在接續(xù)研究中發(fā)展理性思維
——以“復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算”為例

?湖南省株洲市五雅中學(xué)

陽(yáng)志長(zhǎng)

1 引言

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更多帶有研究色彩，是通過(guò)獲得一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)研究對(duì)象的學(xué)習(xí)過(guò)程，使個(gè)體研究心理、思路、方法、方式、思想等獲得持續(xù)變化與發(fā)展，形成具有個(gè)性特征的數(shù)學(xué)思維的過(guò)程.數(shù)學(xué)思維是一種理性思維，突出表現(xiàn)在思維的連貫性、嚴(yán)謹(jǐn)性、批判性、創(chuàng)新性等品質(zhì)方面.新課程提出“優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)，突出主線(xiàn)，精選內(nèi)容”[1]的課程理念，本質(zhì)是抓住獲得各個(gè)數(shù)學(xué)研究對(duì)象的過(guò)程，采取單元教學(xué)方式，發(fā)展學(xué)生的理性思維.

“復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算”是新課標(biāo)教材第七章“復(fù)數(shù)”第二節(jié)“復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算”[2]第二課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容.“因?yàn)楦呖贾械膹?fù)數(shù)題非常簡(jiǎn)單，所以許多老師對(duì)復(fù)數(shù)的教學(xué)也不太上心”[3]，以致于簡(jiǎn)單了事，在第二節(jié)第二課時(shí)匆忙落下第七章教學(xué)“帷幕”.“復(fù)數(shù)是一類(lèi)重要的運(yùn)算”[1]，學(xué)生已經(jīng)理解引入復(fù)數(shù)的必要性，如此“謝幕”，他們感受不到復(fù)數(shù)應(yīng)用的廣泛性；“復(fù)數(shù)源于純粹的數(shù)學(xué)推理，是理性思維的產(chǎn)物”[3]，復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算不僅是研究一類(lèi)運(yùn)算對(duì)象“思維鏈”的關(guān)鍵“節(jié)點(diǎn)”，而且是認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)概念、復(fù)數(shù)的三角表示，以及發(fā)展理性思維的重要載體.

2 對(duì)接思考，培養(yǎng)思維的連貫性

與復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算(簡(jiǎn)稱(chēng)“一級(jí)運(yùn)算”)類(lèi)似，教材直接規(guī)定復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算(簡(jiǎn)稱(chēng)“二級(jí)運(yùn)算”)的乘法法則.為什么可以這樣規(guī)定？基于復(fù)數(shù)的代數(shù)表示，在探索復(fù)數(shù)一級(jí)運(yùn)算時(shí)，類(lèi)比兩個(gè)多項(xiàng)式相加、減，學(xué)生已經(jīng)感受到復(fù)數(shù)加法法則“規(guī)則”的合理性，以及研究一個(gè)運(yùn)算對(duì)象的“基本套路”.為讓學(xué)生了解復(fù)數(shù)“二級(jí)運(yùn)算”產(chǎn)生的背景和學(xué)習(xí)的必要性，本課時(shí)需要突出第一個(gè)教學(xué)重點(diǎn)，“復(fù)制”這個(gè)“基本套路”，抽象、推導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘法法則.

(1)PPT呈現(xiàn)問(wèn)題1：設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R).我們知道，z1+z2=(a+c)+(b+d)i，z1-z2=(a-c)+(b-d)i,兩個(gè)復(fù)數(shù)的和、差是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).那么，接下來(lái)應(yīng)該研究什么？可以怎樣研究呢？

(2)學(xué)生思考、回答問(wèn)題.教師引出并板書(shū)本節(jié)課的研究主題，引導(dǎo)學(xué)生回顧第一課時(shí)研究的“基本套路”，獲得研究復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算方法：類(lèi)比兩個(gè)多項(xiàng)式相乘.

(3)學(xué)生演練、推導(dǎo)，教師規(guī)劃板書(shū)位置，讓一位學(xué)生代表板書(shū)、推導(dǎo).

(4)教師“點(diǎn)擊”，同化研究方法，導(dǎo)引學(xué)生閱讀教材第77頁(yè)的相關(guān)內(nèi)容，讓他們感受研究方向的正確性、“規(guī)則”的合理性，得到復(fù)數(shù)的乘法法則(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i，以及兩個(gè)復(fù)數(shù)的積是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).

(5)PPT呈現(xiàn)問(wèn)題2：得到復(fù)數(shù)的乘法法則后，按照研究復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的“基本套路”， 接下來(lái)應(yīng)該研究什么？怎樣研究呢？

(6)學(xué)生思考、回答問(wèn)題，教師規(guī)劃板書(shū)位置，讓三位學(xué)生代表展示推導(dǎo)過(guò)程.

(7)教師 “點(diǎn)擊”， 再次同化研究方法，得到：復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算律、對(duì)加法的分配律.然后，簡(jiǎn)單小結(jié)一下研究復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的“基本套路”，讓學(xué)生進(jìn)一步得到各步的意義建構(gòu).

以上的對(duì)接、思維活動(dòng)，圍繞研究一個(gè)運(yùn)算對(duì)象的“基本套路”，通過(guò)提供“先行組織者”、激活“情境與問(wèn)題”的途徑，傳承復(fù)數(shù)加法運(yùn)算的研究方式，并在類(lèi)比思考、接續(xù)研究中，培養(yǎng)學(xué)生思維的連貫性，以及數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)，并形成對(duì)運(yùn)算研究對(duì)象探索的方向感，以及積極的認(rèn)知情感、態(tài)度與價(jià)值觀.

3 跟進(jìn)思考，培育思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

得到復(fù)數(shù)乘法法則及其運(yùn)算律后，教材通過(guò)例3、例4，示范復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的“思維與表達(dá)”，在此基礎(chǔ)上提煉“乘法公式”.同屬二級(jí)運(yùn)算，為不割裂研究“鏈條”，本課時(shí)需要突破第一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，變通“套路”，推導(dǎo)、概括出復(fù)數(shù)除法的法則.

(1)PPT呈現(xiàn)問(wèn)題3：類(lèi)比多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，我們得到了復(fù)數(shù)的乘法法則及其運(yùn)算律.多項(xiàng)式乘法一個(gè)顯著標(biāo)志是可以用“乘法公式”簡(jiǎn)化運(yùn)算.那么，復(fù)數(shù)乘法是否有相應(yīng)的公式呢？

(3)PPT呈現(xiàn)問(wèn)題4：二級(jí)運(yùn)算還有除法.那么，兩個(gè)復(fù)數(shù)能否相除?如何研究復(fù)數(shù)的除法呢？

(5)教師 “點(diǎn)撥”， 順應(yīng)研究方法：遵循“基本套路”，根據(jù)運(yùn)算對(duì)象的結(jié)構(gòu)特征，展開(kāi)聯(lián)想,變更類(lèi)比對(duì)象，分析、研究問(wèn)題.簡(jiǎn)單小結(jié)，突出理解與應(yīng)用特色：復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算分別類(lèi)比多項(xiàng)式乘法、根式除法運(yùn)算.

以上思考與探索過(guò)程，按照一個(gè)運(yùn)算對(duì)象的研究過(guò)程，通過(guò)體現(xiàn)共性、突出個(gè)性，延續(xù)復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的研究方式，順應(yīng)知識(shí)，并在跟進(jìn)思考、接續(xù)研究中，突破教學(xué)難點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，以及邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，建立相關(guān)研究的“知識(shí)與技能”“思維與表達(dá)”“交流與反思”.

4 換位思考，增強(qiáng)思維的批判性

得到法則后，緊接著就是法則的應(yīng)用，需要突破第二個(gè)教學(xué)難點(diǎn)：法則的正確理解與靈活應(yīng)用.

(2)學(xué)生獨(dú)立思考，自主練習(xí).6分鐘后，展示多位學(xué)生代表的計(jì)算過(guò)程，學(xué)生與教師一道矯正、點(diǎn)評(píng)，鼓勵(lì)其他學(xué)生提供不同的計(jì)算思路或方法.

(4)PPT呈現(xiàn)例2.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程：①x2+2=0；②ax2+bx+c=0，其中a,b,c∈R，且a≠0，b2-4ac<0.

(5)學(xué)生獨(dú)立思考、提供解題方案后，讓學(xué)生對(duì)照教材第79頁(yè)例6的“分析”與“解”發(fā)表意見(jiàn)或提出問(wèn)題.然后，教師點(diǎn)評(píng)、提煉：例2第②題為一般情形，教材給出的“解”體現(xiàn)了求解實(shí)系數(shù)一元二次方程的“根本大法”——配方法，轉(zhuǎn)化為特殊情形；虛數(shù)與復(fù)數(shù)的引入緣于解方程時(shí)遇到的負(fù)數(shù)開(kāi)平方問(wèn)題，作為復(fù)數(shù)及其運(yùn)算應(yīng)用的一個(gè)重要方面，有了“求根公式”，可以直接利用它求實(shí)系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根，或?qū)?shí)系數(shù)二次三項(xiàng)式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式.

以上探討過(guò)程，按照研究一個(gè)運(yùn)算對(duì)象的進(jìn)程，采用提供多樣性素材、激發(fā)應(yīng)用情境的方法，使研究復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的方式得以改造，并在換位思考、接續(xù)研究中，突破教學(xué)難點(diǎn)，增強(qiáng)學(xué)生思維的批判性，完善一個(gè)運(yùn)算對(duì)象的研究過(guò)程，解決數(shù)系擴(kuò)充后復(fù)數(shù)運(yùn)算的封閉性、應(yīng)用性等問(wèn)題，使一個(gè)運(yùn)算對(duì)象的研究“套路”找到比較穩(wěn)定的“固著點(diǎn)”.

5 接續(xù)研究，發(fā)展思維的創(chuàng)新性

數(shù)學(xué)研究，不止于解決問(wèn)題，還要回歸研究歷程，獲得 “再出發(fā)”的能量.課堂最后環(huán)節(jié)，還需要上升到數(shù)學(xué)思想高度，突出第二個(gè)教學(xué)重點(diǎn)：完善研究一類(lèi)運(yùn)算對(duì)象乃至一類(lèi)數(shù)學(xué)對(duì)象的“基本套路”、行動(dòng)方案.

(1)學(xué)生小結(jié).可以使學(xué)生明晰：復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算，類(lèi)似于整式的乘法、根式的除法運(yùn)算，乘法滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律及對(duì)加法的分配律，可以用乘法公式簡(jiǎn)化運(yùn)算，結(jié)果是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)；與實(shí)數(shù)運(yùn)算、三角恒等變換一樣，復(fù)數(shù)運(yùn)算常要抓住運(yùn)算對(duì)象特點(diǎn)，考慮運(yùn)算依據(jù)，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，達(dá)到運(yùn)算目標(biāo).

(2)變更情境.讓學(xué)生瀏覽教材第75至79頁(yè)的內(nèi)容，結(jié)合黑板板書(shū)，回顧課堂學(xué)習(xí)、研究歷程，談學(xué)習(xí)體會(huì)，或提交問(wèn)題.

(3)教師凝練.在肯定學(xué)生的突出表現(xiàn)、所作小結(jié)的基礎(chǔ)上，凝練出研究復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的思想方法——類(lèi)比遷移法，以及研究一個(gè)運(yùn)算對(duì)象的“基本套路”：“背景—概念—基本性質(zhì)—運(yùn)算及其幾何意義、運(yùn)算律—聯(lián)系與應(yīng)用”[3].引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)尚沒(méi)有研究的問(wèn)題：復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的幾何意義，以及復(fù)數(shù)乘方、開(kāi)方運(yùn)算及其幾何意義.凸顯研究一類(lèi)運(yùn)算對(duì)象的思維軌跡，鼓勵(lì)學(xué)生接續(xù)研究教材第81頁(yè)“代數(shù)基本定理”及選學(xué)內(nèi)容“復(fù)數(shù)的三角表示”，為后續(xù)課時(shí)的研究性學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備.

上述梳理與凝練過(guò)程，采取參與小結(jié)、多向?qū)υ?huà)的策略，將“小結(jié)權(quán)”還給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生自主梳理一節(jié)課的知識(shí)，重視閱讀教材和學(xué)習(xí)小結(jié)，開(kāi)展與教材、自己對(duì)話(huà).更好地發(fā)揮教師的引領(lǐng)作用、開(kāi)拓視野，指導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展與同學(xué)、老師對(duì)話(huà)，系統(tǒng)認(rèn)識(shí)運(yùn)算對(duì)象研究的過(guò)程和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身，重視研究數(shù)學(xué)對(duì)象的思想方法、繪制思維藍(lán)圖，將數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落實(shí)到課堂； 再現(xiàn)復(fù)數(shù)研究的“情境與問(wèn)題”“思維與表達(dá)”“交流與反思”，讓學(xué)生明白為什么虛數(shù)以及復(fù)數(shù)概念的引入會(huì)經(jīng)歷一個(gè)曲折的過(guò)程，領(lǐng)悟其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)家的想象力、創(chuàng)造力，使研究復(fù)數(shù)“二級(jí)運(yùn)算”的流程得以“再造”，發(fā)展思維的創(chuàng)新性.

6 結(jié)束語(yǔ)

復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算是復(fù)數(shù)運(yùn)算“思維鏈”的關(guān)鍵“節(jié)點(diǎn)”，主張按照研究一個(gè)運(yùn)算對(duì)象的“基本套路”，優(yōu)化設(shè)計(jì)，通過(guò)對(duì)接思考、跟進(jìn)思考、換位思考、接續(xù)研究的方式方法，使研究復(fù)數(shù)一級(jí)運(yùn)算的“基本套路”得以“傳承、延續(xù)、改造、發(fā)展”.在接續(xù)研究中重構(gòu)研究一類(lèi)運(yùn)算對(duì)象的“基本套路”，培養(yǎng)思維的連貫性、嚴(yán)謹(jǐn)性，增強(qiáng)思維的批判性，發(fā)展思維的創(chuàng)新性.新課程改革正在如火如荼地進(jìn)行，廣大教師要認(rèn)真鉆研課程標(biāo)準(zhǔn)和教材，立足各個(gè)課時(shí)、各個(gè)單元、各條主線(xiàn)，以及各個(gè)、各類(lèi)研究對(duì)象，優(yōu)化設(shè)計(jì)，課時(shí)落實(shí)，單元突破，主線(xiàn)推進(jìn)，合力鍛造學(xué)生數(shù)學(xué)思維的必備品格和關(guān)鍵能力，讓他們?cè)诮永m(xù)學(xué)習(xí)、研究中發(fā)展理性思維，賡續(xù)數(shù)學(xué)家不屈不撓、精益求精的精神血脈, 落實(shí)“學(xué)生發(fā)展為本，立德樹(shù)人，提升素養(yǎng)”[1]的根本任務(wù).