疊層梁理論在復(fù)合頂板受力分析中的應(yīng)用

王同旭，康正卿

(山東科技大學(xué) 能源與礦業(yè)工程學(xué)院，山東 青島 266590)

在煤礦生產(chǎn)過程中,頂板災(zāi)害比較多發(fā)[1-2]，離層、冒頂、垮落等現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生。據(jù)統(tǒng)計(jì)，2015—2017年頂板事故占煤礦安全事故的37%以上[3-5]。由于沉積巖層的特點(diǎn)，在煤礦中分層特征明顯的復(fù)合頂板是非常普遍的，且復(fù)合頂板結(jié)構(gòu)面較發(fā)育,層間的黏結(jié)力較低[6-9]，受到擾動(dòng)后極易發(fā)生離層與變形破壞。許多學(xué)者針對(duì)煤巷復(fù)合頂板破壞機(jī)理進(jìn)行了研究[10-11]，目前大部分研究是針對(duì)復(fù)合頂板某一巖層或者將其看成整體梁進(jìn)行分析的[12-14]。當(dāng)復(fù)合頂板彎曲變形時(shí)，層間黏結(jié)力容易被破壞，此時(shí)若不計(jì)黏結(jié)力，可視作疊層梁[15-16]；有學(xué)者將疊層梁近似看作共同曲率問題來分析[17]，實(shí)際上疊層梁是一層梁疊放到另一層梁上，每層梁分別有一個(gè)中性層，疊層梁彎曲通常是非共同曲率的。為此，筆者通過對(duì)疊層梁共同曲率、非共同曲率及整體梁模型受力特征進(jìn)行對(duì)比分析，得出不同模型復(fù)合頂板彎矩、應(yīng)力分配規(guī)律及3種模型的適用條件，加深了對(duì)復(fù)合頂板錨桿支護(hù)加固機(jī)理的認(rèn)識(shí)，為分析復(fù)合頂板巷道穩(wěn)定性、優(yōu)化錨桿支護(hù)設(shè)計(jì)，提供一種思路和方法。

1 復(fù)合頂板梁彎曲模型的變形破壞機(jī)理分析

可將復(fù)合頂板的變形破壞簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問題，取巷道任意截面進(jìn)行分析。由于復(fù)合頂板是層狀結(jié)構(gòu)且層間黏結(jié)力較弱,為安全起見可忽略層間黏結(jié)，假設(shè)頂板層間為自由疊合,將復(fù)合頂板簡(jiǎn)化為疊層梁模型。疊層梁受外載作用發(fā)生彎曲變形，如圖1所示。

圖1 復(fù)合頂板疊層梁模型圖

1.1 整體梁受力分析

假設(shè)復(fù)合頂板層間黏結(jié)力未發(fā)生破壞，上下層始終是一個(gè)整體，可視作整體梁來分析，其截面圖如圖2所示。

yc—中性軸偏移距離；A1—中性軸z上部截面面積；

對(duì)整體梁作力學(xué)分析，則可得[18]：

(1)

式中：σ1、σ2分別為中性軸z上、下部分截面應(yīng)力；y1、y2分別為截面上端和下端到中性軸z的距離；E1、E2分別為上層巖梁和下層巖梁的彈性模量；Iz1、Iz2分別為A1、A2對(duì)中性軸z的慣性矩。

1.2 共同曲率下復(fù)合頂板疊層梁受力分析

分析圖1，復(fù)合頂板總彎矩為M，若假定復(fù)合頂板彎曲時(shí)，上下分層有共同曲率，則式(2)成立：

(2)

可見，分層的分配彎矩與其抗彎剛度成正比，分層抗彎剛度越大分配的彎矩越大。分配比與高跨比無關(guān)。

由式(2)可得：

(3)

(4)

式中σ1、σ2分別為共同曲率下上層巖梁和下層巖梁最大彎曲拉應(yīng)力。

由式(3)可以看出：當(dāng)疊層梁上下層的彈性模量不同而厚度相同時(shí)，共同曲率模型的彎矩分配與上下層彈性模量比相同；當(dāng)疊層梁上下層厚度不同而彈性模量相同時(shí)，上下層彎矩分配是厚度比的3次方。

1.3 非共同曲率下復(fù)合頂板疊層梁受力分析

假設(shè)復(fù)合頂板發(fā)生彎曲變形時(shí)，上下層梁各自有一個(gè)中性層，即兩分層的變形曲率不同，如圖3所示。

圖3 復(fù)合頂板疊層梁彎曲變形圖

則有式(5)成立[19]:

(5)

把式(5)代入M1+M2=M中，求解可得：

(6)

且式(7)成立：

(7)

式中W1、W2分別為非共同曲率下上層巖梁和下層巖梁的抗彎截面系數(shù)。

2 3種模型受力對(duì)比分析及適用條件

為了對(duì)比分析疊層梁共同曲率、非共同曲率及整體梁這3種模型的受力特征，以固支梁作為復(fù)合頂板的計(jì)算模型。假設(shè)某煤礦復(fù)合頂板巷道跨度l=6.0 m，可簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問題[20-21]，取巷道的縱向尺寸b=1.0 m，巖梁的上覆均布荷載取1.0 MPa。固支梁在均布荷載作用下在兩端產(chǎn)生最大彎矩M=ql2/12。

通過分析不同巖性、厚度的巖層情況，研究各模型梁的受力特征及適用條件。

2.1 上、下分層巖性及分層厚度相同時(shí)

假設(shè)復(fù)合頂板兩分層巖性及分層厚度相同，即h1=h2=h/2，彈性模量E取4 GPa。在上述參數(shù)條件不變的情況下，改變復(fù)合頂板高跨比h/l，分別取1/6、1/4、1/3、1/2。通過公式(1)、(4)、(7)，計(jì)算得到3種梁模型在不同高跨比下，各分層的最大彎曲拉應(yīng)力、應(yīng)力比隨高跨比的變化曲線，如圖4所示。

(a)拉應(yīng)力

由圖4(a)可知，隨著高跨比的增大，疊層梁上的應(yīng)力逐漸減小，疊層梁破壞所需要的極限應(yīng)力將增大，巖梁比較穩(wěn)定、不容易發(fā)生破壞；高跨比越小巖梁上的應(yīng)力增大越快，巖梁很不穩(wěn)定極易發(fā)生破壞。上述理論計(jì)算分析結(jié)果與文獻(xiàn)[22-23]分析結(jié)果一致。而整體梁上的應(yīng)力始終比疊層梁的應(yīng)力小，說明整體梁更加穩(wěn)定。

由圖4(a)疊層梁上下層曲線可知，共同曲率和非共同曲率的應(yīng)力在高跨比為1/3時(shí)，應(yīng)力比較接近，隨著高跨比繼續(xù)增大，兩者的應(yīng)力曲線幾乎重合，當(dāng)高跨比小于1/3時(shí)，兩者的應(yīng)力差值逐漸拉大。圖4(b)中疊層梁共同曲率上下層的應(yīng)力比即分配關(guān)系為1∶1，不隨高跨比變化。疊層梁非共同曲率上層應(yīng)力比隨著高跨比的增大而減小，相反下層隨著高跨比的增大而增大，均趨近于共同曲率的應(yīng)力比。

由上述分析結(jié)果可得出復(fù)合頂板疊層梁共同曲率、非共同曲率及整體梁的適用條件：當(dāng)高跨比大于1/3時(shí)，兩者計(jì)算的應(yīng)力值很接近，可以將復(fù)合頂板疊層梁近似當(dāng)作共同曲率問題進(jìn)行計(jì)算；當(dāng)高跨比小于1/3時(shí)，兩者的應(yīng)力差逐漸變大，此時(shí)需將疊層梁按照非共同曲率問題來分析；當(dāng)兩層梁黏結(jié)良好，層間作用力未發(fā)生破壞時(shí)，可將復(fù)合頂板看作整體梁來分析。

2.2 巖層厚度相等且上軟下硬時(shí)

取E2=2E1，其他參數(shù)的選取仍同上所述，所求結(jié)果如圖5所示。

(a)拉應(yīng)力

分析圖5(a)可知，當(dāng)E2=2E1、高跨比大于1/3時(shí)，疊層梁共同曲率和非共同曲率的應(yīng)力值很接近，應(yīng)力曲線幾乎重合，而高跨比小于1/3時(shí)，應(yīng)力差值逐漸拉大。由圖5(b)可知，疊層梁共同曲率應(yīng)力比為1∶2，與高跨比無關(guān)。疊層梁非共同曲率上層應(yīng)力比隨著高跨比的增大而減小，而下層相反，且均趨近于共同曲率的應(yīng)力比。因此，當(dāng)高跨比大于1/3時(shí)，可將疊層梁近似看作共同曲率來分析，而當(dāng)高跨比小于1/3時(shí)則需按照非共同曲率來計(jì)算。

2.3 巖層厚度相同且上硬下軟時(shí)

取E1=2E2，其他參數(shù)的選取仍同上所述，所求結(jié)果如圖6所示。

(a)拉應(yīng)力

由圖6(a)可知，當(dāng)高跨比大于1/3時(shí)，疊層梁共同曲率和非共同曲率模型的應(yīng)力值很接近，應(yīng)力曲線幾乎重合，此時(shí)可將疊層梁近似看作共同曲率模型來分析；而當(dāng)高跨比小于1/3時(shí)，2個(gè)模型的應(yīng)力差值逐漸變大，此時(shí)則需按照非共同曲率模型進(jìn)行分析。分析圖6(b)可知，當(dāng)E1=2E2、h1=h2時(shí)，疊層梁共同曲率應(yīng)力比均為2∶1，且與高跨比無關(guān)；而非共同曲率上層應(yīng)力比隨著高跨比的增大而減小，下層則相反且趨近于共同曲率的應(yīng)力比。

2.4 巖層巖性相同且上薄下厚時(shí)

取h2=2h1，其他參數(shù)的選取仍同上所述。根據(jù)計(jì)算結(jié)果，繪制3種模型梁最大彎曲拉應(yīng)力及應(yīng)力比隨高跨比的變化曲線，如圖7所示。

(a)拉應(yīng)力

(b)應(yīng)力比

由圖7(a)可知，當(dāng)高跨比大于1/3時(shí)，非共同曲率與共同曲率模型相近，復(fù)合頂板穩(wěn)定性分析可按共同曲率模型進(jìn)行；當(dāng)高跨比小于1/3時(shí)，復(fù)合頂板穩(wěn)定性分析只能采用非共同曲率模型，復(fù)合梁抗彎能力顯著降低。由圖7(b)可知，當(dāng)E1=E2、h2=2h1時(shí)，疊層梁共同曲率模型應(yīng)力比為1∶2,且不隨高跨比的變化而變化；而非共同曲率上層應(yīng)力比隨著高跨比的增大而減小，下層應(yīng)力比隨著高跨比的增大而增大，當(dāng)高跨比大于1/3時(shí)趨近于共同曲率應(yīng)力比。

2.5 巖層巖性相同且上厚下薄時(shí)

取h1=2h2，其他參數(shù)的選取仍同上所述，所求結(jié)果如圖8所示。

(a)拉應(yīng)力

由圖8(a)可知，當(dāng)高跨比大于1/3時(shí)，非共同曲率模型與共同曲率模型相近，可按照共同曲率模型計(jì)算，復(fù)合梁抗彎能力較大；當(dāng)高跨比小于1/3時(shí)，非共同曲率模型與共同曲率模型結(jié)果差別較大，復(fù)合梁抗彎能力顯著降低。分析圖8(b)可知，當(dāng)E1=E2、h1=2h2時(shí)，疊層梁共同曲率模型應(yīng)力比為2∶1，與高跨比無關(guān)；疊層梁非共同曲率上層應(yīng)力比隨著高跨比的增大而減小，而下層相反，在高跨比大于1/3時(shí)，均趨近于共同曲率的應(yīng)力比。

3 復(fù)合頂板錨桿支護(hù)組合作用機(jī)理探討

為了分析錨桿支護(hù)作用機(jī)理，采用ABAQUS軟件進(jìn)行模擬。模擬兩分層巖性及分層厚度相同、高跨比為1/3的復(fù)合頂板，其巖石參數(shù)、邊界條件、荷載同上所述。錨桿規(guī)格為?20 mm×2 000 mm，彈性模量為2.0×105MPa, 泊松比為0.20[24]。

模擬方案：分別對(duì)錨桿支護(hù)數(shù)量n=0、3、5、6、7的疊層梁，以及整體梁模型在其他條件完全相同的情況下的應(yīng)力分布進(jìn)行分析。

根據(jù)模擬結(jié)果可得巖層上的最大應(yīng)力分別為0.93、0.84、0.66、0.61、0.58、0.43 MPa；錨桿支護(hù)數(shù)量為0、3、5、6、7的疊層梁模型最大應(yīng)力分別是整體梁模型的2.16、1.91、1.50、1.39、1.32倍；隨著錨桿支護(hù)數(shù)量增加，巖層上的應(yīng)力開始逐漸減小，并逐漸接近整體梁模型。

由理論和模擬分析可知，疊層梁共同曲率和非共同曲率巖梁上的應(yīng)力遠(yuǎn)大于整體梁上的應(yīng)力，若通過錨桿的支護(hù)組合作用[25]，可將疊層梁非共同曲率轉(zhuǎn)化為疊層梁共同曲率甚至實(shí)現(xiàn)類似整體梁的轉(zhuǎn)化效果，大大減小巖梁上的應(yīng)力，提高巖梁的承載能力。

由此可得出，錨桿主被動(dòng)加固技術(shù)的內(nèi)在機(jī)理：①阻止復(fù)合頂板層間黏結(jié)破壞，防止由整體梁向共同曲率疊層梁進(jìn)而向非共同曲率疊層梁轉(zhuǎn)化；②錨桿支護(hù)增強(qiáng)了復(fù)合頂板抗彎能力，使上下層同步性增強(qiáng)，彎曲變形減小，層間黏結(jié)損傷減小；③復(fù)合頂板變成疊層梁后，通過錨桿支護(hù)可使分層承載變?yōu)檎w承載，從而大大提高復(fù)合頂板的穩(wěn)定性。

4 結(jié)論

1)當(dāng)高跨比大于1/3時(shí)，可將復(fù)合頂板疊層梁近似看作共同曲率模型；當(dāng)高跨比小于1/3時(shí)，應(yīng)將疊層梁按照非共同曲率模型進(jìn)行分析。只有當(dāng)復(fù)合頂板層間黏結(jié)力未發(fā)生破壞時(shí)，才可用整體梁模型進(jìn)行分析。

2)3種模型計(jì)算的復(fù)合頂板穩(wěn)定性差別較大。傳統(tǒng)上采用整體梁模型的計(jì)算方法，是偏于危險(xiǎn)的，因?yàn)閺?fù)合頂板層間黏結(jié)力較小，在巷道開挖后常會(huì)出現(xiàn)層間黏結(jié)局部或全部被破壞，由整體梁模型向疊層梁模型轉(zhuǎn)化，在分層厚度較小時(shí)則可能進(jìn)一步由共同曲率模型向非共同曲率模型轉(zhuǎn)化，使復(fù)合頂板穩(wěn)定性進(jìn)一步降低。錨桿主被動(dòng)加固技術(shù)，其內(nèi)在機(jī)理在于，防止由整體梁向共同曲率疊層梁進(jìn)而向非共同曲率疊層梁轉(zhuǎn)化，相反可能實(shí)現(xiàn)由非共同曲率疊層梁向共同曲率疊層梁甚至近似整體梁轉(zhuǎn)化，從而大大增強(qiáng)復(fù)合頂板穩(wěn)定性。

3)復(fù)合頂板彎矩及應(yīng)力分配規(guī)律：整體梁模型不存在彎矩及應(yīng)力分配問題；疊層梁非共同曲率模型，其上下分層的彎矩及應(yīng)力分配比隨著高跨比的增大而減小；疊層梁共同曲率模型，其彎矩及應(yīng)力分配關(guān)系不隨高跨比變化，當(dāng)疊層梁上下層的彈性模量不同而厚度相同時(shí)，共同曲率模型的彎矩及應(yīng)力分配與上下層彈性模量比相同，當(dāng)疊層梁上下層厚度不同而彈性模量相同時(shí)，上下層彎矩分配是厚度比的3次方，應(yīng)力分配與厚度比相同。