一道教材習題的變式

?西華師范大學數(shù)學與信息學院

王小梅

1 引言

習題是教科書的重要組成部分,具有一定的典型性與示范性,很多高考題就來源于教材的習題.教師應當充分發(fā)揮教材習題的功能,合理運用例題、習題.基本不等式是高中數(shù)學的重要知識,在最值問題中發(fā)揮著重要作用.但由于基本不等式的靈活多變,學生在學習中難以靈活應用其結(jié)論(“積定和最小,和定積最大”)解決最值問題，因此,有必要對其深入研究.而“變式訓練”為此提供了一個很好的突破口.對教材習題進行變式,一方面,加深學生對數(shù)學知識的理解,有助于學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題的本質(zhì);另一方面,提高學生解題能力,達到舉一反三的效果.與基本不等式有關的問題很多,本研究將通過教材一道習題的變式加深學生對“積定和最小”這一結(jié)論的理解與運用.

2 原題呈現(xiàn)

分析：該題是教材的一道習題(解法略),主要是對基本不等式的考查,屬于基礎題,直接利用基本不等式即可解決,但是不少高考題就源于這道題.另外補充,由基本不等式推廣的n元的基本不等式：

3 習題變式

3.1 數(shù)量變式

分析：變式1和變式2均是在“量”上進行改變,變式1是改變自變量的范圍,變式2是改變式子的系數(shù),式子的結(jié)構(gòu)仍不變,與原題解法一致.需要注意的是,變式1要使用基本不等式,需要滿足基本不等式的條件,可通過換元法改變自變量的范圍.

3.2 結(jié)構(gòu)變式

3.3 多元變式

前面所有的題目都只有一個變量,還可以增加變量的個數(shù).

下面一道高考題與之類似.

A.1 B.2 C.3 D.4

變式9已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),則x2+y2的最小值是.(2020江蘇,第12題)

分析：變式6與原題解法一致,只是增加一個自變量;變式7與變式4類似,可通過拆項法進行構(gòu)造,除此之外,還可兩次利用基本不等式解決.需要注意的是,每次使用基本不等式時,取等號的條件不能遺漏,并且所有的條件都要滿足.變式8中式子的結(jié)構(gòu)比上述其他題要復雜,不難發(fā)現(xiàn)：

3.4 延伸變式

以上變式主要是對基本不等式本身的運用.此外,我們還可以對基本不等式進行延伸,可得到如下推論：

該結(jié)論是由重要不等式(a2+b2≥2ab,a,b∈R,當且僅當a=b時,等號成立)變形而來.該結(jié)論應用廣泛.一方面,能夠起到降次的作用；另一方面,將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式,使問題得到簡化.下面舉例說明.

解法1：因為x>0,y>0,所以

=2x+2y,

解法2：由推論可得

當且僅當x=y時，等號成立.

分析：解法1需要構(gòu)造成恰當?shù)男问?具有一定的技巧性.相比之下,解法2更加自然,實際上就是基本不等式的變形應用.

變式11設a≥b>0,求證3a3+2b3≥3a2b+2ab2.(2009江蘇,第21題)

解析：可以看出,式子結(jié)構(gòu)對稱,左右兩邊次數(shù)不同,可利用前面的結(jié)論進行降次.首先,兩邊同時除以ab,那么,只需證

又因為a≥b>0,所以4a+b≥3a+2b.

所以,3a3+2b3≥3a2b+2ab2,得證.

解析：為了簡化不等式,可平方去根號，得

a6+b6+2a3b3≥ab(a4+b4+2a2b2).

當a>0,b>0時，與變式11類似,兩邊同除以ab,只需證

當a,b至少一個為0時，所證不等式也顯然成立.

4 總結(jié)

從上述分析可以看出,利用基本不等式解決相關問題可用換元法、構(gòu)造法,通過拆項或添項構(gòu)造出“積定”的形式.一系列的變式題也充分體現(xiàn)了化歸思想在解題中的應用,可以將分式化為整式，二元化為一元，高次化為低次，等等.另外,對教材習題進行深入研究十分有必要,高考題往往來源于教材例題、習題.教師可以通過一題多變,在變換中找不變,引導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學的本質(zhì).