數學文化融入高中數學課堂的案例研究
——以“等比數列的前n項和”為例

?吉林師范大學

宋櫻花

1 數學文化融入高中課堂現狀

數學文化融入數學教育，即HPM觀點，背后蘊含的理論支撐依據是“歷史發生原理”的數學教學.通過課堂中呈現數學知識在歷史長河中的發生、發展、拓展的一系列過程，讓學生利用較短的課堂時間，經歷整個人類較為漫長的探索過程.

汪曉勤教授在《基于數學史的數學文化內涵實證研究》一文中曾論述，數學史融入高中數學課堂教學，不僅有助于學習者知識體系的建構，也體現了教師教學方法的獨特，學習者在獲得探究數學史樂趣的同時也能夠幫助學習者發展數學隱性能力，展現中華民族的文化之美，在數學史中也可以傳承和發揚中華民族的美德[1].然而，HPM理論在一線實際教學環節仍存在著無法將理念落地生根的困境.針對我國數學文化融入高中課堂的難題，諸多一線教育工作者也在不斷的探索與實踐當中[2].

2 數學文化融入高中課堂原則

2.1 真實性原則

在漫長的數學學科的探索過程中，數學知識中蘊含著許多寶貴的財富.無論是數系的不斷擴充，還是歐氏幾何的建立，都是為了解決人類長時間以來難以破解的實際問題.數學文化想要融入高中課堂教學中，教師在引入數學文化時，應當符合真實性原則.既要保證內容上的真實，也要保證思想上的真善美.只有將真實的問題情境、數學情境、歷史情境引入到教學活動中，才能讓學生感受到數學史的魅力，以更飽滿的熱情進入到學習活動當中.

2.2 再創造原則

在一線教學活動中，大多數教師往往過于關注知識的傳授結果，對結果的評價往往也只是通過考試或測驗來進行，這種評價方式忽略了學習過程.因此，更為重要的是要讓學生了解知識產生的過程.學習者學習的時間是十分短暫的，而知識的產生發展是經歷了很長時間的.只有通過數學史的融入，使學生對數學的發展歷程產生濃厚的興趣，學習起來才會事半功倍，這跟以往教師照本宣科的講解方式相比是具有優勢的.只有通過教師在教學活動中的二次創造，才能引導學生們不斷發現，不斷感悟數學知識的發展歷程，從而獲得更好的教學效果.

2.3 適當性原則

在一線教學中，對數學文化的引用應當遵循適當性原則.“適當”從兩個角度而言：其一是知識水平上的適當，即尋找符合學生知識水平和教學內容的數學史料，二者要有一定的關聯性才能保證難度的適當；其二是使用程度的適當，即在四十五分鐘的標準課時中，應當恰當使用，精選兩到三個數學史、數學人物、數學故事進行呈現，而不是在整個數學課堂中一直講授數學文化的背景，導致喧賓奪主，從數學課變為歷史課.在實際的導入或講授的過程中，適當性原則要由教師進行調控，這樣才可以做到適當.

3 數學文化融入高中課堂案例

3.1 教材內容分析

數列是高中數學的重要內容之一，現實生活很多內容常用到它.前面已經學習了數列的許多基礎知識，這為本節內容的學習奠定了基礎.而等比數列求和的學習又為數列在各方面的應用做好鋪墊.

首先，在情境與問題中，通過數學故事進行導入，把學生帶入到等比數列求和的情境中，由直觀感知到數學抽象，提升學生的人文素養，體現數學的人文育人價值；其次，在知識與技能中要使學生達到掌握數列基本內容的要求；再次，在自主探究的過程中，用觀察、比較、分析、歸納、概括等方法對若干實例進行提煉和概括并建立數學模型，并嘗試運用錯位相減法或構造方程的思想解決等比數列求和問題，使學生感悟從特殊到一般的數學思想方法；最后，在交流與反思中，通過交流分享活動，養成用規范的數學語言表述的習慣，培養具體問題具體分析的理性精神，發展數學建模、邏輯推理等素養.

3.2 學情分析

從認知角度而言：學生已經掌握等差數列定義、性質、求和公式和等比數列的定義與性質，有一定的學習基礎，對即將學習的內容做好了知識上的準備.

3.3 數學文化融入的教學內容設計

(1)創設情境.

通過古書中描述的有關數列求和的問題、萊茵德紙草書記載的數列求和問題、舍罕王的棋盤放置麥粒故事三個數學史情境，引入本節課所學習的數列求和問題.在講解的過程中也讓學生理解到數學歷史發展的曲折與艱辛[3].例如，本節教學，使學生了解到了等比數列前n項和的探索過程以及其背后蘊含的數學原理，也使課堂有了更加良好的學習氛圍，促使學生獲得了更多的知識.

師生活動過程：

問題1古巴比倫泥板M7 857上載有等比數列99，891，8 019，72 171，649 539 的求和.

問題2萊因德紙草書是現存的重要的數學典籍之一，萊因德紙草書上曾經記錄這樣一個關于數列的問題：“假設有7個草屋，每一個草屋中有7只貓，每只貓可以抓7只老鼠，每只老鼠吃7個稻谷，每個稻谷含7個稻粒容積單位，問草屋、貓、老鼠、稻谷、容積總數分別為多少？”

問題3古印度的一位智者發明了早期的國際象棋.國王要給發明者獎勵，發明者說: 請在棋盤中放置麥粒，每個格子里放的麥粒數都是前一個格子里放的麥粒數的2倍，直到將整個棋盤裝滿.請同學們思考一共需要多少顆麥粒？

設計意圖：以數學史中的素材為引例，背景是真實的歷史材料或歷史故事，充滿趣味性，容易把學生帶入到等比數列求和的情境中，由直觀感知到數學抽象，從側面激發學生的學習興趣，幫助學生從感性認識上升到理性思考.同時也體現了數學的人文育人價值.

(2)數學抽象，建立模型.

問題4根據上面問題3求麥粒的數目，實際上是計算1+21+22+……+263=？的問題，也就是求首項是1，公比是2的等比數列前64項的和.

問題5這三個問題是否是一類問題？能不能建立一個更大的數學模型描述這類問題？

問題6首項為1，公比為q的等比數列的前n項和公式是什么？

問題7如何求以a1為首項，以q為公比的等比數列的前n項的和？

設計意圖：在模型建立環節，創設了五個環環相扣的數學問題，在不斷的追問下啟發學生的思維，是基于對數學問題的發現分析與解決策略上的理性思考.五個追問，使學生的探索始終處于自我成長的最近發展區；五個思考，使學生對問題步步深入，對問題的挖掘越來越深刻，在師生、生生碰撞中得出解決問題的方法.

(3)啟發教學，公式證明.

通過以下三種不同的證明思路，啟發學生學習，開拓學生思路.

根據定義，得

Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1

①

①式兩端同乘q，得

qSn=a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn

②

當q為1時，Sn=na1.

因為Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1，所以，Sn=a1+q(a1+a1q+a1q2+……+a1qn-2).

化簡，得Sn=a1+q(Sn-an).

證明方法三：Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an.

根據等比數列定義，得

因此，

所以，

(4)案例設計回顧.

學習目標依據學生實際情況定位.課程目標側重于知識技能、過程、方法；素養目標側重于學生的情感態度、價值觀、數學素養的提升.通過深入挖掘新課標、新教材，在充分把握學情的基礎上，力求給學生起到預習引領的作用，為學生本節課的學習奠定基礎.

探索學習中創設情境，化史料素材為數學問題，尋找共性特征，歸納總結，建立模型.在交流分享活動中，組織學生加入到小組的活動中，以小組的形式進行展示，展示過程中要注重學生的情感體驗，教師在恰當的時機進行點撥和肯定.通過小組交流，培養學生的邏輯推理能力.在展示活動中要注意緊扣各個環節，逐步呈現思維過程.

4 數學文化融入高中課堂的反思

4.1 將數學應用融入數學的日常教學

可以將數學在歷史、藝術、文化、科學等諸多方面的應用融合到高中數學教學中，提升學生在學習中的體驗感并且激發他們的興趣.由于學生生活經驗的欠缺，可以通過教師閱歷的講述來吸引學生.教學內容的選取從與現實生活相接近的方面進行切入，譬如，學習三角函數時，可以從教師的生活出發，提出對應的問題引發學生思考，再通過細致的講述完成知識點的講解，從而解決上課之初提出的問題.

4.2 將數學思想融入數學的日常教學

將數學思想介紹給學生可以有兩種方式：(1)以各種文字或者圖片材料作為具體闡述的載體，高中生可以直接通過閱讀來理解吸收并運用其中的思想；(2)將數學思想融入授課過程中，將具體的實際問題簡化為數學問題，建立合適的數學模型就是數學思想的應用.

4.3 將數學之美融入數學的日常教學

數學美屬于一種特殊之美，可以將數學之美與高中數學課堂相結合，在潛移默化之中讓學生體會獨特的數學之美.它的美具體到現實生活中，通常以許多建筑為代表，可以將它們抽象為對應的數學圖形，探索對應圖形的基本特征從而探知數學之美.生活中的萬事萬物都體現數學之美，圖形的對稱、旋轉，日常的窗花，都是數學之美的體現.所以將數學之美融合進課堂教學之中，非常有利于高中學生拓寬視野，陶冶他們的情操.

4.4 將數學史融入數學的日常教學

從古至今，無數的數學家為數學史做出了卓越的貢獻，但由于教科書的篇幅有限不能將與知識點相關的數學史全部講述，教師可以在備課之時選取部分數學史以故事的形式講述出來.譬如勾股定理的證明，除去教材的證明方式，還可以采用一些相對容易理解的方法證明，并提出此種證明方法的數學家的故事，用獨特的視角吸引學生的注意力.

5 結束語

綜上所述，高中階段的數學教育工作者應該將精力投入到把數學文化融入高中數學課堂之中.這個過程必將需要大量的時間和精力，需要恒心、細心還有耐心.這一過程不是一蹴而就的，正如《勸學》中所說：“不積跬步，無以至千里”，長久的積累終究會實現這一長久目標.