基于“主題單元”理念的教學設計展示
——以“基本初等函數的導數公式及導數的運算法則”為例

?廣東省東莞市東莞中學

崔吉平

1 “主題單元”教學設計的內涵

主題單元教學，也叫主題式授課，是指把課時教學設計融入主題單元教學設計中的一種授課模式.有別于傳統教學，主題單元教學就是要在課時教學設計之前，先進行本單元的教學設計，對本單元內容及其蘊含的數學思想和方法、著重培養的學科核心素養、要達成的教學目標等作出全面分析，然后按照知識的發生發展過程、學生的認知過程分解到具體課時.主題單元教學的內容不拘一格，既可以是課本章節內容，也可以是其他的通過梳理整合的教學材料，操作性強，靈活性好，是發展“四基”、提高“四能”的重要載體，是提升核心素養，踐行新課程標準(2017年版)的絕佳路徑.本文以《選修2-2》中“基本初等函數的導數公式及導數的運算法則(第1課時)”為例，向讀者展示基于“主題單元”理念的一篇教學設計，望能起到拋磚引玉的作用.

2 教學設計展示

2.1 單元目標及解析

(1)通過分析變化率問題，了解平均變化率和瞬時變化率，了解兩者的關系，理解導數概念的本質——導數就是瞬時變化率；

(2)能借助《幾何畫板》理解函數切線與割線的關系，從中感受極限思想，并能指出導數的幾何意義；

(4)能通過研究函數圖象切線去分析初等函數的導數公式，并能熟練掌握導數公式；

(5)理解導數的運算法則及復合函數的導數公式，并能運用公式及法則求簡單函數的導數；

(6)會利用導數公式及運算法則求曲線的切線方程和瞬時變化率.

2.2 課時目標及重難點

(1)教學目標：能熟記基本初等函數的導數公式和導數運算法則，能利用基本初等函數的導數公式和運算法則求簡單函數的導數，能求曲線在某點處的切線方程.

(2)教學重點：八個基本初等函數的導數公式和導數運算法則的理解、記憶與應用.

(3)教學難點：①理解函數y=sinx，y=cosx，y=ax，y=logax的導數公式.(a>0,且a≠1.)

②導數運算法則(乘除)

[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x),

的記憶與應用.

2.3課時教學過程設計

2.3.1 問題引入，激發興趣

追問1-1：你能從中得出冪函數f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)的導數公式嗎？

生：f(x)=x，則f′(x)=1；

f(x)=x2，則f′(x)=2x；

由此歸納可得，若f(x)=xα(α為有理數)，則f′(x)=α·xα-1.

設計意圖：通過對四個已知冪函數的導數作出歸納，從特殊到一般得到冪函數的導數公式，學生積極參與，信心高漲，學習熱情被迅速點燃.

2.3.2 由形到數，發現公式

問題2除了利用導數定義，我們如何利用函數y=f(x)的圖象去研究它的導數？

引導學生回憶導數的幾何意義，通過討論達成共識：要研究函數的導數，只需要研究函數圖象的切線斜率值的變化情況.

設計意圖：加強學生對導數本質的理解，為下面的教學奠定邏輯基礎.

問題3現在來研究三角函數的導數公式，請在學案上畫出函數f(x)=sinx，x∈[-2π，2π]的圖象，觀察其切線斜率值的變化，你有什么發現？

圖1

生：如圖1所示，觀察出切線斜率的值呈現周期性變化，其范圍在[-1，1].

追問3-1：猜想正弦函數、余弦函數的導數.

學生活動：畫圖(圖2)，獨立思考后相互討論，得到“正弦函數的導數是余弦函數，余弦函數的導數是正弦函數的相反數”.

圖2

設計意圖：通過作圖及《幾何畫板》演示，巧妙縮短了教學內容與學生的心理距離，加深學生對三角函數導數公式的理解與記憶，培養了直觀想象與邏輯推理素養.

問題4你如何快速記牢八個導數公式？

學生活動：同學們發言踴躍，能說出八個導數公式分別是常值函數、冪函數、三角函數(兩個)，指數函數(兩個)，對數函數(兩個)，第6個公式是第5個公式的特殊化，第8個公式是第7個公式的特殊化.

設計意圖：課堂氣氛輕松愉悅，學生反響熱烈，教學效果好.

2.3.3 法則探究，活學活用

問題5你會求課本第3頁問題2中的函數h(t)=-4.9t2+6.5t+10的導數嗎？這里主要涉及到導數的哪些運算法則？

生：導數的加法和乘法的運算法則.

兩個函數f(x)與g(x)的和(或差)的導數法則：[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x).(教師板書)

追問5-1：[f(x)g(x)]′=f′(x)·g′(x)成立嗎？

教師活動：表揚學生，給出法則[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).

追問5-2：如果函數g(x)=c(c為非零常數)，你能得到什么結果？

生：[cf(x)]′=cf′(x).

生：分母是原先分母的平方，分子是個差值.

生：分子是f′(x)g(x)-f(x)g′(x).

設計意圖：利用課本例子指出學習導數運算法則的必要性，處理巧妙，然后通過找反例、分析結構加深學生對導數運算法則的理解和記憶.

2.3.4 課后訓練，鞏固提高

(1)求下列函數的導數：

①y=(x-1)3； ②y=xn2x；

設計意圖：第(1)題是檢測學生對基本初等函數的導數公式及導數的運算法則的掌握情況，第(2)題主要是檢測學生導數公式的運算素養水平.

3 總結與反思

本文是2020年11月份作者在廣東省惠州市舉辦的華南師范大學教育服務合作項目——高中數學“同課異構”教研活動中，上的一節示范課的教學設計的修改稿.整個課堂緊扣主題單元設計的要求，通過問題串的設置與解決促使學生由表及里掌握導數公式與運算法則，把數學知識的教學、數學思維的引導、數學能力的提升融為一體，有一定的啟發性和參考性.美中不足的是兩個函數的商的導數法則學生理解起來還有些困難，需要我們更細致地設計和引導幫助學生順利過關，真正使學生的數學學科核心素養落到實處，生根發芽，茁壯成才.