例談構造函數法在高考導數題中的應用*

?山東省濱州實驗中學

王漢芹 劉玉華

《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出：“對于較復雜的數學問題，能夠通過構建過渡性命題，探索論證的途徑，解決問題.”構造函數就是提出假設和引理的有效途徑之一.但構造函數對學生的綜合能力要求較高，考查學生對函數與方程、轉化與化歸、數形結合思想的深度理解.教學實踐發現，多數學生不知道如何構造函數，要么走不少彎路，要么不知如何下手.因此，筆者圍繞2020年和2021年新高考全國Ⅰ卷導數題構造函數問題展開研究，得到構造函數的常見題型和方法，以提高學生構造函數解決問題的能力，發展數學抽象、邏輯推理等數學素養.

1 同構法構造函數

所謂同構法構造函數，就是等式或不等式經適當整理后可以表示成兩側結構相同的式子，利用這個結構式構造對應函數，再用函數性質解決問題的方法.下面以2020年新高考全國Ⅰ卷第21題來說明這個方法.

例1(2020年新高考全國Ⅰ卷第21題)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

解析：(1)略.

(2)不等式f(x)≥1，即aex-1-lnx+lna≥1，其中x>0，a>0.

即elna+x-1-lnx+lna≥1.

即elna+x-1+lna+x-1≥x+lnx.

即elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx.

設g(x)=ex+x，x∈(0,+∞).

因為g′(x)=ex+1>0，所以g(x)在(0，+∞)單調遞增.

因為elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx，所以

g(lna+x-1)≥g(lnx).

因為g(x)在(0，+∞)單調遞增，所以

lna+x-1≥lnx，即lna≥lnx-x+1.

然后再求lnx-x+1(x>0)的最大值即可.

本題先得到同構式elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx，再構造函數g(x)=ex+x，x∈(0,+∞)，再利用函數g(x)的單調性，得到關于a的簡單不等式，從而求解.同構式的獲得，就是學生觀察、分析、變形、構造的過程，這是一個從無到有的過程,可以提高學生發現問題、觀察問題、分析問題和解決問題的能力，發展數學抽象、邏輯推理等核心素養[1].

指數對數混合問題同構式構造函數主要有以下幾種模型[2]：

(1)和差型(ea±a≥b±lnb).

①ea±a≥elnb±lnb?g(x)=ex+x；

②ea±lnea≥b±lnb?g(x)=x+lnx.

(2)積型(aea≥blnb).

①aea≥(lnb)elnb?g(x)=xex；

②ealnea≥blnb?g(x)=xlnx.

這是本題變形成同構式時，用到的兩個模型.常用的同構式除了和差積型之外，還有商型.

所以，在教學中，教師要引導學生總結指數對數混合問題常用函數模型.養成勤思考、善總結的好習慣，發展數學建模、邏輯推理等數學素養.

高考題中的導數題，經常有對同構法構造函數法的考查，例如下面這兩道高考題和例1類似.

題1(2018年全國卷Ⅰ文第21題)已知函數f(x)=aex-lnx-1.

(1)設x=2是f(x)的極值點，求a，并求f(x)的單調區間；

(1)求a,b；

(2)證明：f(x)>1.

2 放縮法構造函數

例1的第(2)問還可以利用放縮法構造函數解不等式.放縮法構造函數，是對函數進行放縮來證明不等式，常用于指數或對數的不等式問題中.常用的放縮函數有：ex≥x+1(x∈R,當x=0時等號成立)，lnx≤x-1(x>0，當x=1時等號成立)，以及由兩者衍生出來的其他形式.

本題根據aex-1-lnx+lna≥1，利用兩次放縮ex-1≥x，ln(ax)≤ax-1，并且等號同時成立的條件都是x=1且a=1.這樣就能證得a≥1.

放縮法證明指數或對數不等式問題，在高考題中也是層出不窮，如前面題1(2018年全國卷Ⅰ文第21題)也可以運用放縮法求解.題3亦是.

題3(2013年全國新課標Ⅱ卷理第21題)已知函數f(x)=ex-ln(x+m).

(1)設x=0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調性；

(2)當m≤2時，證明f(x)≥0.

2020年新高考全國卷Ⅰ第21題，體現了構造函數的兩種方法，同構法構造函數和放縮法構造函數，與解決此題的常規方法——隱零點法對比，這兩種方法更簡潔，所以構造合適的函數可以達到事半功倍的效果.無獨有偶，2021年新高考全國卷Ⅰ第22題也用到了構造函數法.

3 消元法構造函數

3.1 利用f(x1)=f(x2)消元

例2(2021年全國新高考Ⅰ卷第22題) 已知函數f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調性；

解析：(1)略.

由(1)及f(x1)=f(x2)，得0

要證2

2-x1

又因為f(x)在(1,+∞)單調遞減，所以即證

f(2-x1)>f(x2)>f(e-x1).

即證

f(2-x1)>f(x1)>f(e-x1).

所以，構造函數

g(x)=f(x)-f(2-x)(0

h(x)=f(x)-f(e-x)(0

分別利用導數證明以上兩個不等式即可.

此方法是利用雙變量函數值之間的關系，進行消元.這里需要根據要證明的變量不等式構造函數，根據函數的單調性得到函數值之間的關系，進而利用函數值的關系消元.

3.2 引入新變量消元[3]

例2的第(2)問還可以引入新變量消元，消元之后再構造函數.

代入blna-alnb=a-b，得

bln(bt)-btlnb=bt-b，

即證ln2

3.3 直接代入消元

(1)討論f(x)的單調性；

本題第(2)問根據x1x2=1的關系式，直接用x2表示x1，從而消去x1.

3.4 整體換元消元

(1)若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)處導數相等，證明：f(x1)+f(x2)>8-8ln2；

(2)略.

本題第(1)問將f(x1)+f(x2)表示成關于x1x2的式子，然后整體換元消元.

3.5 確定主元消元

例5(2020年天津高考第20題)已知函數f(x)=x3+klnx(k∈R)，f′(x)為f(x)的導函數.

(1)略；

解析：(1)略.

(2)題設不等式等價于(x1-x2)[f′(x1)+f′(x2)]-2[f(x1)-f(x2)]≥0.

以x1為主元，構造函數h(x)=(x-x2)[f′(x)+f′(x2)]-2[f(x)-f(x2)]≥0.

因為x>x2≥1，且h(x2)=0，所以只需利用導數證明h(x)在(x2，+∞)單調遞增即可.證明過程略.

本題觀察要證明的式子，其中x1和x2是對稱出現的，所以確定x1或x2為主元，從而構造函數h(x).

4 幾點建議

以上是基于新高考Ⅰ卷2020年和2021年導數壓軸題得到的構造函數的主要方法.如何攻克構造函數問題呢？筆者提以下幾點建議供同仁們參考.

第一，重基礎.學生掌握好基礎知識、基本技能、基本思想方法是靈活構造各類函數的基礎.因此，在教學中，要下大力氣夯實基礎，抓好函數基本性質的復習.

第二，重思想.數學思想方法是數學的靈魂.在教學中，要加強數學知識之間的前后關聯，重視數學思想方法的運用和滲透，提升學生數學思維能力.

第三，重實戰.用構造函數法解決問題，需要細心觀察、類比聯想與變形轉化，盡量構造易求導的函數.這種數學思維方法需要不斷強化訓練，才能靈活解決問題.

第四，重講解.教師應精選題目，對此種類型的題目進行前掛后連、縱橫聯系，不斷總結構造函數的規律，積累構造函數的方法，促進學生解題能力的進一步提升.

總之，我們要讓學生學會構造函數解決導數綜合題的方法，在解題過程中大膽變形，小心求證，提高解決綜合性和創新性問題的能力.