也有專家通過嚴密的數據收集和分析討論，將應用意識、運算能力、推理能力、幾何直觀作為小學數學核心素養的基本內容[9]。二者實際上都在強調“抽象、推理和模型”。具體來說，前者提到的“直觀想象”是高階抽象的思維基礎，“數學運算”是抽象、推理和模型的集合體，經由該集合體所承載，而“數據分析”實際上是模型的具體運用，因為數據的收集、處理和分析實際上就是一個建模過程，并有推理貫穿其中[10]。后者也是如此，其中“運算能力”同“數學運算”，“幾何直觀”同“直觀想象”，而“應用意識”是指要有應用數學的意識，建立數學與生活的聯系[11]，這就是指數學模型在生活中的應用。也就是說，基礎教育階段的核心素養實際上可以整合成“抽象、推理和模型”，這三個要素貫穿基礎教育階段數學教育全過程，是構成數學三個基本特征的思維基礎。那么，到目前為止，關于數學核心素養的基本概念和成分有了較為明確合理的概括。但是，核心素養作為基礎教育的培養目標，它的深度仍值得探究，因為能力與品格的淬煉不是一蹴而就的，因此，數學核心素養的層次探討顯得尤為必要。

(二)核心素養的層次性

數學核心素養即學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵的數學能力，從實質上來說，它描述的是一系列的目標，因此，我們探討的是這些目標的層次性，即目標的縱向分類。關于目標分類，現有的模型主要是以下幾種：

1.加涅的學習結果分類理論

加涅的學習結果分類包括認知、動作技能和態度三方面，其中，認知和態度領域又各有分類。認知結果又可分為言語信息、智力技能、認知策略三個方面。智力技能又分為辨別、概念、規則、高級規則四類，由簡單到復雜構成一個層級關系。加涅沒有對技能領域進行分解，而態度領域則分為情感因素、認知因素和行為后果三類。加涅認為學習的結果就是形成學生的智力技能、認知策略、言語信息、運動技能和態度五種能力。

2.布魯姆的教育目標分類理論

美國教育心理學家布盧姆用分類學方法分析學生的學習目標，將其分為認知、情感和動作技能三個領域，并將認知領域目標分成六大主類，分別是識記、領會、應用、分析、綜合及評價，這六大類是環環相扣、互相制約、互相依存的。

3.我國新課改提倡的三維目標分類

2001年6月8日國家教育部印發的《基礎教育課程改革綱要(試行)》，提出了三維目標的概念，即知識與技能、過程與方法、情感態度價值觀這三個方面。

4.數學核心素養培育的三程遞進模式

分析前文三種分類方式，我國的三維目標分類在關注目標廣度的基礎上也兼顧了目標的深度，知識與技能、過程與方法、情感態度價值觀在一定程度上有層層遞進的內在關系，但是仍然偏重目標的橫向劃分。而加涅和布魯姆的目標分類，則主要是以學生發展的不同領域為主線，也在某些領域做了縱向劃分，但不難看出他們也偏重目標的橫向劃分。顯然，上述的目標分類主要從橫向角度出發，有助于學生在不同領域的發展，但是不利于學生核心素養培育的深度推進，因此，在前面這些目標分類的基礎上，需要建構一個逐級遞進的三程遞進式數學核心素養構想。前文談到了余文森教授的觀點“知識仍是培養學生核心素養的主要內容工具”，也就是數學核心素養產生于知識，那么數學核心素養的水平結構劃分就應當從知識的角度切入，參照加涅的學習結果分類理論、布魯姆的教育目標分類理論、三維目標分類，提出如下一種數學核心素養培育進程的理論構想：將數學知識的學習分為知識習得、知識遷移、知識轉化三種學習結果。由此產生的三種學習過程即為數學核心素養培育的三程遞進模式的“三程”：基礎知識的厘清與應用(知識習得)、思維方法的辨析與獲得(知識遷移)、價值情感的追問與闡發(知識轉化)。

(1)基礎知識的厘清與應用(知識習得)

數學知識習得包括了數學知識的厘清和應用。所謂知識厘清是指學生通過學習全面、準確地獲得知識的含義、本質、邏輯、內在關系以及知識間的關系的理解。例如，人教版小學六年級上冊《圓的周長》一課中，學生先通過合作探索等學習方式歸納總結出圓的周長公式這一過程，就是對知識的厘清，即學生掌握了圓的周長公式的背景，理解圓的周長的含義，并且結合了前一課時《圓的認識》的有關半徑、直徑的相關知識。所謂知識應用是將知識轉化到實踐中去，用以解決數學問題的過程。學生掌握了圓的周長公式，即可用以計算給定圓的周長，這就是解決數學問題的過程，也即知識的應用。馬克思主義哲學啟示我們，必須不斷重復知識認知到知識應用再到知識認知這一循環過程，才能實現對數學知識的真正習得。

(2)思維方法的辨析與獲得(知識遷移)

所謂知識遷移，就是將習得的知識遷移到不同的情境中去，解決不同問題和訴求的過程。知識遷移的過程涉及知識的準確提取、靈活應用，考驗學習者對知識相關性的把握以及思維方法的提取，換句話說，這一過程反映了學習者的能力，也是數學核心素養的一種側面體現。不同的情景不僅包括不同結構的數學問題，也包括實際的生活情景。因此，知識遷移不僅是知識的重現，也是知識學習過程中思維方法的辨析與獲得。解決數學問題的過程中很難單純應用某一個知識點，解決生活問題更不單純是知識的簡單組合，很多情況涉及數學思維方法的應用。例如，在學習初中數學二次函數這個單元時發現，在不同的數學題中，會出現不同的函數表達式，精準選擇會大大降低解題的難度。運用數學圖像還可以幫助解決極值、對稱軸、零點等問題。當函數走進生活中，又不難發現，幾乎不可能在真實情境中去解二次函數，這也讓許多人誤解了數學的生活化，認為數學學習只能用于考試。實際上，函數這一單元蘊含了很多數學思維方法：畫圖法、轉化法、符號化、工具法等，而這些思維方法完全可以靈活應用于生活世界。因此，可以說思維方法的辨析與獲得是知識學習的重要一步。

(3)價值情感的追問與闡發(知識轉化)

學生在知識學習的過程中不能止步于知識遷移、解決問題，而是把握知識背后的情感和價值觀，并將其轉化為自身的品質，這才是知識能賦予個體的真正價值。傳統的數學教育將數學作為一種工具，特別重視其作為科學的應用價值，而相對忽視數學的文化性功能，忽視數學作為文化的人文價值。實際上，數學知識背后也蘊含著人的情感、信念、審美等價值體系，在學習數學的過程中，學習者也會相應建構起個人對社會和人生的觀念。例如，學習數學公式不僅鍛煉了學生的推理運算能力，同時也培養著學生的縝密思維和科學態度。軸對稱圖形不僅讓學生學會辨析圖形結構，也在幫助學生感知對稱美，中國自古以來講究對稱美，園林、建筑、行政區域劃分等都能體現數學美學，從而促使學生形成良好的價值體系。以上就是知識的轉化過程，當知識走過學習者的人生旅程，不應該簡單留下“客觀事實”的印象，而是讓其以更深層次的意義系統刻在人的身上，激蕩人的心靈。

二、基于數學核心素養的三程遞進式教學過程設計

根據前文的數學核心素養培育的三程遞進模式的“三程”學習過程，相應地形成了三程遞進式的具體教學過程：

(一)創建學習共同體，在合作探究中實現基礎知識的厘清與應用

新高考改革的到來，對學校教育提出了新的要求，這其中就包含師生關系的優化、學習方式的轉化、教學方式的變化。師生之間早已不再是“教師講、學生聽”的狀態，而是逐漸走向另一個師生關系模式——學習共同體。這為學生從被動接受轉變為主動探究，從學生獨立成長轉變為師生共同實現增值性發展提供了可能性。作為共同體，從涉及的主體、內容、方式等角度而言，應當包含學習者、助學者、學習內容、學習環境和基本規則這幾項基本要素[12]。其中，學習者主要指學生；助學者為教師，也可是學習共同體中在某些方面較為突出的學生；學習內容主要是圍繞數學教材展開的多種課程資源；學習環境包括內部環境創設(學習氛圍培養等)和外部環境(教學場所、信息技術等)；基本規則通常是成員要求共同接受并遵守的一系列行為規定。這樣，一個“學生為中心，教師為主導”的大學習共同體就建設完成。但是，一個班的學生數量較多，為方便后續學習討論，可以在大學習共同體的基礎上建構小學習共同體，將班級學生分為幾組，每組4～6人，并為每一組選出一個組長，類似于助學者的位置，在小學習共同體中負責協調人員、安排任務的工作。大小共同體既照顧到每一位學生，也不脫離教師的整體把握。

數學課堂學習共同體的建構主要分為以下五步：確定目標、整合資源、創設情境、進入任務、學習評價。第一，確定目標要求教師結合課程標準、教材資源、學生能力加以整體把握，與學生共同制定數學課程學習的最終目標，這是師生完成教學活動的焦點，也是整節課的起點。第二，整合資源要求教師不僅要評估可獲得的和學生需要的資源，還要盡可能將這些資源加以整合，提供給學生。這些資源主要包括圍繞教材的相關資源、跨學科資源、學生的學習經驗等。第三，創設情境要求超越以往的學習觀，將教學情境延伸到不同的區域中去，而不僅是傳統的教室。另外，教學情境也要考慮內外部兩種，外部情境主要包括教學場所、信息技術、教室布置等，內部情境主要包括學生的學習氛圍、心境、學習動機、學習興趣等。第四，進入任務，這是三程遞進式教學過程第一步驟的核心，在前面一系列準備活動的鋪墊下，由教師組織學生開展學習互動，注意突出學生的主體地位，給予學生充分的自主權和管理權。第五，組織學生進行學習評價，評價有自我評價和他人評價、書面評價和口頭評價、過程性評價和結果性評價等不同的形式，注意在不同的學習活動中靈活應用不同的評價方式。這樣，基本完成了第一步，實現了知識習得的目標。

(二)開展項目式學習，在問題解決中實現思維方法的辨析與獲得

在數學學習中開展項目式學習主要以數學學科知識為載體，通過問題解決這一路徑，利用相關知識和信息收集，實現數學思維方法的提取與應用，這是將數學知識應用于生活情境的重要方式。“項目”指的是從提出問題到解決問題、收獲成果的完整活動[13]。根據這一概念可知，項目式學習主要是圍繞問題展開的，那么項目式學習的基本步驟則可以分為以下五步：提出問題，作出假設，收集資料，驗證假設，成果展示。

項目式學習的第一步，就是提出驅動性問題，問題的提出大有講究，既不能脫離書本知識，也不能忽視實際生活意義，既不能超出學生的現有能力，也不能過于簡單而失去研究意義。這里，實際上可以通過建設學校的數學教師團隊，開發出一些適合學生能力、適應教材內容的項目案例，并且允許其進行校際間的共享。借助高質量的教師團隊，避免隨意開展項目式學習，違背該學習方式的初心。第二，對提出的問題作出假設，這時大小學習共同體的組織就能充分發揮作用，由小學習共同體提出小組假設，再送大學習共同體匯總修改，最終得出可行方案。第三，收集資料。漫無目的地收集資料對學生來說，特別是低年級學生，是極其困難的，他們對信息的收集、篩選、辨別、使用都非常生疏。因此，要為學生提供可供選擇的資源包，讓學生在相對準確的范圍內選擇資料。第四，驗證假設，學習共同體通過前一步收集的資源對假設加以驗證。第五，成果展示。成果展示的形式是多樣的，可以是學生對問題的論證過程，可以是學生在進行項目活動時做出的成果，抑或是其他創意方式。總之，在問題解決的過程中，有意識地滲透相對應的數學思想方法，再配合動手操作、合作探究等活動，具身體會數學思想方法的應用，才能讓數學思想方法真正成為學生素養的一部分。

(三)舉辦數學活動，在史實中實現價值情感的追問與闡發

數學核心素養不僅是能力的培養，也有品格的提升。如何將數學和學生的情感、價值觀聯系在一起是數學核心素養能否深入學生內心的關鍵。數學課程資源中有哪些可以為我們所用呢？首先，教科書本身就是具有數學知識魅力的存在，要善于挖掘知識產生的背景、概念形成與發展過程[14]。其次，借助數學史實的力量。數學教材中不乏一些數學家的故事、數學史圖片，但卻被長期的忽略了[15]。那么如何借助這些資源讓數學塑造學生的情感和價值觀呢，或許借助數學活動能夠到達一定的成效。

數學活動主要包括：數學征文、數學故事會、數學辯論、數學藝術展等，只要將現有的活動形式結合數學知識加以融合，也能讓數學學習更加豐富多彩。活動內容可以包括數學史，在讀史中建立正確積極的價值觀。古今中外的文化史實猶如璀璨明珠，是不可忽視的寶貴資源，特別是我國古代的數學家們。劉徽割圓術、祖沖之圓周率等故事完全可以以故事會、小品、圖畫、動畫的形式展示出來，讓學生在這些數學故事中感受數學精神、探索精神、批判精神、客觀理性精神，感受祖國燦爛的數學歷史文化。此外，還可以將自己在生活中的數學故事講出來、寫出來、畫出來，體會到數學的可感可觀可用，身體力行地將數學精神貫徹實踐，而實踐過程是符號學習向深層意義提升的機制[16]。▲