數列通項公式求法探秘

?廣東省東莞市第七高級中學

馬洪博

1 引言

研究數列問題，首先要研究數列的通項公式，當一個數列的通項公式確定后，這個數列的所有性質都可“浮出水面”.然而，數列的通項公式，如同函數的解析式一樣，并非可輕而易舉取得，需具體問題具體分析，并選擇恰當的方法才可求出.求數列的通項公式有哪些基本方法？對此，筆者作了些膚淺的研究，并歸納出下文中的幾種方法.

2 公式法

又因為a2=8=3a1+2，所以an+1=3an+2，n∈N*，于是an+1+1=3(an+1)，故數列{an+1}是等比數列，且首項為a1+1=3，公比為3.所以an+1=3×3n-1=3n，故an=3n-1.

3 累加法

當已知數列中出現形如遞推關系式an-an-1=f(n)(n≥2)時，一般可采用累加法求其通項公式，具體步驟：先對遞推關系式an-an-1=f(n)(n≥2)中的n賦值，從2開始，一直賦值到n，于是共得到n-1個等式，然后將這n-1個等式的左右兩邊對應相加，并加以化簡，再利用已知的首項，就可以求得數列{an}的通項公式.

例2已知數列{an}滿足an+1=3an+2×3n+1，a1=3，求數列{an}的通項公式.

4 累乘法

例3如果數列{an}滿足an+1=2(n+1)5n×an，且a1=3，則數列{an}的通項公式是______.

5 歸納法

觀察、歸納、猜想、論證是數學研究的一般方法，這種方法也可以用在數列通項公式的求法上.探究時需先從特殊到一般，再從一般回到特殊.而猜想的結論的論證一般需用到數學歸納法.因此，這種解法還需要我們熟練掌握數學歸納法的原理和應用.

①

下面用數學歸納法證明這個猜想.

即當n=k+1時，猜想也成立.

根據(1)(2)可知，猜想對任何n∈N*都成立.

點評：先猜后證，是這種方法的基本思路，“猜”考查的是觀察能力與歸納能力，“證”則考查了邏輯推理能力.這種方法較能體現數學核心素養，因此這類問題備受命題者青睞.

6 總結

當然，數列通項公式的求法還有很多，如對數變換法、迭代法、換元法和不動點法等，但無論哪種方法都并非憑空產生，只有認真審題，抓住題中給出的遞推關系式的特征，才能發現與之相匹配的求解思路與解題方法.