基于接觸應力優(yōu)化的擺線輪修形設計

趙致勃，顧大強，李立新，張 靖

（1.浙江大學機械工程學院，浙江杭州 310000；2.浙江環(huán)動機器人關節(jié)科技有限公司，浙江臺州 318000）

RV（rotary vector，旋轉矢量）減速器是工業(yè)機器人中的關鍵零部件，具有結構緊湊、傳動比大、振動小以及傳動效率高的優(yōu)點[1-2]。擺線輪齒廓修形技術是RV減速器加工制造中的核心技術[3-4]，通過對擺線輪進行合理的修形，可以改善RV減速器的傳動性能[5]。我國的RV減速器以進口為主，國產(chǎn)減速器與世界一流減速器相比有一定的差距。因此，對擺線輪修形技術展開深入研究具有重要意義[6]。

傳統(tǒng)的擺線輪修形方式有移距修形、等距修形和轉角修形等，在實際生產(chǎn)中多采用組合修形方式。陸龍生等[7]提出一種以擺線輪齒面嚙合力為優(yōu)化目標的組合修形方法。關天民等[8-11]對擺線輪的組合修形方式進行了進一步的研究，并提出了可以保證嚙合力的“反弓”齒廓。張飛翔[12]提出了基于多項式的擺線輪分段修形方法，該方法將擺線輪齒廓分為齒根段、工作段和齒頂段：對于齒根段和齒頂段，為保證一定的徑向間隙，將這2段的修形量設為多項式函數(shù)；對于工作段，為保證共軛嚙合，該段采用標準擺線齒廓。丁國龍等[13]提出了一種基于接觸應力均化的擺線輪修形方法，即以轉角修形齒廓為目標齒廓，采用等距和移距組合修形逼近方法確定相應的修形量。鄧紀辰[14]利用有限元分析軟件ANSYS建立了擺線輪與針齒的接觸模型，分析了擺線輪齒廓接觸應力的分布情況。

上述方法在一定程度上可實現(xiàn)擺線輪齒廓接觸應力的均化。為進一步降低擺線輪齒廓的接觸應力，以改善其傳動性能，筆者基于反弓齒廓提出了一種兩段修形方法，即根據(jù)要求在擺線輪齒廓的不同位置處采用不同的修形量，使得齒廓接觸應力的分布更加合理。同時，分別通過理論計算和有限元仿真分析來驗證兩段修形方法的可行性。

1 擺線輪齒面受力分析

1.1 擺線輪的齒廓方程

標準擺線輪經(jīng)等距、移距組合修形后，其齒廓方程可表示為[15]：

其中：

式中：rp為針齒中心圓半徑；rrp為針齒半徑；Δrp為移距修形量；Δrrp為等距修形量；iH為傳動比，iH=zp/zc，其中zp為針齒數(shù)，zc為擺線輪齒數(shù)；φ為針齒中心相對于轉臂的轉角（下文簡稱針齒轉角）；a為偏心距；k1'為移距修形時的短幅系數(shù)，。

1.2 組合修形產(chǎn)生的幾何回轉角

擺線輪組合修形時產(chǎn)生的幾何回轉角β可表示為[8]：

結合擺線輪與針齒的徑向間隙Δj=Δrp+Δrrp，可得臨界等距/移距修形量Δrrp0、Δrp0，分別為：

臨界等距/移距修形量Δrrp0、Δrp0是幾何回轉角β在φ=φ0=arccosk1'處取得極大值和極小值的分界點。當Δrrp＜Δrrp0時，β在φ=φ0處取得極小值；當Δrrp＞Δrrp0時，β在φ=φ0處取得極大值，且在φ0前后各有1個極小值（設這2處極小值位置分別為φa、φb）。通過計算可得：

其中：

利用式(3)即可求得φa、φb。

1.3 組合修形后的嚙合區(qū)間

在構建擺線輪齒面受力分析模型時，假設變形僅發(fā)生在擺線輪與針齒嚙合的位置處，其余位置不發(fā)生變形[15]。

組合修形后的擺線輪在空載時，其各輪齒與針齒之間存在寬度不同的初始嚙合間隙Δ()φj[8]：

式中：rc為擺線輪節(jié)圓半徑，rc=azc；φz為最先嚙合點處的針齒轉角；φj為第j顆擺線輪輪齒對應的針齒轉角。

擺線輪與針齒最先嚙合點處的總變形量δmax為：

其中：

式中：wmax為擺線輪與針齒的接觸變形量；fmax為針齒的彎曲變形量，對于臥枕式針齒，其彎曲變形量可以忽略不計[15]；μ為擺線輪與針齒材料的泊松比；E為擺線輪與針齒材料的彈性模量；b為擺線輪厚度；Fmax為最大嚙合力；ρz為最先嚙合點處的齒廓曲率半徑；Fmax和ρz均參照文獻[15]中的方法計算。

擺線輪與針齒的任意嚙合點處的總變形量δj為：

根據(jù)擺線輪與針齒的初始嚙合間隙和嚙合點處的總變形量，即可確定擺線輪的嚙合區(qū)間。

1.4 嚙合力與接觸應力計算

組合修形后擺線輪的第j顆嚙合輪齒的嚙合力Fj可表示為[15]：

擺線輪第j顆嚙合輪齒的接觸應力σHj按赫茲公式進行計算[16]：

式中：ρj為第j個嚙合點處的齒廓曲率半徑；分子中取正號表示外接觸，取負號表示內(nèi)接觸。

結合式(6)和式(7)，可得組合修形下擺線輪齒廓的接觸應力隨修形量的變化情況。

2 擺線輪的兩段修形方法

已知齒輪的承載能力與接觸應力關系密切[17]。為了進一步降低擺線輪反弓齒廓的最大接觸應力，以提高其承載能力，提出了一種兩段修形方法。

對擺線輪反弓齒廓的嚙合力與接觸應力（見圖1）進行分析可知，雖然反弓齒廓可以產(chǎn)生較好的齒面受力狀態(tài)[8]，保證最先嚙合點有2個（φa和φb），且這2個點處的嚙合力均最大，但從圖1(b)所示的接觸應力看，擺線輪齒廓已不再保留反弓形狀，最大接觸應力僅在φb附近取得。通過分析赫茲公式可以得出，2個最先嚙合點的接觸應力不同是因為這2個嚙合位置處的齒廓曲率半徑不同，與針齒的接觸狀態(tài)一個為外接觸，另一個為內(nèi)接觸。故可以通過兩段修形的方式來使擺線輪接觸應力最大的位置在空載嚙合時具有一定的初始間隙，即改變該嚙合點處的齒廓曲率半徑。綜上，兩段修形方法是在反弓齒廓的基礎上，先將擺線輪的齒廓分為2段，再對不同工作段的齒廓采用不同的組合修形量，最終達到降低齒廓接觸應力的目的。

圖1 擺線輪反弓齒廓嚙合力與接觸應力分布示意Fig.1 Schematic diagram of meshing force and contact stress distribution of cycloidal gear inverse archshaped tooth profile

2.1 齒廓分段區(qū)間確定

擺線輪反弓齒廓嚙合力最大的位置是在φa和φb附近，而接觸應力最大的位置在φb附近。因此，以φ0為分界點，將擺線輪的齒廓分為兩部分：第1段，0°～φ0；第2段，φ0～180°。

2.2 不同分段區(qū)間組合修形量確定

第1段齒廓的接觸應力較小，無需改善，故該段仍采用原反弓齒廓的組合修形量。

第2段齒廓出現(xiàn)最大接觸應力，需要進行改善，采用修形量變化的組合修形方法，即將等距修形量和移距修形量定義為關于針齒轉角的多項式函數(shù)。為了保證嚙合平穩(wěn)，必須使2個工作段的連接處光滑[18]，故將修形量設為關于針齒轉角的二次多項式函數(shù)，其中等距修形量曲線如圖2所示。結合擺線輪與針齒的徑向間隙，可確定移距修形量曲線。

圖2 基于兩段修形的擺線輪齒廓的等距修形量曲線Fig.2 Isometric modification quantity curve of cycloidal gear tooth profile based on two-stage modification

2.3 兩段修形產(chǎn)生的幾何回轉角

由上文分析可知，修形產(chǎn)生的幾何回轉角的大小由最先嚙合點確定，故需要找出兩段修形后擺線輪的最先嚙合點。

采用兩段修形方法后，擺線輪第2段齒廓的初始嚙合間隙比反弓齒廓略大，故最先嚙合點僅有1個，在φa位置處，產(chǎn)生的幾何回轉角與原反弓齒廓的相等，可根據(jù)式(2)確定。

修形對擺線輪傳動精度的影響是由幾何回轉角決定的。采用兩段修形后新齒廓的幾何回轉角與反弓齒廓相同，故新齒廓在能夠保證傳動精度相同的基礎上，具有更好的承載能力。

3 實例分析

3.1 修形量確定

以RV-40E減速器為例[12]，通過計算得到基于兩段修形的擺線輪的組合修形量。RV-40E減速器的基本參數(shù)如表1所示。

表1 RV-40E減速器的基本參數(shù)Table 1 Basic parameters of RV-40E reducer

基于兩段修形方法原理和表1參數(shù)，計算得到的RV-40E減速器擺線輪的組合修形量如下：

對于第1段齒廓（0°～36.122°），仍采用原反弓齒廓的組合修形量。借助MATLAB軟件進行一維尋優(yōu)，計算得到等距修形量Δrrp=0.6 mm，移距修形量Δrp=-0.375 mm。

對于第2段齒廓 （36.122°～180°），為保證其與第1段齒廓的連接光滑、平穩(wěn)，在φ0=36.122°處的組合修形量仍取Δrrp=0.6 mm、Δrp=-0.375 mm。由上文分析可知，當徑向間隙Δj固定時，等距修形量Δrrp越大，擺線輪整體的初始嚙合間隙越大。為了改善齒廓的最大接觸應力，應使第2段齒廓的初始嚙合間隙比反弓齒廓的大。經(jīng)過多次計算，最終確定φ=180°處的組合修形量為Δrrp=0.825 mm、Δrp=-0.6 mm時效果較為理想。

根據(jù)φ0=36.122°和φ=180°處的組合修形量，可以確定第2段齒廓的等距修形量：

結合徑向間隙和式(8)即可確定相應的移距修形量。將擺線輪的2段齒廓的組合修形量代入式(1)即可得到新齒廓的方程。

3.2 新齒廓與反弓齒廓對比

利用MATLAB軟件編寫擺線輪受力分析程序，并將新齒廓與反弓齒廓的嚙合力和接觸應力進行對比，結果如圖3所示。由圖3可知，雖然新齒廓的最大嚙合力比反弓齒廓大，嚙合區(qū)間比反弓齒廓小，但最大接觸應力比反弓齒廓低。新齒廓的最大接觸應力為1 631.6 MPa，比反弓齒廓的最大接觸應力1 780.1 MPa降低了8.34%。

圖3 2種齒廓的嚙合力和接觸應力對比Fig.3 Comparison of meshing force and contact stress between two tooth profiles

4 擺線輪齒廓接觸應力有限元分析

利用三維軟件Creo建立擺線輪傳動的參數(shù)化模型，并將其導入ANSYS Workbench軟件，以對擺線輪齒廓的接觸應力進行靜力學分析。

4.1 前處理

結合RV-40E減速器的基本參數(shù)，考慮擺線輪的實際傳動過程以及計算機資源的限制，以及擺線輪與針齒的接觸分析可歸類為平面應變問題，故接觸模型采用平面模型。由于RV-40E減速器采用臥枕式針齒結構，則針齒與針齒槽之間的接觸變形忽略不計，故將針齒殼與針齒作為整體考慮。在完成擺線輪傳動的參數(shù)化模型的構建后，先設置材料屬性：擺線輪與針齒的材料取GCr15SiMn，其密度為7 820 kg/m3，彈性模量為2.06×105MPa，泊松比為0.3，許用接觸應力為3 800 MPa。然后，進行網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格單元類型為PLANE183，整體網(wǎng)格尺寸為1 mm，將擺線輪與針齒表面的網(wǎng)格細化并調(diào)整相關性，使網(wǎng)格縱橫比盡可能接近1，以保證網(wǎng)格劃分質(zhì)量，從而保證有限元仿真結果的收斂性和準確性。

完成網(wǎng)格劃分后，定義擺線輪與針齒的接觸關系。考慮到擺線輪與針齒的接觸變形對接觸剛度的影響，以及擺線輪與針齒的材料相同，將兩者均定義為柔性體；根據(jù)目標-接觸凹凸面的選取規(guī)則，定義擺線輪齒面為接觸面，針齒表面為目標面；接觸設置為摩擦接觸，摩擦系數(shù)為0.1；接觸界面處理選擇用戶指定偏移數(shù)值，逐漸施加載荷，有利于提高收斂性；接觸算法選擇較容易收斂的增廣拉格朗日法。考慮到擺線輪與針齒接觸時，其齒面法向剛度會因接觸區(qū)間的變化而不斷變化，屬狀態(tài)非線性問題，故設置每次平衡迭代后自動更新接觸剛度；時間步長控制設置為預測沖擊，可自動預測接觸行為突變的最小時間增量并分割子步。

最后，定義載荷和約束。將針齒殼外側圓柱面定義為圓柱面約束，徑向固定，釋放切向自由度；同時，在針齒殼外側圓柱面加載206 N·m工作扭矩（RV-40E減速器有2個擺線輪，故負載減半）；對擺線輪的2個曲柄軸孔施加固定約束。

綜上，構建的擺線輪與針齒接觸的有限元模型如圖4所示。

圖4 擺線輪與針齒接觸的有限元模型Fig.4 Finite element model of contact between cycloidal gear and needle tooth

4.2 求解及結果分析

為了能夠反映擺線輪齒廓接觸應力的真實分布情況，采用不同尺寸的網(wǎng)格對嚙合位置處的齒面進行劃分并分別進行求解。

表2所示為2種齒廓在不同網(wǎng)格尺寸下的最大接觸應力。由表2可以看出，在不同網(wǎng)格尺寸下，新齒廓的最大接觸應力均比反弓齒廓的??；最大接觸應力在網(wǎng)格尺寸達到0.010 mm時已逐漸開始收斂，繼續(xù)減小網(wǎng)格尺寸后結果差異并不明顯，但計算量急劇增加。鑒于網(wǎng)格尺寸越小，仿真結果越能真實反映擺線輪齒面的受力情況，本文選擇0.005 mm的網(wǎng)格尺寸。

表2 不同網(wǎng)格尺寸下2種齒廓的最大接觸應力Table 2 Maximum contact stress of two tooth profiles under different mesh sizes

圖5(a)所示為網(wǎng)格尺寸取0.005 mm時擺線輪新齒廓最先嚙合點處的接觸應力分布云圖；圖5(b)所示為網(wǎng)格尺寸取0.005 mm時新齒廓與反弓齒廓的接觸應力對比。由圖可知，新齒廓同時嚙合的齒數(shù)為7對，反弓齒廓為8對；新齒廓的接觸應力分布較反弓齒廓均勻，其最大接觸應力為1 990.3 MPa，比反弓齒廓的最大接觸應力2 081.6 MPa降低了4.39%。由此說明，嚙合齒數(shù)越多并不能代表擺線輪齒廓的接觸應力越低，且結果驗證了兩段修形方法的可行性。

圖5 擺線輪齒廓接觸應力的有限元仿真結果Fig.5 Finite element simulation results of contact stress of cycloidal gear tooth profile

圖6所示為2種齒廓接觸應力有限元仿真結果與理論計算結果的對比。由圖6可以看出，基于2種方法得到的擺線輪的嚙合區(qū)間基本相同，反弓齒廓最大接觸應力的仿真結果為2 081.6 MPa，與計算結果1 780.1 MPa相差14.48%；新齒廓最大接觸應力的仿真結果為1 990.3 MPa，與計算結果1 636.1 MPa相差17.79%。產(chǎn)生誤差的原因可能有以下幾點：1）理論計算時假設擺線輪整體為剛性，仿真分析時則假設整體為柔性；2）仿真分析時考慮了擺線輪上通孔的影響，理論計算時則沒有考慮；3）其他可能產(chǎn)生誤差的因素。其中，剛柔假設的不同對結果的影響最大。綜上，仿真結果與計算結果的相對誤差為14%～18%，在允許范圍內(nèi)。考慮到理論計算模型和有限元模型均進行了簡化，由此可驗證兩段修形方法的可行性。

圖6 2種齒廓接觸應力的有限元仿真結果與理論計算結果對比Fig.6 Comparison between finite element simulation results and theoretical calculation results of contact stress of two tooth profiles

5 結論

通過建立擺線輪的受力分析模型，探究了組合修形量與其嚙合力、嚙合區(qū)間的關系，以及反弓齒廓的形成條件；在反弓齒廓的基礎上，提出了一種可以降低最大接觸應力的兩段修形方法。最后，以RV-40E減速器為例，分析了兩段修形后擺線輪的受力情況，并對新齒廓與反弓齒廓進行了比較。有限元仿真結果表明，兩段修形方法可以降低齒廓的接觸應力，可為擺線輪的加工制造提供一定的參考。

研究發(fā)現(xiàn)，擺線輪修形后的嚙合區(qū)間越大并不意味著其接觸應力越小及承載能力越強。以RV-40E減速器為例，兩段修形后新齒廓的嚙合齒數(shù)為7對，反弓齒廓的嚙合齒數(shù)為8對，但新齒廓的最大接觸應力卻明顯降低。不過本文在仿真分析時考慮到計算資源和時間的限制，采用的是平面模型，建議進一步研究時采用三維模型，并考慮曲柄軸、軸承以及第一級漸開線行星齒輪的影響。