巧用極化恒等式 妙解動(dòng)態(tài)幾何題

?重慶市忠縣中學(xué)校

張 侶

?重慶市忠縣中學(xué)校

胡江麗

平面向量是高中數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，具有鮮明的獨(dú)特性質(zhì)(代數(shù)與幾何的紐帶)，現(xiàn)已成為人們研究的重點(diǎn)對象. 文獻(xiàn)[1]表明極化恒等式建立了數(shù)量積與幾何長度(數(shù)量)之間的聯(lián)系，作為代數(shù)與幾何的橋梁，具有化動(dòng)(動(dòng)點(diǎn))為定(定點(diǎn))、化動(dòng)(動(dòng)態(tài))為靜(靜態(tài))、化曲(曲線)為直(直線)、化普通為特殊之功效，應(yīng)用十分靈活. 文獻(xiàn)[2]也舉例討論了極化恒等式在部分解題中的應(yīng)用.文獻(xiàn)[3]以近幾年高考試題、江蘇省市級統(tǒng)考試題為例，對極化恒等式在數(shù)量積問題中的應(yīng)用進(jìn)行歸納剖析，探索其解題規(guī)律. 涉及動(dòng)態(tài)幾何中向量數(shù)量積的問題，運(yùn)用常規(guī)方法很難找到求解問題的突破口，因而借助極化恒等式來求解就顯得尤為重要.

1 極化恒等式的展示

上式表明向量的數(shù)量積可以由向量的和、差運(yùn)算的模來表示，該式將向量的數(shù)量積運(yùn)算和向量的線性運(yùn)算聯(lián)系在一起，將不可度量的向量數(shù)量積關(guān)系轉(zhuǎn)化為可度量、可計(jì)算的數(shù)量關(guān)系.

圖1

圖2

推論2(極化恒等式的三角形模式)如圖2，在ΔABC中，若M是BC的中點(diǎn)，則有

故得證.

2 極化恒等式的妙用

2.1 在平面幾何中的妙用

A.圓 B.橢圓 C.拋物線 D. 直線

分析：此題是通過給出平面的兩個(gè)定點(diǎn)和向量數(shù)量積，求解動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題.問題設(shè)置簡單，但考生很難快速解答，原因是雖然看起來破解此題的方法很多，有定義法、坐標(biāo)運(yùn)算等，但都涉及到大量的運(yùn)算，不免給學(xué)生計(jì)算帶來困難.若能借助平面向量的極化恒等式破解，則可事半功倍.

點(diǎn)評：此類問題的破解，因涉及思考方向不同，所獲得求解方法也不同. 定義法和坐標(biāo)法雖然容易想到，但難免出現(xiàn)大量的計(jì)算，容易造成計(jì)算錯(cuò)誤. 而借助極化恒等式和圓的定義，問題的突破水到渠成. 根據(jù)問題的破解過程，可將原問題進(jìn)行拓展，獲得一般性結(jié)論.

2.2 在立體幾何中的妙用

圖3

解法1：(一般解法)由題設(shè)知，當(dāng)弦MN取到最長時(shí)，即MN為正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球直徑.

不妨設(shè)M,N為內(nèi)切球與正方體在平面ABB1A1和平面CDD1C1的切點(diǎn)，易知點(diǎn)M,N分別為平面ABB1A1和平面CDD1C1的中心.

如圖3，現(xiàn)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB,AD,AA1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則M(1,0,1),N(1,2,1)，設(shè)P(x,y,z)，此時(shí)

解法2：(極化恒等式)如圖3，設(shè)球心為O，由題設(shè)知，當(dāng)弦MN取到最長時(shí)，MN=2.

設(shè)外接球的球心為O，由極化恒等式得

點(diǎn)評：以上兩題都以正多面體為載體，結(jié)合球面上的兩動(dòng)點(diǎn)和正多面體上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)置平面向量數(shù)量積問題.因問題中涉及多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若按一般方法來處理很困難，但我們注意到此題中不管弦MN如何運(yùn)動(dòng)，球的直徑始終為定值，由此借助極化恒等式，將多個(gè)動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使問題變得容易化解.

2.3 在解析幾何中的妙用

①

解法1：(一般解法)根據(jù)題意，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)，A(x1,y1),B(-x1,-y1)，則

由于點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)A,B在橢圓上，所以有

點(diǎn)評：在圓錐曲線中涉及向量數(shù)量積問題求解時(shí)，需結(jié)合問題本身的規(guī)律特點(diǎn)，合理處理向量關(guān)系，若采用一般方法破解，會(huì)涉及到方程消元，結(jié)合韋達(dá)定理將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，此方法運(yùn)算量一般都比較大，需要考生有扎實(shí)的運(yùn)算能力. 若能巧妙地運(yùn)用極化恒等式，可以減少運(yùn)算，問題得以快速有效破解.

3 應(yīng)用反思

本文研究用極化恒等式破解動(dòng)態(tài)幾何中的數(shù)量積問題，若用常用的方法(基底法，坐標(biāo)法，幾何意義法)有時(shí)在求解過程由于運(yùn)算復(fù)雜會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤；若能根據(jù)圖形特征，巧妙地運(yùn)用極化恒等式進(jìn)行思考與探究，很快就能找到問題的突破口. 這并不是追求高難度的解題技巧，而是想闡明極化恒等式也是處理向量數(shù)量積的一種常見思路. 向量是連接代數(shù)與幾何的橋梁，由于向量中引入了坐標(biāo)運(yùn)算，使向量與代數(shù)運(yùn)算密切相關(guān)，而幾何運(yùn)算就略顯單薄，極化恒等式恰恰彌補(bǔ)了這個(gè)遺憾.極化恒等式把向量的數(shù)量積問題用形象的幾何圖形展示得完美無缺，實(shí)現(xiàn)了向量與幾何、代數(shù)三者的有機(jī)結(jié)合，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、直觀想象能力和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).